韓勝強(qiáng)

(焦作師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院，河南 焦作　461400)

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關(guān)于洛希極限下的引力輻射

韓勝強(qiáng)

(焦作師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院，河南 焦作461400)

指出了對于行星(或是衛(wèi)星)繞主星體公轉(zhuǎn)由于發(fā)射引力波損失動(dòng)能而出現(xiàn)向主星體接近的速度，如果行星對主星體的洛希極限在主星體的外部，那么行星在由于引力輻射而向主星體接近的速度驅(qū)使下到達(dá)其洛希極限時(shí)就會被主星體的潮汐力所撕裂，引力輻射在此時(shí)終結(jié)，筆者計(jì)算給出了行星被撕裂的時(shí)間方程式.以太陽系中的土星為例子計(jì)算了它因引力輻射向太陽接近時(shí)被潮汐掉的時(shí)間，并將這一想法推廣到相互繞轉(zhuǎn)的雙星系統(tǒng)或彗星.

引力輻射;洛希極限;接近;潮汐力;碎裂

關(guān)于動(dòng)體的弱場引力輻射是由A.Einstein在他的廣義相對論的著作中提出的[1].盡管有關(guān)引力波的理論工作在逐漸走向成熟，但在實(shí)驗(yàn)上并沒有直接探測到，引力輻射和引力波的理論探討和實(shí)驗(yàn)檢測一直是引力研究領(lǐng)域的核心問題之一[2].美國科學(xué)家韋伯是首個(gè)用實(shí)驗(yàn)去檢驗(yàn)引力波的人，他曾宣稱檢測到來自銀河系中心的引力輻射，但后來沒被證實(shí).引力波的發(fā)現(xiàn)對我們了解宇宙起源意義重大.筆者在這里考慮了對于繞主星體公轉(zhuǎn)發(fā)射引力波的行星(或衛(wèi)星)在到達(dá)其洛希極限被撕碎而解體時(shí)引力輻射所終止的時(shí)間，在推廣到雙星或密度比較小的彗星時(shí)我們有必要考慮這一情況.

假設(shè)一個(gè)質(zhì)量為m的行星繞著一個(gè)質(zhì)量為M的主星體(或者視為恒星)以角速度ω公轉(zhuǎn)，它們之間的距離為r,公轉(zhuǎn)軌道近似為圓形.由于這顆行星有隨時(shí)間變化的引力四極矩，那么它會發(fā)出引力輻射，即四極輻射.我們在Landau-Lifshitz關(guān)于引力場的能量動(dòng)量表述的基礎(chǔ)上，有弱場近似下的引力輻射功率為[3,4]

(1)

圖1

(2)

為了描述行星m在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中的位置我們引入如下的坐標(biāo)變換：

(3)

于是，行星在其主星體的引力場中做近似圓周運(yùn)動(dòng)的四極矩張量(為對稱張量)為

Qij=∫mδ(x1-x10,x2-x20,x3)xixjdV

(4)

Q11(t)=∫mδ(x1-x10,x2-x20,x3)x1x1dV=

I11cos2ωt

(5)

Q12(t)=Q21(t)=I11cosωtsinωt

(6)

Q22(t)=I11sin2ωt

(7)

其余的Qij(t) 都為零.

由式(5)—式(7)可以得到行星的四極矩張量對時(shí)間的三階導(dǎo)數(shù)為：

進(jìn)一步得：

(8)

(9)

(10)

其中四極矩上的點(diǎn)表示對時(shí)間的微分，以上3個(gè)點(diǎn)代表對時(shí)間的三階微分.

將式(8)—式(10)代入式(1)得到行星m的引力輻射功率公式：

(11)

引力場是保守場，行星在引力場中運(yùn)動(dòng)的總的能量是其動(dòng)能與勢能之和：

故行星由于引力輻射損失能量所引起的向主星體接近的速度為

(12)

將式(11)代入式(12)中得

(13)

由式(13)可以看出，行星輻射出能量后會向主星體靠近，距離越小接近的速度就越大.其實(shí)，這是由于行星的角動(dòng)量在隨時(shí)間減小，輻射場對質(zhì)心的角動(dòng)量在隨時(shí)間而增加的緣故[6].

如果我們假設(shè)，這個(gè)行星對其主星體的洛希極限在主星體的外面，也就是說有如下關(guān)系成立：

RRoche>R0

其中，RRoche為行星對其主星體的洛希極限，R0為主星體的半徑.那么行星由于引力輻射損失能量在向主星體接近時(shí)到達(dá)其洛希極限的時(shí)間為

整理后得到

作為例子，討論太陽系中的土星，假設(shè)其在不受其他因素影響下，在因引力輻射損失動(dòng)能而向太陽接近時(shí)到達(dá)其洛希極限時(shí)因太陽的引潮力而碎裂的時(shí)間.

由洛希極限表達(dá)式：

其中，M⊕為主星體質(zhì)量，ρm為行星的密度.在我們討論的這一情況下，太陽的質(zhì)量為：M⊕=1.989×1030kg[7].土星的密度為：ρ0=700 kg·m-3，由此可以算出土星對太陽的洛希極限：

RRoche=1.267 228 129 051×109m

且有

RRoche>R⊙,(R⊙為太陽半徑)

也就是說土星的洛希極限暴露在太陽的球體以外，土星向太陽靠近(由于引力輻射)，那么在土星到達(dá)其對太陽的洛希極限時(shí)會因?yàn)樘柕囊绷Χ榱?，土星的引力輻射會在此時(shí)終止.根據(jù)這些數(shù)據(jù)我們可以大致計(jì)算出這一時(shí)間為

t≈9.337 450 903 182 8×1024年

我們再次做出這樣一個(gè)假設(shè)：如果土星的洛希極限沒有暴露在太陽的球體之外，那么土星向太陽靠近并撞上太陽合并在一起，引力輻射在這樣的情況下終止的時(shí)間為

計(jì)算后得

t′≈9.337 450 903 188 6×1024年

由此便可得出在這樣的假設(shè)下，土星的引力輻射終

止的時(shí)間提前了：

Δt=t′-t

≈5.8×1012年

可見，這一提前的時(shí)間與總的時(shí)間相比數(shù)量級的差別是何等之大，顯得微不足道.當(dāng)我們看到這些數(shù)據(jù)之后會發(fā)現(xiàn)它們的數(shù)量級驚人，事實(shí)上這也不足為奇，因?yàn)槲覀兲栂抵械耐列禽椛涔β适欠浅Ｐ〉?以至于要想將動(dòng)能完全輻射掉所需要的時(shí)間甚至要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于我們現(xiàn)在所了解的宇宙的年齡.

在這里我們以太陽系的土星為例子來對這一想法做出說明，我們也可以把它應(yīng)用到宇宙中的彗星、雙星系統(tǒng)或其他星系團(tuán)中去.對于那些洛希極限暴露在主星體外面的行星(或衛(wèi)星)我們有必要去考慮這一因素.比如在1975年美國科學(xué)家J.泰勒和R.休斯首先發(fā)現(xiàn)的射電脈沖雙星 PSR1913+16 ，有科學(xué)家估計(jì)它們因引力輻射而引起的相互接近(旋進(jìn))直至合并所需要的時(shí)間大約為：3億年[8]，如果伴星對主星的洛希極限大于主星體的球體半徑，那么我認(rèn)為這一時(shí)間有可能會提前.

[1]愛因斯坦.愛因斯坦文集(增訂本)第二卷[M].范岱年，趙中立，許良英，譯.北京：商務(wù)印書館，2009：427-444.

[2]青心.對-諧條件下不存在引力輻射和引力波的研究[J].物理學(xué)報(bào)，2000，49(2).

[3]E.M.栗弗席茲，朗道.場論[M].任朗，袁炳楠，譯.北京：人民教育出版社，1978.

[4]劉遼，趙崢.廣義相對論[M].2版.北京：高等教育出版社2004:136.

[5]趙崢，劉文彪.廣義相對論基礎(chǔ)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2010:110.

[6]汪定雄.引力輻射與角動(dòng)量守恒[J].大學(xué)物理，1992，11(10)：24-25.

[7]靳鐵良.天體系統(tǒng)和粒子系統(tǒng)的相似性歸納[J].平頂山師專學(xué)報(bào) 2002,17(2).

[8]PSR B1913+16[EB/OL].http://zh.wikipedia.org/wiki/PSR_1913%2B16.

The gravitational radiation under the roche limit

HAN Sheng-qiang

(School of Science and Engineering，Jiaozuo Teachers College,Jiaozuo, Henan 461400, China)

This paper points out that a planet (or a satellite) revolving around a primary star may generate a velocity component towards the star because of kinetic energy loss due to gravitational wave emission and, if the Roche limit of the planet with respect to the primary star lies outside of the star surface, the planet, driven by the velocity component towards the star, will ultimately approach the Roche limit, where it is ripped apart by the tidal force and where the gravitational radiation terminates. The author gives an equation for computing the time at which the planet is ripped apart. A computation example is given using Saturn in the solar system as the study subject, in which the time of its ripping apart by tidal force is computed as it approaches the Sun under the influence of gravitational radiation. This philosophy is further generalized to binary stars that revolving around each other and to comets.

gravitational radiation; Roche limit; approach; tidal force; ripping apart

2015-06-13；

2015-11-12

韓勝強(qiáng)(1992—)，男，河南周口人，焦作師范高等?？茖W(xué)校理工學(xué)院2012級?？粕?，學(xué)習(xí)和研究理論物理及宇宙量子現(xiàn)象.

大學(xué)生園地

O 412

A

1000- 0712(2016)03- 0054- 02