劉素紅

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西寶雞721013)

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如何讓數(shù)學(xué)專業(yè)大一新生順利進(jìn)入《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)

劉素紅

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西寶雞721013)

針對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，采用案例分析方法，給出了如何逐步化解難點(diǎn)、掌握重點(diǎn)的具體措施，最終使學(xué)生順利進(jìn)入《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)，用以指導(dǎo)教學(xué).

數(shù)學(xué)分析； 極限； 確界； 任意性； 存在性

1　引　　言

《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生必修專業(yè)基礎(chǔ)課程，這門課程也成為大多數(shù)學(xué)生進(jìn)入大學(xué)校門后第一道難邁的坎和大學(xué)學(xué)習(xí)的當(dāng)頭一棒.解決這個(gè)問(wèn)題，教師不但要有廣博精深的知識(shí)，更要有有效可行的方法[1-3].本文以具體的案例分析指出，如何讓數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)一年級(jí)學(xué)生順利進(jìn)入《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí).

大一新生剛剛結(jié)束了長(zhǎng)期的應(yīng)試解題訓(xùn)練，《數(shù)學(xué)分析》對(duì)他們的感覺(jué)完全不同于已經(jīng)學(xué)習(xí)了多年的數(shù)學(xué)：中學(xué)階段的數(shù)學(xué)是要求寫出精確過(guò)程、解出唯一答案的幾何證明與代數(shù)計(jì)算，而在大學(xué)，《數(shù)學(xué)分析》是抽象的、模糊的文字性描述.這就嚴(yán)重沖擊了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的精準(zhǔn)性、具體可操作性特點(diǎn)的理解,感覺(jué)學(xué)習(xí)這門課程無(wú)從下手，甚至有的時(shí)候還會(huì)出現(xiàn)高中知識(shí)與大學(xué)知識(shí)相悖的困惑.這種感覺(jué)源于兩點(diǎn)：一是高中階段過(guò)分強(qiáng)調(diào)程序化、公式化、模式化的知識(shí)應(yīng)用訓(xùn)練,弱化了知識(shí)的源頭與理解；二是從高三年級(jí)到大學(xué)一年級(jí)學(xué)習(xí)方法、思維方式的過(guò)渡沒(méi)有做好,也就是，中學(xué)學(xué)習(xí)與大學(xué)學(xué)習(xí)之間的銜接沒(méi)有做到位.在高三年級(jí)階段教師無(wú)力、學(xué)生無(wú)心、學(xué)校無(wú)責(zé)為學(xué)生做這一銜接，這一銜接責(zé)無(wú)旁貸地落在了大學(xué)老師肩上，并且是在大學(xué)學(xué)習(xí)剛開(kāi)始的階段就要做這項(xiàng)工作，否則嚴(yán)重影響學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí).

一大部分學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》時(shí),怯步于第一章.事實(shí)上，對(duì)剛剛邁出高中門檻的他們而言,最難的就是入門、就是第一章.第一章讓學(xué)生感到困難、困惑、無(wú)法捕捉.其中的兩個(gè)定義“確界”與“極限”是產(chǎn)生這些感覺(jué)的核心因素,這兩個(gè)定義恰恰也是本章、乃至本書的核心定義.所以對(duì)這兩個(gè)定義的理解程度、掌握程度直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這門課程的理解與掌握程度.這兩個(gè)定義中的關(guān)鍵詞又是另外兩個(gè)概念“任意”與“存在”,充分、準(zhǔn)確地理解這兩個(gè)概念, 就能理解透徹“確界”與“極限”、消除第一章困惑,《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習(xí)之門就自然被打開(kāi).

“任意”與“存在”這兩個(gè)詞,對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生,在高中階段有一定程度的認(rèn)知，教師可在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生逐漸加深理解,最終達(dá)到透徹理解.本文結(jié)合具體案例指出如何讓學(xué)生循序漸進(jìn)地理解、掌握這兩概念.

2　案　　例

預(yù)例2.1判斷下列命題真假,并寫出否命題、判斷否命題真假.

1.本班任意一個(gè)(所有、每一個(gè)、一切)同學(xué)都是通過(guò)高考錄取到寶雞文理學(xué)院上學(xué)的.

2.本班存在平行B志愿被錄取到寶雞文理學(xué)院的同學(xué).

3.本班不存在志愿表上填寫“不服從調(diào)劑”的同學(xué).

先讓同學(xué)自己分析命題所表達(dá)的意思，然后做出判斷.

命題1是一個(gè)真命題，其否命題為：本班存在某個(gè)同學(xué)不是通過(guò)高考錄取到寶雞文理學(xué)院上學(xué)的.經(jīng)調(diào)查，否命題是假命題.

對(duì)于命題2

其真假需要分析調(diào)查.方法是，只要能找到一個(gè)同學(xué)是通過(guò)B志愿被錄取來(lái)的，這個(gè)命題就是真命題；如過(guò)每一個(gè)/任何一個(gè)/所有同學(xué)都不是B志愿被錄取的，那么命題就是假命題.

命題2的否命題為：本班不存在B志愿被錄取到寶雞文理學(xué)院的同學(xué).進(jìn)一步也可以說(shuō)，本班的任何一個(gè)/每一個(gè)/所有同學(xué)都不是B志愿被錄取到寶雞文理學(xué)院的.再判斷其真假.方法是與原命題方法相同.

對(duì)于命題3，可以設(shè)問(wèn)：能否換一種說(shuō)法，即

3 ′. 本班任意(所有、一切)同學(xué)的志愿表上都填寫“服從調(diào)劑”.然后再寫出其否命題：本班不是所有/不是一切同學(xué)的志愿表上都填寫“服從調(diào)劑”；或者，本班有些同學(xué)/存在某個(gè)同學(xué)的志愿表上填寫“不服從調(diào)劑”.其真假判斷方法同上.

案例2.1[4-5]設(shè)a,b∈.證明若對(duì)任何正數(shù)ε有a

此命題的關(guān)鍵是理解,而非證明.理解了命題,才能接受它所傳遞的信息,才能正確應(yīng)用.首先,讓同學(xué)們?nèi)我饨o出兩個(gè)具體實(shí)數(shù)a,b，再找出滿足a

abε1ε2ε3ε4…a

通過(guò)此例,加強(qiáng)對(duì)“任何正數(shù)ε”的理解,為后面極限概念做鋪墊.

證(反證法)假設(shè)a≤b不成立.據(jù)全序性a>b,則a-b>0,取ε=a-b.由a

在這里一定要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)指出：找到了一個(gè)ε=a-b>0,使a

案例2.2對(duì)“確界”概念的理解(以“上確界”為例).

分為幾個(gè)步驟理解“上確界”的概念.

1. 首先理解“上界”的概念

上界：設(shè)數(shù)集S?R,實(shí)數(shù)M∈R.若對(duì)一切x∈S,都有x≤M,則M為集合S的一個(gè)上界.

結(jié)合具體例子步步設(shè)問(wèn)，層層遞進(jìn)理解

對(duì)于(i)學(xué)生能夠用定義驗(yàn)證,可進(jìn)一步提出問(wèn)題：上界是否唯一？若不唯一,這些上界構(gòu)成的集合有無(wú)最大、最小值？

對(duì)于(iii)學(xué)生能夠容易回答,給出的數(shù)都不是上界,也能根據(jù)定義說(shuō)明原因,至于無(wú)上界的原因可能就不好回答.這時(shí)候可以指導(dǎo)學(xué)生這樣找到答案：假設(shè)數(shù)M是集合S的任意一個(gè)上界,取x0=[M]+1,顯然x0∈S,且x0>M,也就是說(shuō),集合S中存在數(shù)x0大于上界M,出現(xiàn)矛盾.即任何數(shù)M都不是集合S的上界,從而S無(wú)上界.

形象地說(shuō), 若用豎直向上的數(shù)軸上的點(diǎn)表示集合S中的數(shù)和其上界M,則S中的數(shù)均標(biāo)在點(diǎn)M的下面或最多與點(diǎn)M重合, 點(diǎn)M上方不會(huì)有集合S中的數(shù).

2. 理解“上確界”的概念

上確界：簡(jiǎn)言之,最小的上界.上界中的最小值,是唯一的.

在(i)中10是上確界,因?yàn)?0是最小的上界；

在(ii)2)中1是最小的上界,從而是上確界；

在(iii)中,因?yàn)闊o(wú)上界,故沒(méi)有上確界.

以上僅是具體簡(jiǎn)單的集合,容易利用簡(jiǎn)易的定義解決,那么對(duì)于抽象的集合,此定義就無(wú)能為力.下面給出上確界的分析定義：

定義2.1[4]若數(shù)η滿足：(i)對(duì)一切x∈S,都有x≤η(即η是數(shù)集S?R的上界)；(ii)對(duì)于任何小于η的數(shù)α,存在x0∈S,使得x0>α(即任何小于η的數(shù)α都不是集合S的上界,從而η是最小的上界).則稱數(shù)η是數(shù)集S的上確界,記作η=supS.

其等價(jià)敘述為:若數(shù)η滿足(i)對(duì)一切x∈S,都有x≤η；(ii)對(duì)于任何正數(shù)ε,存在x0∈S,使得x0>η-ε.則稱數(shù)η是數(shù)集S的上確界,記作η=supS.

顯然此定義中的ε其實(shí)就是前者定義中的η-α,可以是任意小的正數(shù).

案例2.3對(duì)“數(shù)列極限”概念的理解.

《數(shù)學(xué)分析》中數(shù)列極限的概念(即“ε-N”定義)：

對(duì)于此定義的要求是理解、掌握、熟練應(yīng)用其驗(yàn)證數(shù)列極限.理解是難點(diǎn),應(yīng)用是重點(diǎn).教材首先是模式化的應(yīng)用″ε-N″定義證明數(shù)列極限,這一安排很好.通過(guò)模式化的應(yīng)用定義證明極限,使學(xué)生對(duì)此定義有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)及嘗試性的應(yīng)用.在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中,重點(diǎn)是模式化的語(yǔ)言與步驟,難點(diǎn)是步驟中N的選取,一定要強(qiáng)調(diào)：定義中N的存在性,在證明具體題目時(shí),這個(gè)N是要實(shí)實(shí)在在地找出來(lái)、算出來(lái)的.也就是這個(gè)存在的正整數(shù)N要用具體的式子表示出來(lái),這樣才能表達(dá)出它是確實(shí)存在的.N是通過(guò)計(jì)算,算出來(lái)、找出來(lái)的,而不僅僅是說(shuō)其存在.舉例說(shuō)明:

1.首先對(duì)照定義，引導(dǎo)學(xué)生嘗試著如何去找N

“ε-N”對(duì)?ε>0存在N>0當(dāng)n>N時(shí)an-a<εlimn→∞3n2n2-3=3?ε>0N=?當(dāng)n>N時(shí)3n2n2-3-3<ε

2. 其次指出N的不唯一性

對(duì)于N的解法,本例也可以這樣處理,

或者也可以這樣

3. 最后指出N與ε有關(guān)

讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)找到的N是關(guān)于誰(shuí)的表達(dá)式子、與誰(shuí)有關(guān)系.通過(guò)這個(gè)例子,學(xué)生對(duì)用“ε-N”定義證明數(shù)列極限的步驟和重點(diǎn)有一個(gè)初步的掌握,同時(shí)也看到,N的取值與ε有關(guān),且N不唯一，為進(jìn)一步從分析上、從幾何上理解此定義奠定基礎(chǔ).

對(duì)此定義的理解教材上從ε的任意性、N的存在性兩方面進(jìn)行了詳細(xì)闡述,這里不再贅述,僅從幾何意義及等價(jià)定義上給出如何漸進(jìn)地理解此定義.

在講幾何意義之前可進(jìn)行下面的設(shè)問(wèn)：

預(yù)例2.2

(i) a1,a2,a10,a11,a103,a210在什么位置？

(ii) 數(shù)列中哪些項(xiàng)在區(qū)間(a-ε,a+ε)=U(a;ε)內(nèi),有多少項(xiàng)？

(iii) 在區(qū)間(a-ε,a+ε)=U(a;ε)之外,至多有數(shù)列中的多少項(xiàng)？這些項(xiàng)中下標(biāo)最大的是哪一項(xiàng)？

當(dāng)這四個(gè)問(wèn)題明確后，學(xué)生自然就能總結(jié)出來(lái)幾何意義:

同時(shí)指出, (iv) 所表達(dá)的正是數(shù)列極限定義的等價(jià)定義：

3　結(jié)　　論

教學(xué)實(shí)踐表明，抽象的概念采取結(jié)合具體案例及步步設(shè)問(wèn)、層層深入的教學(xué)方法，教學(xué)思路及課堂氣氛活躍、教學(xué)效果顯著，學(xué)生能清晰地領(lǐng)會(huì)概念的外延、準(zhǔn)確抓住概念的內(nèi)涵、循序漸進(jìn)地理解掌握概念的本質(zhì)，再加以數(shù)形結(jié)合的方法及語(yǔ)言魅力，學(xué)生就能夠更形象、更直觀地領(lǐng)悟概念，更輕松、更靈活地應(yīng)用概念.

這樣一來(lái)，學(xué)生在《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)中，不僅沒(méi)有了恐懼的感覺(jué)，而且思路會(huì)自然地由高中階段過(guò)渡、上升到大學(xué)階段，方法上由多寫多練調(diào)整到多思多析，個(gè)人也會(huì)由具體算練型轉(zhuǎn)化為邏輯分析型.《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)方法已經(jīng)形成，《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習(xí)之門逐漸打開(kāi).

這幾則案例雖是針對(duì)第一章的兩個(gè)具體概念-確界、極限設(shè)置，但其中涉及的方法對(duì)于后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)普遍適用.

4　后　　續(xù)

生：老師，為什么我們預(yù)習(xí)課時(shí)，對(duì)于概念看了一遍又一遍，總是感覺(jué)糊里糊涂的，覺(jué)得概念說(shuō)得好模糊、好啰嗦？

師：那是因?yàn)槟銈兛吹降闹皇俏淖?，不是邏?對(duì)于每一句話，用一個(gè)具體的案例去對(duì)應(yīng)，最終一個(gè)完整的概念，看看你的案例是否成立.這時(shí)候再看看，概念是否多加了條件、是否啰嗦了.

生：如果沒(méi)有具體的案例，課本上的概念還是很難理解. 老師分析了概念后，明白了許多; 老師結(jié)合案例講了后，就覺(jué)得很簡(jiǎn)單；這時(shí)候再回過(guò)去看概念，才明白概念真是嚴(yán)密、無(wú)懈可擊.

師：理論和實(shí)踐相結(jié)合、抽象和具體相結(jié)合、數(shù)形結(jié)合、圖文并茂等等這些方法是我們教與學(xué)中一直強(qiáng)調(diào)的方法，當(dāng)一個(gè)抽象的東西在你眼前時(shí)，認(rèn)識(shí)它的最有效方法就是案例法.

生：老師，我們通過(guò)自己設(shè)置案例，一步步掌握了《數(shù)學(xué)分析》中許多比較抽象的概念，嘻嘻，覺(jué)得《數(shù)學(xué)分析》其實(shí)并不那么深?yuàn)W、那么難. 同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，課本上有些說(shuō)法也有不妥之處哦，比如……

師：呵呵，你們現(xiàn)在也敢懷疑課本了……

[1]劉燚.論現(xiàn)代數(shù)學(xué)教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21(3):243-244.

[2]高翔宇，張顯，姚偉.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中幾個(gè)問(wèn)題的探討[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014,30(2): 73-76.

[3]焦建民.數(shù)學(xué)分析課程入門教學(xué)的探討[J].大學(xué)教育,2013,(16) :109-110.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[5]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].2版.北京：高等教育出版社，1983.

[6]北京師范大學(xué).數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2012.

How to Make Mathematics Professional Freshman Learn the “Mathematical Analysis” Easily

LIUSu-hong

(Institute of Mathematics and Information Science, Bao ji University of Arts and Sciences, Bao ji Shaanxi 721013,China)

For freshman mathematics learning problems, using case analysis method, the concrete measures were offered how to gradually resolve the difficulty points and grasp the focal points, and ultimately students are able to study the “mathematical analysis” easily, then guide teaching.

mathematical analysis; limit; supremum; arbitrariness; existence

2015-09-06；[修改日期] 2016-02-16

寶雞市科技局計(jì)劃項(xiàng)目(2013R5-2)；寶雞文理學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目(JGYB15004)

劉素紅(1970— )，女，碩士，副教授，從事教學(xué)法與復(fù)分析研究. Email:bjwlxylsh@yeah.net

G642

C

1672-1454(2016)03-0071-06