陳　思，曾　培，周惠君，王思慧

(南京大學(xué) 物理學(xué)系，江蘇 南京　210093)

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激光雙光柵法測(cè)物體微小位移方法的改進(jìn)與應(yīng)用

陳思，曾培，周惠君，王思慧

(南京大學(xué) 物理學(xué)系，江蘇 南京210093)

從激光雙光柵測(cè)量微小位移實(shí)驗(yàn)的基本原理出發(fā)，提出一種利用計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行函數(shù)反解和適當(dāng)變換得到完整位移-時(shí)間圖像的方法，拓寬了雙光柵實(shí)驗(yàn)方法的應(yīng)用范圍；隨后以音叉的小振動(dòng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的可行性與合理性，再運(yùn)用該方法對(duì)“高斯炮”的碰撞過(guò)程進(jìn)行了探究，得到了其中磁鐵運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖像.

雙光柵;還原運(yùn)動(dòng)圖像;音叉振動(dòng);高斯炮

激光雙光柵法測(cè)量物體的微小位移是面向本科生的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，其通過(guò)兩個(gè)相鄰光柵之間的相對(duì)位移產(chǎn)生光拍，通過(guò)記錄光電流隨時(shí)間變化圖像中每半個(gè)周期內(nèi)的波數(shù)來(lái)計(jì)算物體振動(dòng)的振幅[1].然而，i-t圖上的信息卻遠(yuǎn)不止如此，其包含了物體在整個(gè)振動(dòng)過(guò)程中的所有運(yùn)動(dòng)信息.因此，還原物體的小振幅運(yùn)動(dòng)完整過(guò)程是一個(gè)有趣并富于應(yīng)用價(jià)值的課題.如通過(guò)物體振動(dòng)的具體x-t關(guān)系來(lái)研究各種非線性、非周期的振動(dòng).

本文提出了一種利用計(jì)算機(jī)程序反解的方法，通過(guò)求解電流信號(hào)的反余弦函數(shù)值并作適當(dāng)基于物理的變換來(lái)提取i-t圖中的完整信息，成功地還原了物體的小振動(dòng)圖像.我們還應(yīng)用該方法對(duì)“高斯炮”發(fā)射過(guò)程中磁鐵的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行了研究.

1　基本原理與改進(jìn)方法

一束激光垂直照射到沿Y方向運(yùn)動(dòng)的光柵上時(shí)，會(huì)發(fā)生頻移.我們用v(t)表示光柵的運(yùn)動(dòng)速度，用x(t)表示位移量，設(shè)光柵衍射角為θ.Y方向的位移量相應(yīng)于出射光波相位的變化量為ΔΦ(t)：

(1)

由光柵方程式得

(2)

不妨假設(shè)在光電流接收到原來(lái)的激光時(shí)，固有相位為Φ0=ω0t+φ，那么經(jīng)過(guò)多普勒頻移后光強(qiáng)為

(3)

本實(shí)驗(yàn)中，我們使兩片完全相同的光柵盡可能地緊貼，使后面一塊光柵運(yùn)動(dòng)，前面的光柵靜止，那么由式(3)可知激光經(jīng)過(guò)雙光柵之后的光強(qiáng)：

光束1E1=E10cos(ω0t+φ)

我們考慮兩束光的疊加.假設(shè)光電流的光電轉(zhuǎn)換常數(shù)為ξ.由于ω0本身值非常大，光電池?zé)o法檢測(cè)，最終只有兩個(gè)光頻的差值對(duì)應(yīng)的光拍可以被檢測(cè)到.最終光電流的形式為

(4)

通常實(shí)驗(yàn)[1]中在此舍棄了大多數(shù)信息，其通過(guò)對(duì)以上公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，試圖求出微弱振動(dòng)的振幅：

式中F(t)為拍頻，即單位時(shí)間內(nèi)波的個(gè)數(shù).通過(guò)半個(gè)周期內(nèi)波數(shù)的測(cè)量，得到物體微小振動(dòng)的振幅A.

事實(shí)上，可以通過(guò)直接反解式(4)來(lái)還原振動(dòng)的x-t圖像.將式(4)變形如下：

(5)

然而，這種方法只對(duì)特定形式的物體運(yùn)動(dòng)有效，以下將說(shuō)明該方法存在的問(wèn)題.

2　實(shí)驗(yàn)方法的初步驗(yàn)證與完善

我們先利用模擬仿真的方法進(jìn)行一定的理論分析.

理想情況下，音叉的小幅度振動(dòng)應(yīng)當(dāng)滿足如下形式：

x(t)=Acos(ωt+θ)

代入式(5)，可得光電流信號(hào)的形式：

(6)

在式(6)中,我們將測(cè)到的光電流信號(hào)歸一化，并且定義

理想情況下的光電流信號(hào)應(yīng)當(dāng)如圖 1(上)，相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)圖如圖 1(中).可見(jiàn)實(shí)驗(yàn)圖像與理論是一致的.

圖1　理論上音叉受迫振動(dòng)情況下光電流隨時(shí)間變化i-t圖像(上)與實(shí)驗(yàn)記錄的i-t圖像(中)對(duì)比；直接反解的相位時(shí)間圖像(下)

我們將圖 1(上)中的信號(hào)作為我們的“模擬信號(hào)”，用式(5)來(lái)進(jìn)行計(jì)算，得到的相位時(shí)間圖像如圖 1(下).

結(jié)果在Ψ=±π處發(fā)生了轉(zhuǎn)折，而這是不符合真實(shí)物理過(guò)程的.事實(shí)上，轉(zhuǎn)折點(diǎn)出現(xiàn)的位置都是arccos函數(shù)的多值分叉點(diǎn).arccos函數(shù)是多值函數(shù)，當(dāng)物體振幅過(guò)大，使Ψ的變化范圍超過(guò)[0,π)時(shí)，函數(shù)值就不再一一對(duì)應(yīng)，見(jiàn)圖 2.基于以上問(wèn)題，通過(guò)考慮反三角函數(shù)的多值修正，可以獲得真實(shí)的運(yùn)動(dòng)圖像.

圖2　直接反解圖像與實(shí)際圖像對(duì)比；arccos函數(shù)的多值修正(右上)

下面將以上修正應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理.在原來(lái)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)基礎(chǔ)之上，我們將電流信號(hào)導(dǎo)入到電腦中，在采樣率較高的情況下(1 MHz)，記錄下音叉在502.8 Hz的振動(dòng)頻率下光電流隨時(shí)間變化曲線如圖 3(右上).

我們對(duì)其用arccos函數(shù)直接反解，得到的結(jié)果如圖 3(右上).圖中果然出現(xiàn)了許多拐點(diǎn).考慮反三角函數(shù)的多值修正以后，得到的最終處理圖如圖 3(下).

圖3　i-t圖像與直接反解圖像的結(jié)果(右上)；編程修正后的結(jié)果(下)

可見(jiàn)音叉的振動(dòng)曲線符合正弦曲線的形狀.我們對(duì)修正后的曲線進(jìn)行擬合，得出其頻率為503.2 Hz，實(shí)驗(yàn)與理論值的相對(duì)誤差為0.08%，可見(jiàn)我們的計(jì)算方法是正確的.

3　“高斯炮”中的碰撞過(guò)程的應(yīng)用

我們將以上的實(shí)驗(yàn)方法應(yīng)用于研究一個(gè)碰撞模型——“高斯炮”.在一個(gè)非磁性軌道上，放置一塊磁鐵，磁鐵一側(cè)排好一列相同的鋼球，磁鐵另一側(cè)也可以排列較少數(shù)量的鋼球，一個(gè)鋼球從鋼球少的一端接近裝置并發(fā)生碰撞，磁鐵另一側(cè)的最外邊的鋼球便會(huì)發(fā)射出去. 如圖 4(左上)

我們搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖 4(下). 我們?cè)趯?dǎo)軌上放置靜光柵，在磁鐵頂部粘附動(dòng)光柵，并且調(diào)整兩個(gè)光柵之間的距離和角度為適當(dāng)值，在磁鐵前側(cè)放置一個(gè)鋼球，后側(cè)放置4個(gè)鋼球，從前側(cè)打入鋼球進(jìn)行實(shí)驗(yàn).

圖4　高斯炮原理示意圖(左上)；高斯炮實(shí)驗(yàn)裝置示意圖(下)

最終得到的實(shí)驗(yàn)i-t圖如圖 5(上)，虛線方框圈出的部分反映了高斯炮發(fā)射過(guò)程中磁鐵的運(yùn)動(dòng)，左邊為該局域放大圖.

圖5　高斯炮發(fā)射過(guò)程中i-t圖像以及局部數(shù)據(jù)(上)；高斯炮預(yù)處理后數(shù)據(jù)(下)

i-t圖并非上下對(duì)稱，并且出現(xiàn)了漂移.這時(shí)候的電流信號(hào)形式應(yīng)修正為

其中，第二項(xiàng)直流項(xiàng)、第三項(xiàng)噪聲誤差項(xiàng)影響非常小.因此我們提取出交流信號(hào)并進(jìn)行歸一化，結(jié)果如圖 5(下)所示.

應(yīng)用上一節(jié)的算法處理信號(hào)，得到的x-t結(jié)果圖如圖 6. 可以看出，磁鐵的運(yùn)動(dòng)基本沿著同一方向進(jìn)行，只是在方框處出現(xiàn)了一個(gè)明顯的先減速后加速的過(guò)程.

圖6　高斯炮的處理結(jié)果(x-t圖)

我們又在相同條件下重復(fù)了幾次實(shí)驗(yàn)，為了將速度變化過(guò)程看得更清楚，我們對(duì)于處理后得到的x-t數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并進(jìn)行微分，以得到相應(yīng)的v-t圖，結(jié)果如圖 7所示.

圖7　高斯炮重復(fù)實(shí)驗(yàn)的速度-時(shí)間圖

可以看到，速度的變化趨勢(shì)具有相同的規(guī)律，重復(fù)性非常高.這說(shuō)明實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是可信的.從圖中也可以看出“高斯炮”實(shí)驗(yàn)過(guò)程中磁鐵的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：在高斯炮的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在一個(gè)磁鐵小球相互吸引加速，碰撞減速，再反向加速的過(guò)程.對(duì)于高斯炮碰撞后的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，仍然有待進(jìn)一步的討論.

4　總結(jié)

綜上，我們通過(guò)理論推導(dǎo)和算法改進(jìn)，建立起了還原到物體運(yùn)動(dòng)圖像的方法.我們首先通過(guò)探究音叉的周期小振動(dòng)驗(yàn)證了我們整套方案的可行性和正確性；然后將我們的方法應(yīng)用到非周期運(yùn)動(dòng)中，比如“高斯炮”的碰撞過(guò)程，初步還原出了磁鐵在整個(gè)高斯炮發(fā)射過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況.

致謝：感謝南京大學(xué)物理基地人才培訓(xùn)項(xiàng)目(0204131631)支持

[1]蘇為寧，王思慧，高文莉，等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)(理科)第二冊(cè)[M].南京:南京大學(xué)出版社,2014.

Improvement and application on method of measuring the tiny displacement with double-grating

CHEN Si, ZENG Pei, ZHOU Hui-jun, WANG Si-hui

(Department of Physics , Nanjing University, Nanjing, Jiangsu 210093, China)

Based on the double grating method of measuring tiny displacement, we have proposed a method to recover a complete picture of displacement versus time (x-tdiagram), and broadened the scope of its application. We verify our method with the measurement on the vibration of a tuning fork, and further extend this method to study the motion of the magnet during collision in Gaussian cannon.

double grating; recover diagram of motion; tuning fork vibration; Gaussian cannon

2014-09-12；

2015-08-02

南京大學(xué)物理基地人才培訓(xùn)項(xiàng)目(0204131631)資助

陳思(1994—)，男，湖南瀏陽(yáng)市人，南京大學(xué)物理學(xué)院2012級(jí)本科生.

周惠君，E-mail:zhouhuijun2000@163.com

O 434.19

A

1000- 0712(2016)01- 0053- 04