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        兩維離子晶體的馬德隆常數(shù)

        2016-10-15 05:56:13邱為鋼
        大學物理 2016年4期

        邱為鋼

        (湖州師范學院 理學院,浙江 湖州 313000)

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        兩維離子晶體的馬德隆常數(shù)

        邱為鋼

        (湖州師范學院 理學院,浙江 湖州313000)

        由無窮求和技巧和漸近展開,得到了兩維正方形和正六邊形晶體馬德隆常數(shù)的解析表達式.

        馬德隆常數(shù);無窮求和;正六邊形

        馬德隆常數(shù)的物理意義很明確,麻煩的是如何給出解析表達式或者具體數(shù)值. 常用的手段是數(shù)值計算,文獻[1]數(shù)值計算了兩維正方形晶體的馬德隆常數(shù),文獻[2]則給出了兩維正三角形(正六邊形)晶體馬德隆常數(shù)的數(shù)值解. 數(shù)值方法簡單直觀,但要達到需要的數(shù)值精度,計算時間一般以小時為計. 如果這兩個常數(shù)有解析表達式,數(shù)學軟件馬上就可以給出所需精度的數(shù)值表示. 我們發(fā)現(xiàn),利用數(shù)學上的無窮求和技巧,是可以得到文獻[1,2]上兩個常數(shù)的解析表達式的. 文獻[2]中馬德隆常數(shù)與本文解析值前7位相同,文獻[3]中馬德隆常數(shù)與本文解析值前6位相同,驗證了本文所用方法的合理正確性.

        設(shè)兩維格點(晶體)上有固定離子,離子之間的相互作用勢是

        (1)

        定義無量綱的馬德隆常數(shù)為

        圖1 正方形晶體離子分布示意圖

        (2)

        式(2)中第一個兩重無窮求和要扣除(0,0). 當0

        (4)

        利用單位躍遷函數(shù)H(x)[4],可以把式(3)中有限求和化為無窮求和

        (5)

        其中求和遍及除去原點(0,0).利用躍遷函數(shù)積分表示[4]:

        (6)

        以及積分變換公式:

        (7)

        式(5)化為

        (8)

        令q=exp(-(z+t)),利用兩重求和恒等式[5]:

        (9)

        式(8)化為

        (10)

        繼續(xù)利用(6)、(7)兩式,式(10)化為

        (11)

        考慮到躍遷函數(shù)的作用,式(11)化為

        (12)

        其中N(R,m)是R2/(2m+1)的整數(shù)部分. 在式(7)中,令z=k+λ,兩邊對k從0到n求和,得到

        (13)

        同樣兩邊對k從0到n積分,得到

        (14)

        式(13)減去式(14),并利用Hurwitz Zeta 函數(shù)ζ(s,λ)[7]的積分表達式[6]:

        (15)

        得到

        0

        (16)

        當圓半徑R趨向無窮大時,利用式(16),式(12)化為

        (17)

        式(17)可以化為

        (18)

        式(18)右邊的第一項是發(fā)散項,隨圓半徑R增大而增大. 同樣,利用兩重求和恒等式[5]

        (19)

        沿用以上方法,計算得到

        (20)

        由此得到正方形晶體馬德隆常數(shù)解析表達式為

        ζ(s,3/4)][ζ(s)-ζ(s,1/2)]

        (21)

        (22)

        這與文獻[3]的數(shù)值計算結(jié)果一致.

        圖2 正六邊形晶體離子分布示意圖

        定義無量綱的馬德隆常數(shù)為

        (m+1/3)(n+1/3)]-s

        (23)

        由文獻[5]中的兩重無窮求和恒等式:

        (24)

        (25)

        沿用以上方法,計算得到二維正六邊形晶體馬德隆常數(shù)的解析表達式為

        αΔ(s)=6×3-sζ(s)[ζ(s,1/3)-ζ(s,2/3)]-

        3×6-s{ζ(s,1/3)[ζ(s,1/6)-ζ(s,2/3)]+

        ζ(s,2/3)[ζ(s,1/3)-ζ(s,5/6)]}

        (26)

        (27)

        這與文獻[2]的數(shù)值計算結(jié)果一致.

        馬德隆常數(shù)的數(shù)值計算雖然很直接,但是先要按一定規(guī)則對晶格劃分編號,再手動編寫程序,最后輸入計算機數(shù)值計算,整個過程還是麻煩. 馬德隆常數(shù)的解析計算只有有限幾種情形,包括本文的正方形晶格和正六邊形晶格,計算過程中要用到積分表示,積分變換,特殊函數(shù)和漸近展開,可以作為數(shù)學物理方法在固體物理應用的教學例子之一.

        [1]劉策軍. 二維NaCl晶體馬德隆常數(shù)計算[J]. 大學物理,1995,14(12): 21-22.

        [2]黃仕華,徐晶晶. 二維三角離子晶體馬德隆常數(shù)的計算[J]. 浙江師范大學學報(自然科學版),2007,30(3): 282-286.

        [3]詹瀘成,羅志琳. 離子晶體的馬德隆常數(shù)計算[EB/OL].北京:中國科技論文在線[2010-05-06].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201005-161.

        [4]躍遷函數(shù)[EB/OL]. http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html

        [5]Itzykson C, Luck J M. Arithmetical degeneracies in simple quantum systems[J]. J Phys A: Math Gen,1986,19: 211-239.

        [6]Srivastava H M,Junesang Choi. Series associated with Zeta and related functions[M]. Kluwer Academic Press,2001: 92-93.

        [7]王竹溪,郭敦仁. 特殊函數(shù)概論[M].北京:北京大學出版社,2000.

        The Madelung constant of two-dimensional ion crystal

        QIU Wei-gang

        (School of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou,Zhejiang 313000,China)

        The analytical expression of Madelung constant of two-dimensional square and hexagon ion crystal is derived from the infinite summation technique and asymptotic expansion method.

        Madelung constant;infinite summation;hexagon

        2015-04-07;

        2015-09-17

        國家自然科學基金(11475062,11275067)資助.

        邱為鋼(1975—),男,江蘇張家港人,湖州師范學院理學院副教授,博士,主要從事數(shù)學物理和大學物理的教學研究工作.

        教學討論

        O 481

        A

        1000- 0712(2016)04- 0019- 03

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