蘇新衛(wèi)

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Banach壓縮映像原理應(yīng)用分析

蘇新衛(wèi)

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京） 理學(xué)院，北京 100083）

分別從空間的選取、Lipschitz常數(shù)的限制及局部解的存在區(qū)間等方面，用Banach壓縮映像原理證明一階常微分方程初值問題解的存在唯一性．以期使初學(xué)者加深對(duì)Picard定理的理解和掌握，體會(huì)Banach壓縮映像原理在微分方程解的定性理論中的靈活應(yīng)用，并為常微分方程課程的教學(xué)提供參考．

Banach壓縮映像；初值問題；Picard定理

Banach壓縮映像原理是一個(gè)重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛[1-3]．在微分方程解的定性理論研究中，Banach壓縮映像原理作為證明定解問題存在唯一解的重要工具，在常微分方程、偏微分方程（包括分?jǐn)?shù)次常微分方程和偏微分方程）和積分微分方程中有廣泛應(yīng)用[4-8]．

Picard定理是國(guó)內(nèi)大多數(shù)理工科大學(xué)生首先接觸到的討論微分方程解的存在唯一性的基礎(chǔ)理論知識(shí). 其證明方法是將微分方程的初值問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程，構(gòu)造Picard迭代序列，證明Picard迭代序列的收斂函數(shù)即是微分方程初值問題的唯一解．這種經(jīng)典證明方法是分析學(xué)里的基礎(chǔ)方法，其明顯優(yōu)點(diǎn)是提供了近似解的具體求法，但對(duì)初學(xué)者來說稍顯冗長(zhǎng)．本文分別從空間的選取、Lipschitz常數(shù)的限制及局部解的存在區(qū)間等方面，用Banach壓縮映像原理證明一階常微分方程初值問題解的存在唯一性．以期使初學(xué)者加深對(duì)Picard定理的理解和掌握，體會(huì)Banach壓縮映像原理的靈活應(yīng)用．

1　Picard定理和Banach壓縮映像原理

對(duì)于一階常微分方程的初值問題

解的存在性有Picard定理．

Picard定理[4]120若函數(shù)在空間中某一區(qū)域（）上連續(xù)，并且關(guān)于滿足Lipschitz條件，即存在，使得當(dāng)時(shí)，有

Banach壓縮映像原理[3]37設(shè)是一個(gè)Banach空間，是一個(gè)非空閉集，，若存在，使得對(duì)任意，有，則有唯一一個(gè)元素，使得，即是算子的唯一不動(dòng)點(diǎn)．

2　Picard定理的證明

證明易知問題（1）等價(jià)于積分方程

方法2在Picard定理中，限制式（2）中的Lipschitz常數(shù)滿足，證明在區(qū)間上存在唯一解．

注4與方法1和方法2相比，在方法3中，既沒有限制Lipschitz常數(shù)的大小，又沒有改變局部解的存在區(qū)間．由于選取了不同的Banach空間，從而也保證了是壓縮映照.

注5和方法1、方法2相比，方法4選取同樣的Banach空間，但沒有限制Lipschitz常數(shù)的大小,也沒有改變局部解的存在區(qū)間．和方法3相比，方法4中Banach空間范數(shù)更加簡(jiǎn)潔．

3　結(jié)語

本文用Banach壓縮映像原理證明了一階常微分方程初值問題解的存在唯一性．從幾種不同的證明方法可以看到，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題靈活應(yīng)用Banach壓縮映像原理討論微分方程解的定性理論，如可以選取合適的Banach空間，適當(dāng)?shù)叵拗芁ipschitz常數(shù)以保證算子的壓縮性，也可以保證的壓縮性等．一般情況下，希望在較弱的條件下，在較大區(qū)域內(nèi)有解，這為如何應(yīng)用Banach壓縮映像原理討論微分方程解的定性理論提供了依據(jù)原則.

[1] 吳秉會(huì)，魏連鎖. 壓縮映像原理在遞推數(shù)列極限中的應(yīng)用[J]．高師理科學(xué)刊，2007，27（2）：19-21

[2] 莫海萍，胡慶席．利用壓縮映像原理證明連續(xù)函數(shù)的介值性定理[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2016，32（1）：88-90

[3] 趙艷，陳欣．壓縮映像原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用——Banach空間等價(jià)范數(shù)與Lipschitz條件[J]．西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，10（4）：37-38

[4] 王高雄，周之銘，朱思銘，等．常微分方程[M]．3版．北京：高等教育出版社，2006

[5] 丁同仁．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2010

[6] 東北師范大學(xué)微分方程教研室．常微分方程[M]．2版．北京：高等教育出版社，2005

[7] Kilbas A A，Srivastava H M．Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M]．Amsterdam：Elsevier，2006

[8] 許曉婕，胡衛(wèi)敏．一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性結(jié)果[J]．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2012，32（5）：580-590

Analysis on the applications of the Banach contraction mapping principle

SU Xin-wei

（School of Science，China University of Mining and Technology，Beijing 100083，China）

From the aspects of the selection of spaces，the restriction of Lipschitz constants and the existence interval of local solutions and by Banach contraction mapping principle，proves the existence and uniqueness of solutions to an initial value problem of the first order ordinary differential equations. The aims of this paper are for beginners to deepen the understanding and mastering of the Picard theorem and experience the flexible applications of the Banach contraction mapping principle in the qualitative theory of differential equations．Meanwhile，provides some references for the teaching of ordinary differential equations.

Banach contraction mapping principle；initial value problem；Picard theorem

1007-9831（2016）11-0014-04

O175.12

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.11.004

2016-06-01

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）課程建設(shè)與教改項(xiàng)目（K150702）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11371364）

蘇新衛(wèi)（1971-），女，山東寧津人，副教授，碩士，從事微分方程定性理論研究．E-mail：kuangdasuxinwei@163.com