何春樂，王福謙

(長(zhǎng)治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治　046011)

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線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)及其數(shù)值模擬

何春樂，王福謙

(長(zhǎng)治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治046011)

將保角變換和磁像法相結(jié)合，求解由線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)，給出磁矢勢(shì)分布和磁感線方程，并利用軟件MATLAB對(duì)磁場(chǎng)分布進(jìn)行數(shù)值模擬.

線電流；帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板；保角變換；磁像法；磁矢勢(shì)；磁感線；數(shù)值模擬

本文擬利用復(fù)數(shù)坐標(biāo)系z(mì)上的儒可夫斯基變換和磁像法，研究由線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)，給出磁矢勢(shì)分布和磁感線方程，并利用軟件MATLAB的數(shù)值模擬功能，繪制出其磁感線圖.

1　理論依據(jù)

在通過保角變換法求解二維靜磁場(chǎng)邊值問題時(shí)，因?yàn)閦平面上的線元經(jīng)保角變換函數(shù)w=f(z)變換到w平面上時(shí)，其長(zhǎng)度要伸長(zhǎng)|f ′(z)|倍，載流區(qū)域內(nèi)的電流密度J(x,y)，經(jīng)保角變換后也將變化為J′(ξ,η)=|f ′(z)|2J(x,y)[1]，且f ′(z)不是常量，其量值是隨坐標(biāo)而逐點(diǎn)變化的.所以，對(duì)于一定分布的電流密度和一般的均勻磁介質(zhì)，其所對(duì)應(yīng)的邊值問題并不能通過保角變換法進(jìn)行求解，原因是保角變換不但改變了磁介質(zhì)的均勻性，同時(shí)也改變了原有的電流分布.但對(duì)于載流導(dǎo)體為線電流且磁介質(zhì)為鐵磁質(zhì)的情形，通過保角變換不但可將電流映射到確定的位置上，使其電流強(qiáng)度保持不變，而且保角變換后介質(zhì)的磁性能也無變化，因?yàn)殍F磁質(zhì)的磁導(dǎo)率相對(duì)真空為無窮大，而真空為一特殊的磁介質(zhì)，經(jīng)變換后其磁性能也不會(huì)變化.因此，本文擬將保角變換法和磁鏡像法相結(jié)合，求解線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)，并對(duì)其場(chǎng)分布進(jìn)行數(shù)值模擬.

2　帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板的橫截面及線電流位置的變換

2.1半橢圓到半圓的變換

如圖1所示，一無限大的鐵磁質(zhì)平板帶有一長(zhǎng)、短半軸分別為a、b的半橢圓柱凸起，與半橢圓柱凸起平行地放置一電流強(qiáng)度為I的線電流，取其任一截面為復(fù)平面z.因在垂直于線電流的所有截面上的磁場(chǎng)分布都相同，故這是一個(gè)具有較復(fù)雜邊界的平行平面靜態(tài)場(chǎng)問題.為了方便地求解此邊值問題，需利用保角變換將其復(fù)雜邊界變換為簡(jiǎn)單邊界.為此，首先通過如下的儒可夫斯基變換

(1)

圖1　帶有橢圓柱占起的大鐵磁質(zhì)板的橫截面

(2)

(3)

圖2　變換后的帶有半圓柱凸起大鐵磁質(zhì)板的橫截面

2.2消去半圓的變換

為了進(jìn)一步利用平面磁像法研究線電流與半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)，需進(jìn)一步將圖2中的半圓形凸起消除，使原區(qū)域映射為上半平面.這可通過如下的變換

(4)

來實(shí)現(xiàn).變換后的實(shí)軸即為無限大的鐵磁質(zhì)平板的橫截面，見圖3.

圖3　無限大鐵磁質(zhì)平板上方的線電流

因w1=u1+iv1，則

即

(5)

3　磁矢勢(shì)分布及磁感線方程

由上述變換關(guān)系可知，原z平面上的靜磁場(chǎng)，經(jīng)變換式(1)和式(4)，就映射為w平面上如下的平面靜磁場(chǎng)：實(shí)軸為鐵磁質(zhì)平板的橫截面，上、下半平面均為真空，在上半平面的P0(u0,v0)處放置線電流，線電流的位置坐標(biāo)為

(6)

而

(7)

其中

(8)

圖4　w平面上的場(chǎng)點(diǎn)及線電流位置

圖5　由平面磁像法求磁場(chǎng)的分布

對(duì)于真空和鐵磁質(zhì)，由于μFe>>μ0(鐵磁性材料的磁導(dǎo)率的數(shù)量級(jí)在102—106以上[3])，故在實(shí)際計(jì)算中將按μFe→∞來處理，則鏡像電流I′為

(9)

式(9)表明，真空中的磁場(chǎng)由原電流I和一個(gè)與其大小和方向都相同的電流在鏡像處對(duì)場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)的疊加.原電流I和鏡像電流I′在真空中的場(chǎng)點(diǎn)處所產(chǎn)生的磁矢勢(shì)的大小分別為

(10)

(11)

(12)

其中u0、v0由式(6)、式(7)確定.

將式(12)代入式(10)、式(11)，有

(13)

(14)

由式(13)、式(14)可得w平面上半平面的磁矢勢(shì)的分布為

(15)

其中κ為與w平面垂直且與u和v軸方向成右手螺旋關(guān)系的單位矢量.

將變換函數(shù)式(5)—式(7)代入式(15)，即得z平面上線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成磁場(chǎng)的磁矢勢(shì)分布.

因在平行平面場(chǎng)中，A的等值線就是磁感線[4]，故由式(15)，有

(16)

其中C為任意實(shí)常數(shù).

將變換函數(shù)式(5)—式(7)代入上式，即得z平面上真空區(qū)域中線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成磁場(chǎng)的磁感線方程.

4　磁場(chǎng)分布的數(shù)值模擬

為了給出線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)分布的直觀圖像，并進(jìn)一步驗(yàn)證本文所得結(jié)論的正確性，下面用數(shù)學(xué)軟件MATLAB對(duì)該場(chǎng)分布進(jìn)行數(shù)值模擬，其磁感線的分布見圖6至圖11.

圖6　線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)的磁感線分布圖(a=5,b=4)(線電流位置(-10，5))

圖7　線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)的磁感線分布圖(a=3,b=5)(線電流位置(6，10))

圖8　線電流與帶有低脊的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)的磁感線分布圖(a=0.5,b=10 )(線電流位置(5，10))

圖9　線電流與帶有半橢圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)的磁感線分布圖(a=0.2,b=8 )(線電流位置(6，12))

圖10　線電流與帶有低脊的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)的磁感線分布圖(a=0,b=5)(線電流位置(-5，6))

圖11　線電流與帶有半圓柱凸起的大鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)的磁感線分布圖(a=6,b≈6)(線電流位置(-6，10))

由圖6至圖11可以看出，線電流與帶有半橢圓柱凸起的鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)的磁感線的分布具有以下兩個(gè)特征：一是由真空進(jìn)入鐵磁質(zhì)的磁感線，垂直于其分界面(分界面為一等磁標(biāo)勢(shì)面)；二是在鐵磁質(zhì)邊界的影響下，線電流的磁場(chǎng)發(fā)生了畸變，磁感線的形狀由原來繞著線電流的一系列同心圓，變?yōu)槌潭炔煌孛撾x同心圓的閉合曲線族.這里波導(dǎo)磁感線的分布特征也與有關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)論相一致[5,6]. 電工學(xué)中研究各種電機(jī)鐵芯氣隙內(nèi)磁場(chǎng)的磁感線分布時(shí)也經(jīng)常用到這一特征.

5　結(jié)束語(yǔ)

本文用保角變換和磁像法研究了線電流與帶有半橢圓柱凸起的鐵磁質(zhì)板所形成的磁場(chǎng)，并把結(jié)果擴(kuò)展到凸起柱形狀為低脊和近似半圓柱的情形，為研究真空中線電流與鐵磁質(zhì)所形成的磁場(chǎng)及求解具有復(fù)雜邊界的靜磁場(chǎng)邊值問題，提供了一種新的思路和方法，在科研與教學(xué)上具有一定的理論意義.因在生產(chǎn)和科研中多遇到線電流處于鐵磁質(zhì)周圍的情形，一些實(shí)際場(chǎng)合可用此方法來做半定量分析和估算，故本文中所得到的結(jié)論也具有一定的實(shí)用價(jià)值.

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The magnetic field of a linear current and a big ferromagnetics plate with a semi elliptic cylindrical raised and its numerical simulation

HE Chun-le,WANG Fu-qian

(Department of Electronic Information and Physics ,Changzhi University,Changzhi,Shanxi 046011,China)

The magnetic field of a linear current and a big ferromagnetics plate with a semi elliptic cylindrical raised is studied by using conformal mapping and magnetic images method.Its magnetic vector distribution and magnetic induction line equation are obtained.The magnetic induction line maps are plotted by using the software MATLAB.

linear current;a big ferromagnetics plate with a semi elliptic cylindrical raised;conformal mapping;magnetic image method;magnetic vector;magnetic induction lines;numerical simulation

2015-07-29；

2015-10-21

山西省自然科學(xué)基金(2012011028-1)資助

何春樂(1979—)，男，山西偏關(guān)縣人，長(zhǎng)治學(xué)院電子信息與物理系講師，碩士，主要從事粒子物理和光電效應(yīng)的研究工作.

O 441

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1000- 0712(2016)03- 0022- 05