趙凱華

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京　100871)

?

時(shí)空對(duì)稱(chēng)性與守恒律(上篇)
——牛頓力學(xué)

趙凱華

(北京大學(xué) 物理學(xué)院，北京100871)

艾梅·內(nèi)特宣稱(chēng)，每一對(duì)稱(chēng)性對(duì)應(yīng)一守恒律.本文從時(shí)空平移和空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)出牛頓力學(xué)中能量、動(dòng)量、角動(dòng)量三大守恒定律.

時(shí)空對(duì)稱(chēng)性；參考系；守恒定律

在量子力學(xué)中對(duì)稱(chēng)性與守恒律之間的一般關(guān)系是直截了當(dāng)?shù)?，?nèi)特(E.N?ther)早有論述.在經(jīng)典力學(xué)中有關(guān)時(shí)空對(duì)稱(chēng)性與守恒律的關(guān)系，朗道(L.D.Landau)在他有名的理論物理系列教材的《力學(xué)》卷[1]中已有精辟的論證.該書(shū)是從作用量的變分出發(fā)的，根據(jù)慣性系時(shí)間平移、空間平移和空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性找出拉格朗日量函數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)封閉系分別推演出能量、動(dòng)量和角動(dòng)量和三大守恒定律.用最小作用原理來(lái)論證不那么直觀(guān)，本文將從牛頓力學(xué)的通常表述形式來(lái)論證這一問(wèn)題.

宏觀(guān)物體(包括可用牛頓力學(xué)處理的準(zhǔn)宏觀(guān)物體)之間的相互作用有彈性力、摩擦力、非理想氣體分子間的相互作用力(如范德瓦爾斯力)、凝聚態(tài)物體的內(nèi)應(yīng)力，以及萬(wàn)有引力等.除萬(wàn)有引力外，前面各項(xiàng)從微觀(guān)本質(zhì)上看，都不外乎是電磁相互作用.在非相對(duì)論近似的牛頓力學(xué)中這些力都可看作是超距力或接觸力，并表現(xiàn)在一個(gè)勢(shì)函數(shù)U中(下文將引入一個(gè)包含速度的廣義勢(shì)函數(shù)，可將摩擦力納入其中).本文將U中的外場(chǎng)部分U外視為系統(tǒng)所處時(shí)空性質(zhì)的表示，在相對(duì)理論中，外場(chǎng)反映在時(shí)空度規(guī)里.取牛頓近似時(shí)，時(shí)空平直，外場(chǎng)化為勢(shì)函數(shù).本文討論的是牛頓力學(xué)，外場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)似乎應(yīng)不屬于時(shí)空的性質(zhì)，而時(shí)空總是平直的，即具有所有平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，從而按照內(nèi)特定理，三大守恒定律都成立，本文就沒(méi)有什么可討論的了.然而這里討論的是非封閉系問(wèn)題，所以才有外場(chǎng).有外場(chǎng)時(shí)能量守恒定律的表現(xiàn)形式為：體系能量的增加等于外力的功.這一陳述通常稱(chēng)為“功能原理”，認(rèn)為這里能量是不守恒的.狹義的“守恒”是能量不隨時(shí)間變化.要想回到“守恒”的狹義概念，則需把外場(chǎng)算到時(shí)空的性質(zhì)中，使時(shí)空成為不均勻的.這便是本文的作法.

一般說(shuō)來(lái)，這個(gè)勢(shì)函數(shù)U不僅依賴(lài)于時(shí)空坐標(biāo)t,r1,r2,…,還會(huì)與質(zhì)點(diǎn)的速度v1,v2,…有關(guān).在非相對(duì)論情形下作用力與速度有關(guān)的情形有三：一是帶電粒子在磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力，二是在旋轉(zhuǎn)參考系中的科里奧利力，三是摩擦力.運(yùn)動(dòng)電荷之間的洛倫茲相互作用力不是超距的，要通過(guò)與電磁場(chǎng)交換動(dòng)量來(lái)實(shí)現(xiàn)，不能在牛頓力學(xué)中處理，我們留到本文下篇中討論.不過(guò)帶電粒子在外電磁場(chǎng)中受力的問(wèn)題，可以在牛頓力學(xué)里討論.旋轉(zhuǎn)參考系可在考察之列.耗散力引起的能量轉(zhuǎn)化超出力學(xué)范圍，我們將不在這里討論.

按照Goldstein的經(jīng)典名著《Classical Mechanics》[2]中所說(shuō)的，有些力與速度有關(guān)時(shí)，系統(tǒng)的總勢(shì)函數(shù)要用一種廣義勢(shì)函數(shù)U來(lái)表示.第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受的力Fi與U的關(guān)系是

(1)

現(xiàn)把U分為與速度無(wú)關(guān)部分U0和與速度有關(guān)部分ΔU，即U=U0+ΔU.對(duì)于在恒外磁場(chǎng)中的帶電粒子，

(2)

對(duì)于在旋轉(zhuǎn)參考系中的粒子，

(3)

U0包含外場(chǎng)勢(shì)和質(zhì)點(diǎn)間的相互作用勢(shì)，不僅通常的兩體作用勢(shì)，還有各種可能的多體作用勢(shì).如果時(shí)間均勻，U與t無(wú)關(guān)；如果空間均勻，則系統(tǒng)等時(shí)地整體平移而各質(zhì)點(diǎn)的速度不變，函數(shù)U不變；如果空間對(duì)于某點(diǎn)各向同性，則系統(tǒng)等時(shí)地整體(包括各質(zhì)點(diǎn)的速度)繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任一角度，函數(shù)U不變.

(4)

1　能量守恒定律

(5)

是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)總動(dòng)能的變化率.勢(shì)函數(shù)U的時(shí)間變化率為

式(5)化為

(6)

(7)

(8)

2　動(dòng)量守恒定律

將式(4)移項(xiàng)后再對(duì)i求和

(9)

設(shè)想所有質(zhì)點(diǎn)作任何同一位移δl，將上式點(diǎn)乘以δl，

(10)

另外，整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)平移δl時(shí)引起U的變化為

(11)

而

δri=δl，δvi=0

故

式(10)化為

(12)

如果空間均勻，則δU=0，于是

由于δl是任意的，故有

(13)

如果我們把

(14)

定義為質(zhì)點(diǎn)i的廣義動(dòng)量，則式(13)可寫(xiě)成

(15)

這就是質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒定律.對(duì)于對(duì)磁場(chǎng)中的帶電粒子， pi=mivi+qiA，這就是在磁場(chǎng)中的哈密頓正則動(dòng)量.只有磁場(chǎng)B均勻時(shí)，ΔU才具有空間均勻性，這時(shí)系統(tǒng)的總正則動(dòng)量守恒.對(duì)于在旋轉(zhuǎn)參考系中的質(zhì)點(diǎn)，由于存在離心勢(shì)，空間明顯不均勻，動(dòng)量不可能守恒.

3　角動(dòng)量守恒定律

現(xiàn)在要考慮的是空間各向同性但不一定具有平移不變性的情形，假設(shè)空間對(duì)于某個(gè)不動(dòng)點(diǎn)O各向同性.我們?nèi)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所有矢徑都是從這里出發(fā)的，所有角動(dòng)量也是相對(duì)這點(diǎn)而言的.空間繞某個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的任何微轉(zhuǎn)動(dòng)，都可看作圍繞某一瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng).(在理論力學(xué)教科書(shū)中，討論剛體繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)都證明了這一結(jié)論.)用矢量δΩ來(lái)表示這個(gè)角位移，矢量的方向就是瞬時(shí)軸的方向.微轉(zhuǎn)動(dòng)引起矢徑的增量為

δr=δΩ×r

(16)

這公式對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)的位矢ri均適用，即δri=δΩ×ri

對(duì)于勢(shì)函數(shù)U與速度有關(guān)的情況，式(4)移項(xiàng)后點(diǎn)乘以δri，

(17)

對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)求和，按式(11)，右端等于-δU

(18)

式(18)左端第一項(xiàng)

(19)

(20)

將式(19)、式(20)代入式(18)，我們得到

(21)

式中pi即式(14)中定義的廣義動(dòng)量.

(22)

這就是整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律.

若U與速度有關(guān)，譬如有均勻恒定外磁場(chǎng)B，或者在恒定角速度ω的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，空間不可能相對(duì)于一點(diǎn)球?qū)ΨQ(chēng)，但繞B或ω的方向軸對(duì)稱(chēng)，這時(shí)對(duì)于沿此軸方向的任何轉(zhuǎn)動(dòng)δΩ來(lái)說(shuō)δU=0，從而式(21)化為

(23)

致謝：作者特別感謝陳熙謀教授和朱如曾教授在本文寫(xiě)作過(guò)程中提供的寶貴意見(jiàn).

[1]朗道，栗弗席茲.力學(xué)[M].5版.北京：高等教育出版社，2007：第二章.

[2]Goldstein H. Classical Mechanics[M].2 ed. Addison-Wesley Pub Co,1980:1-5.

[3]A.P.弗倫奇.牛頓力學(xué)·第二冊(cè)[M].郭敦仁、何成鈞，譯.北京：人民教育出版社，1982:147.

[4]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1995:第二章，2.1節(jié).

Spacetime symmetries and conservation laws (Ⅰ)——Newtonian mechanics

ZHAO Kai-hua

(School of Physics, Peking University，Beijing 100871, China)

Emmy N?ther declared that to every kind of symmetry there is a corresponding conservation law. In the present paper, the conservation laws of energy, momentum and angular momentum in Newtonian mechanics are derived from the translational and rotational spacetime symmetries.

spacetime symmetries; frame of reference; conservation laws

2015-10-09

趙凱華(1930—)，男，浙江杭州人，北京大學(xué)物理學(xué)院教授，2008年獲教育部物理基礎(chǔ)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)和中國(guó)物理學(xué)會(huì)教學(xué)委員會(huì)頒發(fā)的“物理教學(xué)杰出成就獎(jiǎng)”.

教學(xué)研究

O 31

A

1000- 0712(2016)01- 0001- 03