王　鑫，劉天貴，劉全慧

(湖南大學 物理與微電子科學學院 理論物理研究所，湖南 長沙410082)

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一維氫原子模型中的空間分離

王鑫，劉天貴，劉全慧

(湖南大學 物理與微電子科學學院 理論物理研究所，湖南 長沙410082)

一維氫原子模型原始的定義在全空間x∈(-∞,∞)，多年的研究發(fā)現(xiàn)，由于勢～-1/|x|的奇異性比想象嚴重，空間被分割成為了兩個獨立的半無限空間.在這兩個獨立的空間中，分別定義了兩個半空間中的氫原子.

一維氫原子模型；空間分離；奇異勢能

1　一維氫原子模型，通常教科書中“標準”處理及其結果

一維氫原子模型指的是一個負電荷(-q)在一個質量無限大的正電荷Q中的運動，最簡單的情況是Q=q=e為電子電荷的絕對值.電勢能為

(1)

其中k=qQ/(4πε0)→e2/(4πε0)為一正常數(shù)，|x|為正負電荷間的距離.在量子力學中，哈密頓算符為

(2)

定態(tài)薛定諤方程為

Hψ=Eψ

(3)

物理學界第一次注意到這個問題是1952年[1]，后來又反復回到這一問題.2009年的一篇《論一維庫侖問題》[2]的短文，列出了54篇相關文獻，而這篇論文現(xiàn)有15篇引用(2015年10月3日google數(shù)據(jù)).當然，這些論文不全是、也不可能是這個問題的全部研究論文.對這個問題的研究興趣持續(xù)不減，至今(2015年)仍是[3,4]，既有理論上的原因，例如它涉及到很現(xiàn)代的概念例如超對稱[2]、重整化[5]等；也由于多種物理問題可以用相互作用進行近似處理，詳情可參見文獻[2]中的綜述部分.

從教學研究的角度看，對于一維體系，有3個相關的定理.定理之一是：基態(tài)無簡并且沒有節(jié)點.定理之二是：粒子在對稱勢場中運動，那么對于某一能級的定態(tài)，如果沒有簡并，則該態(tài)具有確定的宇稱.定理之三是：粒子在充分規(guī)則的勢場中運動，如果有束縛態(tài)，則必定不是簡并的.

由于一維氫原子模型的勢能在x=0處奇異，故不滿足定理三；由于定理二處理的是一般情況，本質上也要求勢函數(shù)充分規(guī)則，所以定理二也不適用.只剩下定理一，似乎不能不滿足，但是問題遠比預期復雜.

從表面上看，方程(3)的解可以通過如下過程而獲得.

1) 對于非奇異態(tài)，波函數(shù)本身及其導數(shù)連續(xù)，故ψ(0)=0. 證明如下.

現(xiàn)在處理的是全一維空間x∈(-∞,∞)，而x=0是勢能V(x)的奇點，也就是系統(tǒng)哈密頓算符的奇點，這一點的態(tài)只能由邊值關系來確定.對式(3)的兩邊同時積分，得

(4)

第二個積分是一個廣義積分，需要研究其積分主值

(5)

這個積分有意義要求滿足條件：

ψ(0-)+ψ(0+)=0

(6)

另一方面，波函數(shù)本身必須連續(xù)，即

ψ(0-)=ψ(0+)=ψ(0)

(7)

故得

ψ(0)=0

(8)

證畢.

2) 基態(tài)可能是奇異態(tài)，可以利用各種漸近過程去逼近這個奇異態(tài).一種方式就是利用如下勢能：

(9)

先求出基態(tài)，然后讓參量α→0，或者β→0，發(fā)現(xiàn)可能存在一個奇異態(tài)：

(10)

這個態(tài)對應的能量為負無窮大，即

E0=-∞

(11)

3) 哈密頓算符(2)具有一個明顯的性質：宇稱算符P和哈密頓H對易，即

[H,P]=0

(12)

(13)

(14)

它們構成二重簡并態(tài)，對應的能量本征值為

(15)

也就是通常的氫原子能級.

2　“標準”結果中的一些數(shù)學上的困難

1) 數(shù)學上，哈密頓算符(2)不是一個自伴算符[4,5].這個算符從形式上看，是如下算符的極限：

(16)

這兩個算符是自伴算符！但是，H(α→0)≠H(α=0)，也就是自伴算符的極限完全可以是非自伴算符.如何理解這個“怪異”的現(xiàn)象呢?

一般來說，數(shù)學上，極限有3種情況.下面用定義在一個圓域r∈[0,1)內的函數(shù)f(r)的數(shù)值和它在邊界r=1點處函數(shù)值f(1)之間的關系來說明.第一種情況最簡單，f(1)極限存在，而這點的極限數(shù)值可以通過逼近來獲得，有

f(1)=f(0.999…)

(17)

第二情況是，f(1)極限存在，而這點的極限數(shù)值不可以通過逼近來獲得，即

f(1)≠f(0.999…)

(18)

一個半徑為1的圓形的篩子，就屬于這種情況.注意這個篩子是一個理想的數(shù)學抽象，邊沿不連續(xù)地直立向上而底面是圓面，這個邊沿的厚度為零.

第三情況是，r=1根本沒有定義，談論這點的極限數(shù)值無意義.一個例子是上面的圓形篩子把邊齊根剪掉之后的情況.

很明顯，我們碰到一個極為容易忽視的問題，表面上看來，式(2)是式(15)的極限，也就是屬于上面的第一種情況，其實不是！當a=β=0時，算符不是自伴算符，根本不屬于自伴算符族H(α)或者H(β)中a→0或者β→0的極限情況.故屬于第二種情況式(18).

(19)

也就是有

ψ′(0+)-ψ′(0-)=0

(20)

而把式(14)代入后發(fā)現(xiàn)[6,7]：

ψ′(0+)-ψ′(0-)≠0

(21)

故而應該剔除偶宇稱解.

以上3點，不是數(shù)學困難的全部，有些問題超出了大學物理的范圍，例如來自超選擇規(guī)則(superselection rule)[6]，超對稱勢伴(supersymmetric partner)勢[6]，等等，可以參看有關專業(yè)文獻.

3　“標準”結果中的一些物理上的困難

1) 任何波包都不隨時間演化.任意構造一個波包：

(22)

直接計算可得它不僅概率流密度為零，而且位置和動量的期待值為零：

j(0)=0,〈x〉=0,〈p〉=0

(23)

這個結果暗示，從這個系統(tǒng)中讀不出任何信息.要么這是一個完全非物理的模型；要么它是一個物理的模型，但我們可能忽視了某個重要的原則.

(24)

把這個結果延拓到E<0(復γ)能域，T的簡單極點對應的束縛態(tài)能量正好是E=-μγ2/(2?2).

3) 一個不是很嚴重的困難是基態(tài)解的負無窮能量問題.任何高能級上的粒子會由于自發(fā)躍遷而向基態(tài)躍遷，如果這樣，系統(tǒng)將一直呆在基態(tài)上.反過來，如果粒子已經在基態(tài)上，似乎就無法躍遷到激發(fā)態(tài)去.不過，自發(fā)躍遷要求有物理真空的存在，而對一維系統(tǒng)如何定義這一真空，且這一真空是否可導致通常的自發(fā)躍遷不是很清楚；反過來，如果存在一維真空，而真空中有無限大的能量，這個能量足夠把基態(tài)上的粒子激發(fā)出來.

4) 另外一個不是很嚴重的困難是，這個問題沒有經典對應.在經典力學中，這個問題的解認為粒子只能分別局限在兩個半空間中運動，而不能從左半空間運動到右半空間去.為什么這個困難也不是很嚴重? 這是因為，經典力學中不存在的東西，量子力學中可以存在.

4　“標準”結果的數(shù)學和物理的困難導致必須正確理解一維氫原子模型

定義在一維全空間x∈(-∞,∞)中的一維氫原子模型，有許多困難，但是根本的困難在于x=0時，勢的奇異性太厲害，以至于把空間分割成為了兩個獨立的半無限空間.這樣，一維氫原子模型變得異常簡單，

(25)

這個系統(tǒng)的能量就是氫原子能級式(15)，定態(tài)為φn(x),(x>0)或者φn(-x),(x<0).它本質上就是三維氫原子中零角動量的解.

如果考慮到核半徑的有限性，一維氫原子模型的勢能最好由式(9)來描述，這個時候，奇宇稱和偶宇稱的解同時存在，但是不簡并[10].關于一維體系的許多量子力學定理都平庸地適用.

5　結論和討論

盡管形式一樣，二維、三維空間中庫侖勢-1/r的奇異性和一維勢-1/|x|的奇異性完全不同.一維氫原子模型不能定義在全空間x∈(-∞,∞)，由于勢的奇異性太嚴重，以至于x=0處，空間被分割成為了兩個獨立的半無限空間.每個半空間中都有一個一維氫原子.

對于奇異系統(tǒng)，不是一些已知的定理能不能用的問題，而是根本不在同一框架中.這說明在物理學中，每碰到特異性時，往往需要單獨研究.

[1]Flügge S,Marschall H.Rechenmethoden der Quantentheorie [M].Berlin: Springer-Verlag,1952:69.

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[3]Carrillo-Bernal M A,Núez-Yépez H N,Salas-Brito A L,et al. Comment on “Calculations for the one-dimensional soft Coulomb problem and the hard Coulomb limit” [J].Phys Rev E,2015,91: 027301.

[4]Daniel H Gebremedhin,Charles A Weatherford.Calculations for the one-dimensional soft Coulomb problem and the hard Coulomb limit [J].Phys Rev E,2014，89:053319；Reply to “Comment on ‘Calculations for the one-dimensional soft Coulomb problem and the hard Coulomb limit’ ” [J].Phys Rev E,2015,91: 027302.

[5]Mineev V S.The Physics of Self-Adjoint Extensions: One-Dimensional Scattering Problem for the Coulomb Potential [J].Teoret Mat Fiz,2004,140(2): 310-328.

[7]Dai Xianxi，Dai Jixin，Dai Jiqiong.Orthogonality criteria for singular states and the nonexistence of stationary states with even parity for the one-dimensional hydrogen atom [J].Phys Rev A,1997,55: 2617.

[8] Oseguera U,de Llano M.Two singular potentials: The space-splitting effect [J].J Math Phys,1993,34: 4575.

[9]曾謹言.量子力學(卷I)[M].5版.北京：科學出版社，2013：91；240.

[10]Daniel H Gebremedhin，Charles A Weatherford.Calculations for the one-dimensional soft Coulomb problem and the hard Coulomb limit [J].Phys Rev E，2014,89: 053319.

Space-splitting in the one-dimensional hydrogen atom model

WANG Xin，LIU Tian-gui,LIU Quan-hui

(School for Theoretical Physics,School of Physics and Microelectronic Science,Hunan University,Changsha,Hunan 410082,China)

The potential energy for one-dimensional hydrogen atom is usually modelled by-1/|x|over the entire spacex∈(-∞,∞).Studies over years reach a consensus that the space is separated into two impermeably semi-infinite spaces due to the serious singularity of the potential.In the two spaces, there exist two independent one-dimensional hydrogen atoms.

one-dimensional hydrogen atom;space-splitting;singular potential

2015-08-00；

2015-10-08

國家自然科學基金資助課題(批準號：11175063)；湖南大學教改基金資助課題.

王鑫(1966-)，女，河南舞陽人，湖南大學物電院副教授，博士.

O 413.1

A

1000- 0712(2016)03- 0030- 04