陳建宏，吳學勇，劉　昊，董向成

(蘭州城市學院 培黎工程技術學院， 甘肅 蘭州　730070)

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周期驅動下保守橢圓擺系統(tǒng)的混沌運動

陳建宏，吳學勇，劉昊，董向成

(蘭州城市學院 培黎工程技術學院， 甘肅 蘭州730070)

運用廣義拉格朗日方程，對周期驅動下的橢圓擺運動過程建立了模型方程.利用數(shù)值方法求解該方程，研究了該系統(tǒng)在周期驅動作用下不變環(huán)面的變形、破裂以及產(chǎn)生混沌運動的過程.并且，利用最大李雅普諾夫指數(shù)研究了驅動頻率及質量參數(shù)對其混沌運動的影響.

周期驅動；橢圓擺；混沌運動

在大學物理教學中，往往會遇到如圖1所示的一種簡單模型.一個質量為m1、半徑為R的半球形光滑凹槽放置在光滑水平面上，再將一質量為m2的質點置于凹槽內(nèi)角位置θ處，質點由靜止狀態(tài)自由下滑. 可以證明，質點相對地面靜止參考系的運動軌跡是橢圓線，故該系統(tǒng)是一種典型的橢圓擺系統(tǒng)[1,2].在大學物理相關內(nèi)容中，該體系被假定為一個不受外力作用的理想系統(tǒng).在本文中，我們將考慮來自外界的周期驅動對該系統(tǒng)運動行為的影響.眾所周知，保守單擺系統(tǒng)在外力驅動下具有非常豐富的非線性運動行為[3,4].不難想象，當存在周期驅動F(t)時，不僅橢圓擺系統(tǒng)動力學更有實際意義，其行為也將更加豐富.

圖1　基本模型

1　模型方程的建立

為了研究方便，我們將質點的運動約束在半徑為R并且固連在凹槽上的圓環(huán)內(nèi).在圖1中，以凹槽在運動初始時刻球心所在的O點為坐標原點.在地面參考系中建立坐標系.Ox軸沿水平方向，Oy軸沿豎直方向.在地面參考系中，令凹槽最低點在運動過程中的坐標為(x,-R)，則質點在運動過程中的坐標為(x+Rsinθ,-Rcosθ).容易得到，橢圓擺體系的拉格朗日函數(shù)為[5]

(1)

式(1)中m1為凹槽的質量，m2為質點的質量.現(xiàn)向凹槽上施加一個沿著Ox軸方向的周期驅動力F(t)=F0cos(ωDt+π)，再將式(1)及該驅動力代入廣義拉格朗日方程[6]，從而得到橢圓擺在周期外力驅動下的動力學方程

(2)

代入(2)式，略去撇號，經(jīng)過化簡得到無量綱方程

(3)

2　數(shù)值結果及分析

2.1不變環(huán)面的變形、破裂以及混沌運動

為了有效控制數(shù)值誤差，本文采用四階隱式格式的龍格-庫塔方法數(shù)值求解方程(4)，其中計算步長為0.01.首先，將無量綱的驅動頻率固定為Ω=4，質點和凹槽的質量固定為m1=5和m2=1 (或μ≈0.19).圖2和圖3給出了以驅動周期為采樣間隔，系統(tǒng)在不同驅動強度f下的龐加萊截面.方程(4)的初始條件為：θ(0)=5°、 35°、 65°、95°、125°，θ′(0)=0，x(0)=0，x′(0)=0.為便于區(qū)分，我們將不同初始條件對應的軌道在圖2中分別標記為1—5.圖2(a)和圖2(b)是沒有外界驅動時的情況.其中，圖2(a)和無驅動時單擺[3,4]的運動規(guī)律類似，即在確定的能量下系統(tǒng)具有確定的相軌道，并且不同初始能量的相軌道彼此不相交.而圖2(b)則反映出與圖2(a)不同的特點:1)軌道1—5都相交于坐標原點;2)軌道5(對應θ(0)=125°)在x′(t)=0附近還存在兩個對稱的小圈.這表明：當質點具有較大初始角度時，凹槽的運動并不是單周期的.根據(jù)非線性動力學理論[7]，我們將軌道1—5稱為不變環(huán)面.圖2(c)和圖2(d)對應驅動強度f=0.2.從圖2(c)可以看出，軌道1—5均發(fā)生了變形，變得左右不對稱了，其中軌道5被扭曲得最為明顯.在圖2(d)中，除了軌道5中兩個小圈變得不對稱外，其他軌道均沒有明顯的變形.圖3(a)和圖3(b)對應驅動強度f=0.22.可看出，當驅動進一步增強時，軌道5出現(xiàn)了破裂.圖3(c)和圖3(d)對應驅動強度f=0.44.此時，軌道5已經(jīng)完全破碎了，說明軌道5的運動進入了混沌運動.圖3(c)類似于單擺系統(tǒng)的情形：即使軌道5發(fā)生破裂，但是破裂后的軌跡無法進入軌道1—4的所處的區(qū)域.但在圖3(d)中：當軌道5破裂后，其破裂的軌跡完全進入了軌道1—4所處的區(qū)域.需要注意的是，這點與單擺是完全不同的.事實上，當驅動強度進一步增強時，圖3(c)和圖3(d)反映的規(guī)律依然存在.

圖2　不變環(huán)面及其在驅動下的變形

為了從整體上把握混沌現(xiàn)象出現(xiàn)與驅動強度的關系，本文繪出系統(tǒng)最大李雅普諾夫指數(shù)隨驅動強度變化的圖像.對于給定的驅動強度，采用以下公式計算最大李雅普諾夫指數(shù)λ[7]:

(4)

圖3　不變環(huán)面的破裂和破碎

式(4)中d0為初始擾動值，d(t)為在t時刻相空間內(nèi)軌道的分離值.在實際計算中，為了方便計算d(t)，時間分割成了k個時段，τ為時間間隔，則有t=kτ.在本文計算中，時間長度t=4 000，則時間間隔τ=2，將最后200個數(shù)據(jù)取平均得到最大李雅普諾夫指數(shù).圖4是軌道5對應的最大李雅普諾指數(shù)λ與驅動強度f的關系.從圖4可以看到，當驅動強度f<0.43時，最大李雅普諾夫指數(shù)λ≈0，此時系統(tǒng)的運動是準周期振蕩；而當驅動強度f=0.43時，最大李雅普諾夫指數(shù)發(fā)生躍變.也就是說，當f>0.43時軌道5對應的運動突然進入了混沌狀態(tài).這與圖3中龐加萊截面所反映規(guī)律的是一致的.

圖4　μ=0.19,Ω=4，軌道5對應的λ-f關系

2.2驅動頻率及質量參數(shù)對混沌運動的影響

圖5　μ=0.19,f=0.44，軌道5對應的λ-Ω關系

圖5是當μ=0.19,f=0.44時系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)λ隨驅動頻率的變化關系.可以看出，在大部分情況下，系統(tǒng)的最大李雅普諾夫指數(shù)處于0.15左右，說明系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)；但少數(shù)情況下，最大李雅普諾夫指數(shù)會突然降到零左右，說明系統(tǒng)此時處于準周期狀態(tài).并且，最大李雅普諾夫指數(shù)為零時，驅動頻率還有一定的寬度.如Ω=2.295～2.383這個頻率區(qū)間，最大李雅普諾夫指數(shù)持續(xù)為零.最大李雅普諾夫指數(shù)持續(xù)為零的頻率寬度也不一樣，如在Ω=4.01時，李雅普諾夫指數(shù)會突然為零，然而當驅動頻率稍有所增大(Ω=4.05)或者減小(Ω=4)，李雅普諾夫指數(shù)會躍變到0.15左右，即軌道5又進入混沌運動.

我們還研究了系統(tǒng)的質量參數(shù)μ對系統(tǒng)混沌運動的影響.圖6是Ω=4,f=0.44時，軌道5對應的最大李雅普諾夫指數(shù)λ與質量參數(shù)μ的關系.可以看出，當質量參數(shù)μ>0.18時，最大李雅普諾夫指數(shù)在0.15左右，系統(tǒng)將處于混沌狀態(tài).當質量參數(shù)μ<0.18，還存在一些李雅普諾夫指數(shù)持續(xù)為零區(qū)間.這說明當μ<0.18，系統(tǒng)質量參數(shù)對系統(tǒng)混沌運動具有明顯的影響.此時，系統(tǒng)質量參數(shù)的改變將可能使系統(tǒng)從準周期狀態(tài)進入混沌狀態(tài)，或者從混沌狀態(tài)進入準周期狀態(tài).

圖6　Ω=4,f=0.44，軌道5對應的λ-μ關系

最后需要指出，圖4～圖6中的最大李雅普諾夫指數(shù)隨參數(shù)波動都比較大.這主要因為其對參數(shù)依賴比較大.對此我們舉例給出解釋.當取f=0.4,μ=0.19,Ω=4,d0=0.001時，最大李雅普諾夫指數(shù)隨k的變化關系圖像如圖7(a)所示，可以看出：最大李雅普諾夫指數(shù)隨著k增大趨于一個定值.將最后200個數(shù)據(jù)取平均得到λ≈0.000 09.圖7(b)則是上述參數(shù)下x-x′平面的相圖.圖7(a)和圖7(b)的結果均表明： 此時系統(tǒng)處于準周期運動狀態(tài).如果其他參數(shù)不變，令f=0.5，最大李雅普諾夫指數(shù)隨k的變化關系圖像如圖7(c)所示，可以看出：最大李雅普諾夫指數(shù)隨著k增大并沒有趨于一個定值.將最后200個數(shù)據(jù)取平均得到最大李雅普諾夫指數(shù)λ≈0.182 945.此時x-x′相圖如圖7(d)所示.圖7(c)和圖7(d)的結果均表明：此時系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài).根據(jù)以上兩種不同情況，我們認為：通過最大李雅普諾夫指數(shù)的值，可以判斷系統(tǒng)是處于準周期狀態(tài)還是混沌運動狀態(tài)，并且可以通過相圖的結果得到驗證.以上兩例也同時表明，系統(tǒng)運動行為對參數(shù)依賴比較大.然而，在一些情況下如圖7(c)，最大李雅普諾夫指數(shù)不趨于一個定值，我們采用最后200個數(shù)據(jù)的平均的結果，這種處理辦法肯定存在計算誤差.

圖7　λ-k關系圖像及系統(tǒng)在平面相圖.其中μ=0.19,Ω=4,d0=0.001

3　結論

本文的研究表明：橢圓擺系統(tǒng)在周期驅動下，具有極其復雜的非線性運動行為.這包括：1)當某一不變環(huán)面破碎時，擺角θ對應的相軌跡與其他未破碎的不變環(huán)面是不相交的，而凹槽位置x對應的相軌跡與其他不變環(huán)面則是相交的；2)驅動頻率對系統(tǒng)的混沌運動具有明顯的影響；3)在一定的取值范圍內(nèi)，質量參數(shù)對系統(tǒng)的混沌運動具有明顯影響.需要強調，本文所考慮系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其運動行為中的混沌現(xiàn)象與外力的加入直接相關，即無驅動下沒有混沌.然而，對于像洛倫茲系統(tǒng)、羅斯勒系統(tǒng)那樣的耗散體系，即使在無驅動下系統(tǒng)依然有可能產(chǎn)生混沌運動[7].

[1]陳鋼, 阮中中. 橢圓擺的一種實現(xiàn)方法[J].大學物理, 2006, 25(5): 18-20.

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[3]李元杰.單擺的規(guī)則隨機及混沌運動的研究[J].大學物理, 1998, 17(9): 6-8.

[4]符五久, 饒黃云. 單擺系統(tǒng)通向混沌的道路[J].大學物理,2008, 27(1): 5-10.

[5]陳建宏,魏秀芳，王志全. 可自由平動光滑凹槽中質點運動的數(shù)值分析[J].大學物理, 2015, 34(5): 11-14.

[6]郭應征，周志紅. 理論力學[M]. 北京：清華大學出版社,2005.

[7]劉秉正, 彭建華. 非線性動力學[M]. 北京: 高等教育出版社,2004.

The chaotic behavior in a conservative elliptical pendulum system under periodic perturbation

CHEN Jian-hong, WU Xue-yong, LIU Hao, DONG Xiang-cheng

(School of Bailie Engineering and Technology, Lanzhou City University, Lanzhou, Gansu 730070, China)

The motion equations of an elliptical pendulum system under periodic perturbation are derived by using the generalized Lagrange equation. The equations are solved numerically to investigate the process of the deformation, distortion, split of the invariant torus and the chaos. Moreover, the influences of the perturbation frequency and the mass parameter on the chaotic behavior are discussed through analyzing the maximum Lyapunov exponent.

periodic perturbation; elliptical pendulum; chaotic behavior

2015-06-09；

2015-11-20基金項目：國家自然科學基金(11164012)；蘭州市科技計劃項目(2012-2-105)；蘭州城市學院本科教育教學研究項目(2014-jy-01)資助.作者簡介： 陳建宏(1982—)，男，甘肅平?jīng)鋈耍┦?，蘭州城市學院培黎工程技術學院副教授，主要從事理論物理研究及計算物理教學工作.

O 415.5

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1000- 0712(2016)04- 0007- 04