李清祿， 張靖華， 李世榮

(1. 蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州　730050; 2. 揚州大學(xué) 建筑科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 揚州　225127)

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FGM中厚圓板軸對稱自由振動的打靶法求解

李清祿1， 張靖華1， 李世榮2

(1. 蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，蘭州730050; 2. 揚州大學(xué) 建筑科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 揚州225127)

研究了由陶瓷和金屬兩種材料組成的功能梯度材料(FGM)中厚圓板的自由振動問題?；诳紤]橫向剪切變形中厚板的幾何方程、物理方程及平衡方程,建立了以中面轉(zhuǎn)角和橫向位移為基本未知量的功能梯度中厚圓板軸對稱自由振動問題的控制方程;假定功能梯度中厚圓板的材料性質(zhì)方向按照冪函數(shù)連續(xù)變化規(guī)律;采用打靶法數(shù)值求解所得非線性兩點邊值問題出，獲得了多種邊界下功能梯度中厚圓板的無量綱自然頻率以及振動模態(tài)。討論了材料梯度指數(shù)、板的厚度以及邊界條件對自然頻率的影響。

功能梯度材料；中厚圓板；自由振動；頻率；打靶法

功能梯度材料(Functionally Graded Material,FGM) 是一種非均質(zhì)復(fù)合材料[1],在航空航天、汽車、生物及核工業(yè)等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。同時,由于該種材料在結(jié)構(gòu)中各組分呈連續(xù)變化,不存在明顯的界面與性能的突變,因此具有優(yōu)于一般層疊型功能材料的特性。由于材料性質(zhì)在橫向的非均勻性導(dǎo)致了功能梯度結(jié)構(gòu)的應(yīng)力在橫向分布的復(fù)雜性，表現(xiàn)出與均勻材料結(jié)構(gòu)不同的特性。從而，使得FGM 結(jié)構(gòu)的彎曲、屈曲和振動等宏觀力學(xué)行為的分析要比相應(yīng)的均勻材料結(jié)構(gòu)復(fù)雜得多。近年來,FGM結(jié)構(gòu)已引起國際學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[2-4]。

對于薄板的振動問題的經(jīng)典理論是基于Kirchhoff假設(shè)基礎(chǔ)上的。隨著板的厚跨比的增加，經(jīng)典理論的結(jié)果將會出現(xiàn)比較大的誤差。文獻(xiàn)[5]對中厚板理論的適用范圍作了詳細(xì)研究，薄板和中厚板的分界線一般厚跨比=0.1，此后薄板理論解和中厚板理論解的誤差越來越大；而中厚板和厚板的分界線應(yīng)當(dāng)在厚跨比=0.2處。侯宇等[6]利用H變換求解了厚圓板的軸對稱振動的各階固有頻率。徐旭等[7]從三維彈性力學(xué)基本方程出發(fā)，利用初函數(shù)法研究了厚圓板軸對稱振動的彈性力學(xué)解。人們將熟悉的針對均勻材料結(jié)構(gòu)而發(fā)展起來的理論分析方法和數(shù)值計算手段推廣應(yīng)用于FGM 結(jié)構(gòu)的宏觀力學(xué)行為分析，研究FGM 結(jié)構(gòu)的靜動態(tài)響應(yīng)，考察材料非均勻特性對結(jié)構(gòu)力學(xué)行為的影響。李世榮等[8]研究了材料性質(zhì)沿橫向連續(xù)變化的功能梯度材料圓板的靜態(tài)彎曲問題，給出了兩種圓板彎曲解之間的相似轉(zhuǎn)換關(guān)系。WANG等[9]利用三維彈性理論研究了軸對稱FGM薄圓板的自由振動問題，得到了彈性簡支和剛性滑動兩種邊界條件下的三維精確解。KERMANI等[10]利用三維彈性理論建立了FGM圓板和圓環(huán)板的自由振動控制方程，利用微分求積法求解了問題的數(shù)值解，討論了厚徑比和梯度指數(shù)對無量綱頻率的影響。張弛等[11]用無網(wǎng)格法分析了功能梯度材料圓板的自由振動，并討論了相關(guān)參數(shù)對結(jié)果的影響。文獻(xiàn)[12]利用微分求積法研究了雙參數(shù)彈性地基上FGM薄至中厚環(huán)板在熱環(huán)境中的自由振動問題。

由上述文獻(xiàn)知，許多學(xué)者采用不同方法研究了FGM圓板的靜動態(tài)力學(xué)響應(yīng)，而功能梯度材料中厚板的自由振動方面的研究相對較少。本文基于高階剪切板理論，研究功能梯度中厚圓板的自由振動問題，建立了以中面轉(zhuǎn)角和橫向位移為基本未知量的功能梯度中厚圓板軸對稱自由振動問題的控制方程，采用打靶法求解所得非線性常微分方程。討論不同剪切理論下，材料梯度指數(shù)、厚徑比以及邊界條件對圓板自振頻率的影響。

1　控制微分方程

考慮圖1所示的功能梯度材料中厚圓板。設(shè)板的厚度h;半徑為R。采用極坐標(biāo)系(r,θ,z)，其中r為徑向;θ為環(huán)向;z坐標(biāo)垂直于r-θ面。研究其軸對稱自由振動問題。

考慮功能梯度材料圓板是由金屬和陶瓷兩相材料組成，假設(shè)梁的材料性質(zhì)沿厚度方向按冪函數(shù)變化，即

(1)

目前，用來確定FGM有效材料性質(zhì)的模型主要有Voigt混合率模型以及Mori-Tanaka模型。文獻(xiàn)[13]詳細(xì)研究了兩種模型對振動頻率的影響，結(jié)果表明：對于線性頻率，兩種模型計算的結(jié)果十分接近，而對于非線性振動，兩種模型下的頻率差異可以忽略?；诖?，這里采用相對簡單的Voigt混合率模型。其彈性模量、密度可表示為:

(2)

(3)

式中：下標(biāo)m和c分別表示金屬和陶瓷材料的物性參數(shù);非負(fù)實數(shù)p為材料梯度指標(biāo)。文獻(xiàn)[14]研究表明材料泊松比對自由振動的頻率幾乎沒有影響，可表示為:

v(z)=v

(4)

由圖1可知，徑向位移為u；橫向位移為w。若只考慮橫向振動，中厚圓板位移場可寫為：

圖1　FGM圓板示意圖Fig.1　Sketch map of the FGM circular plate

(5)

式中：ψ為板中面法線的轉(zhuǎn)角；t為時間變量。

幾何方程：

(6)

物理方程：

(7)

將式(6)代入式(7)，物理方程可進(jìn)一步寫為:

(8)

沿板的厚度方向積分，可得圓板彎矩和剪力為：

(9)

(10)

(11)

式中：κs為剪切修正系數(shù)；對Hencky板，κs=1；Reissner板，κs=6/5；Mindlin板，κs=12/π2。

運動方程：

動能為

(12)

勢能為

(13)

根據(jù)Hamilton原理，問題的泛函為:

(14)

由變分δΠ=0得:

將式(6)代入上面的表達(dá)式

(15)

利用式(2),式(15)中剛度系數(shù)的定義為:

(16)

令Er=Em/Ecρr=ρm/ρc，通過積分可得:

(17)

對于板的自由振動，假設(shè)其位移和轉(zhuǎn)角是時間的諧響應(yīng)模態(tài)

(18)

將式(18)代入式(15)， 得到振型函數(shù)表示的位移形式的中厚圓板運動方程:

(19)

(20)

采用無量綱變換

得FGM中厚圓板軸對稱無量綱控制方程為:

2　邊界條件

周邊固定：ξ=1處，φ=0，W=0

3　數(shù)值結(jié)果與分析

式(21)和邊界條件構(gòu)成兩點邊值微分問題，這里采用打靶法[15]求其數(shù)值解。

為了和文獻(xiàn)[14]計算的FGM圓板的計算結(jié)果進(jìn)行比較，本文中也考慮金屬材料Aluminiun(Al),陶瓷材料Alumina(Al2O3)構(gòu)成的功能梯度材料厚圓板，其物性參數(shù)分別為：Em=70 GPa，ρm=2 700 kg/m2，Ec=380 GPa，ρc=3 800 kg/m2，v=0.3。

首先計算了材料梯度指數(shù)p=0，即均勻各項同性材料中厚圓板的前三階固有頻率。表1～表4給出了Hencky理論、Reissuer理論和Mindlin理論下，三種常見邊界條件下前三階固有頻率的數(shù)值解，并和經(jīng)典理論以及文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[16]計算的結(jié)果進(jìn)行了比較。

由于目前文獻(xiàn)中只有文獻(xiàn)[16]給出了四階以上的無量綱固有頻率，且是Mindlin理論解。因此表4對本文的計算結(jié)果與文獻(xiàn)[16]的比較結(jié)果作了比較，其結(jié)果十分接近，說明了本文計算的可靠性和計算程序的正確性。

從計算結(jié)果看出，本文的計算結(jié)果與已知文獻(xiàn)的結(jié)果是非常接近的，經(jīng)典理論下計算得到的結(jié)果只能適用于薄圓板，對于中厚圓板必須采用Reissuer-Mindlin理論。

需要說明的是，打靶法的計算效率和精度取決于變步長Runge-Kutta方法和Newton-Raphson迭代法的計算精度。與有限元法、微分求積法等相比，打靶法在求非線性常分方程兩點邊值問題時具有無可比擬的優(yōu)越性，因為它不依賴于網(wǎng)格劃分。另外，這種算法對步長在合理的范圍內(nèi)不敏感，容易實現(xiàn)，所以費時少而精度高。

表5～表7分別給出了周邊固定、簡支和自由三種邊界條件下，中厚圓板厚徑比δ=0.1,0.2和0.3，材料梯度指標(biāo)p=0,0.1,0.5,1,2和5時，功能梯度圓板軸對稱自由振動的前三階無量綱固有頻率。從表5～表7可知，當(dāng)梯度指標(biāo)一定時，無量綱固有頻率隨厚度δ的增加而降低；當(dāng)厚度一定時，不同梯度指標(biāo)下，中厚板的無量綱固有頻率隨梯度指標(biāo)p的增大而減小。因此，對于中厚圓板，厚徑比以及材料梯度指標(biāo)對固有頻率的影響很大。

目前，F(xiàn)GM中厚圓板自由振動的固有頻率在已知出版的文獻(xiàn)上還沒有發(fā)現(xiàn)。我們將計算的結(jié)果和文獻(xiàn)[14]進(jìn)行比較，特別說明的文獻(xiàn)[14]是基于經(jīng)典板理論利用Rayleigh-Ritz法計算的，沒有考慮剪切變形，其固有頻率是薄圓板的。因此，表5～表7中只對厚度δ=0.1的計算結(jié)果和文獻(xiàn)[14]計算結(jié)果進(jìn)行了比較。不難看出，本文的結(jié)算結(jié)果和其十分接近，再次說明打靶法研究本問題的適用性。

表1　厚板自由振動無量綱一階頻率ω1(n=0,ν=0.3,δ=0.2)

表2　厚板自由振動無量綱二階頻率ω2(n=0,ν=0.3,δ=0.2)

表3　厚板自由振動無量綱三階頻率ω3(n=0,ν=0.3,δ=0.2)

表4　厚板自由振動無量綱四階頻率ω4(n=0,ν=0.3,δ=0.2)

表5　周邊固支FGM厚板自由振動無量綱固有頻率ωn

表6　周邊簡支FGM厚板自由振動無量綱固有頻率ωn

表7　周邊自由FGM厚板自由振動無量綱固有頻率ωn

圖2為周邊固定時，F(xiàn)GM厚圓板的1、2和3階振動模態(tài)圖，由圖2可知,厚徑比δ=0.2和0.3情況下振動模態(tài)圖非常接近，而且與邊界條件吻合的很好。圖3和圖4分別給出了周邊簡支和自由邊界條件下，厚徑比δ=0.2，梯度指數(shù)p=0.2時的前三階振動模態(tài)圖。

圖2　周邊固定FGM圓板自由振動模態(tài)圖 Fig.2　Anterior third-order modes of FGM moderately thick circular plate with clamped edge

圖3　周邊簡支FGM圓板自由振動模態(tài)圖Fig.3　Anterior third-order modes of the FGM moderately thick circular plate with simply supported edge

圖4　周邊自由FGM圓板自由振動模態(tài)圖Fig.4　Anterior third-order modes of the FGM moderately thick circular plate with free edge

4　結(jié)　論

基于考慮橫向剪切變形中厚板的幾何方程、物理方程及平衡方程,建立了以中面轉(zhuǎn)角和橫向位移為基本未知量的功能梯度中厚圓板軸對稱自由振動問題的控制方程。利用打靶法求解了傳統(tǒng)三種邊界條件下的自由振動無量綱頻率，將得到的結(jié)果與已有結(jié)果進(jìn)行了比較，顯示了打靶法求解兩點邊值問題的優(yōu)越性，得到了高精度的數(shù)值結(jié)果。結(jié)果表明:

(1) 邊界條件對中厚圓板的自振頻率有較大影響，固定邊界下的最大，自由邊界下的最小。

(2) 隨厚徑比的增加(即板越厚)，自振頻率減小。

(3) 對于中厚圓板，自振頻率隨梯度指數(shù)的增大而減小。

(4) 三種厚板理論下計算的結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)，Reissuer和Mindlin理論下的結(jié)果比較接近，而Hencky理論解偏大，因此對于中厚板，一般建議用Reissuer-Mindlin理論。

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Numerical solution of the free vibration of functionally graded material moderately thick circular plates by shooting method

LI Qinglu1, ZHANG Jinghua1, LI Shirong2

(1. School of Sciences, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China;2. College of Civil Science and Engineering, Yangzhou University, Yangzhou 225127, China)

The free vibration of FGM moderately thick circular plates was investigated. A FGM plate consisting of metal and ceramic was considered in the study. Based on the geometric equation, physical equation and equilibrium equation of thick plates, taking into account the transverse shearing deformation, the free vibration equation of axisymmetric FGM thick circular plates was derived in terms of the middle surface angles of rotation and lateral displacement. The material properties of the plate were assumed to vary continuously in the thickness direction according to a power law. By using the shooting method to solve the coupled ordinary differential equations with different boundary conditions, the natural frequencies of FGM thick circular plates were obtained numerically. The effects of material gradient property, thickness ratio and boundary conditions on the natural frequencies were discussed in detail.

functionally graded material(FGM); moderately thick circular plates; free vibration; natural frequency; shooting method

國家自然基金( 11272278;11262010);甘肅省自然基金(1212RJZA028)

2015-06-19修改稿收到日期：2015-08-19

李清祿 男，博士，副教授，1974年生

E-mail：lqu2008@163.com

O343.7

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.14.016