余林清

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

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可數(shù)離散交換群作用下極小系統(tǒng)測(cè)度敏感性

余林清

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

研究了可數(shù)離散交換群作用的測(cè)度敏感性，并研究了相關(guān)性質(zhì).并且對(duì)一個(gè)極小系統(tǒng)，我們給出了測(cè)度n-敏感但不是(n+1)-敏感的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)的一個(gè)刻畫.

極小性； 測(cè)度敏感性； 局部proximal關(guān)系

1　引　　言

自1986年Devaney定義Devaney混沌以來，初值敏感性作為定義該混沌的核心內(nèi)容一直受到廣泛研究.在文獻(xiàn)[2]中,Akin和Kolyada給出了一個(gè)比初值敏感性更強(qiáng)的概念，即Li-Yorke敏感，并且證明了任何一個(gè)弱混合系統(tǒng)一定是Li-Yorke敏感的.2005年，熊金城[11]引入n-敏感性的概念.之后，邵松，葉向東和張瑞豐[7]研究了極小拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)中關(guān)于n-敏感性的一些性質(zhì).2008年，葉向東和張瑞豐[4]引入敏感集的概念并且證明了一個(gè)傳遞系統(tǒng)是敏感的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)元素個(gè)數(shù)大于等于2的敏感集.

由于拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)和遍歷論之間有著緊密的聯(lián)系性，人們自然地想到將敏感性的概念引入到遍歷論中.2005年，Cadre和Jacob[10]對(duì)于可測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)給出了逐對(duì)敏感性的概念并證明了一個(gè)弱混合的可測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)是逐對(duì)敏感的.隨后,James, Koberda, Lindsey, Silva和Speh[12]對(duì)此問題做了進(jìn)一步研究，給出了可測(cè)敏感性的概念.黃文，魯平和葉向東[3]定義了μ-敏感性和μ-等度連續(xù)性等概念，得出μ-敏感性與逐對(duì)敏感性是等價(jià)的,同時(shí)證明了對(duì)于遍歷的測(cè)度μ而言，μ-等度連續(xù)和非μ-敏感性等價(jià).

本文受文獻(xiàn)[3]啟發(fā)，將整數(shù)加群作用下動(dòng)力系統(tǒng)的測(cè)度敏感性推廣到一般可數(shù)離散交換群作用，主要對(duì)測(cè)度敏感的極小系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了一個(gè)刻畫.

2　準(zhǔn)備知識(shí)

Δn(X)={(x,x,…,x)∈Xn∶x∈X}.

設(shè)X是一個(gè)緊致的Hausdorff空間，G為離散拓?fù)淙?如果φ∶G×X→X連續(xù)且滿足

(i)對(duì)任意x∈X，有φ(e,x)=x，其中e是G的單位元；

(ii)對(duì)任意x∈X和g1,g2∈G，有φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x)，

那么稱(X,G,φ)是一個(gè)拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)(簡(jiǎn)記為TDS).為了方便起見，通常直接用(X,G)表示TDS，將φ(g,x)記為gx.在本文中，G取可數(shù)離散abelian群.

π(gx)=g(πx)，?g∈G,x∈X1，

那么稱(X1,G)是(X2,G)的一個(gè)擴(kuò)充或(X2,G)是(X1,G)的一個(gè)因子.系統(tǒng)(X,G)稱為等度連續(xù)的是指對(duì)任意ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)d(x1,x2)<δ時(shí)，d(gx1,gx2)<ε，?g∈G成立.

設(shè)(X,B,μ,G)是一個(gè)概率空間，B是X的一個(gè)σ-代數(shù).如果對(duì)任意g∈G和B∈B，都有g(shù)-1B∈B且μ(g-1B)=μ(B)，那么稱(X,B,μ,G)是一個(gè)保測(cè)系統(tǒng).記B+={B∈B∶μ(B)>0}，M(X)為B上全體概率測(cè)度，M(X,G)為全體不變Borel概率測(cè)度.對(duì)μ∈M(X,G)，定義μ的支撐為supp(μ)={x∈X∶對(duì)x的任意鄰域U,μ(U)>0}.對(duì)于一個(gè)極小系統(tǒng),有

命題2.1若(X,G)是一個(gè)極小系統(tǒng)且μ∈M(X,G)，則supp(μ)=X.

證顯然supp(μ)?X.下證X?supp(μ).對(duì)任意x∈X，設(shè)U是x的任意鄰域.令E=X∪g∈Gg-1U，易知E是X的不變子集.由極小性可知E=?.又因?yàn)閄是緊致的，所以存在一個(gè)有限子集F?G，使得∪g∈Fg-1U=X，則有

因此，μ(U)>0，于是對(duì)任意x∈X，有x∈supp(μ)，即X?supp(μ).

定義2.1設(shè)(X,G)是一個(gè)TDS且測(cè)度μ∈M(X,G).如果存在ε>0，使得對(duì)任意B∈B+，都能找到x,y∈B和g∈G，滿足d(gx,gy)>ε，那么稱(X,G)相對(duì)于測(cè)度μ是敏感的(或μ-敏感的).

類似地，將其推廣到n情形.

定義2.2設(shè)(X,G)是一個(gè)TDS且測(cè)度μ∈M(X,G).如果存在ε>0，使得對(duì)任意B∈B+，都能找到x1,x2,…xn∈B和g∈G，滿足d(gxi,gxj)>ε(其中1≤i

定義2.3設(shè)(X,G)是一個(gè)TDS且測(cè)度

μ∈M(X,G)，xi∈X(i=1,2,…)，

有以下結(jié)論.

結(jié)論2.1設(shè)π是動(dòng)力系統(tǒng)(X,G)到(Y,G)的一個(gè)因子映射，測(cè)度μ∈M(X,G)且ν=πμ.若K是X的一個(gè)μ-敏感集且|π(K)|≥2，則π(K)是Y的一個(gè)ν-敏感集.

3　局部proximal關(guān)系

若點(diǎn)對(duì)(x,y)是proximal的，有時(shí)也稱xproximal于y.記P(X,G)為X的所有proximal對(duì)構(gòu)成的集合.

將proximal關(guān)系進(jìn)一步推廣，我們定義局部proximal關(guān)系.

記Qn(X,G)為X的全體n-局部proximal串構(gòu)成的集合.特別地，當(dāng)n=2時(shí)，記Q(X,G)=Q2(X,G).由定義易知，一個(gè)系統(tǒng)(X,G)是等度連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)Q(X,G)=Δ2(X).

定義3.3設(shè)(X,B,μ,G)是一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)且F?G.如果對(duì)任意B∈B+，存在e≠f∈F(其中e為單位元)，使得μ(B∩f-1B)>0，那么就稱F具有性質(zhì)P.

令

P(x)={y∈X∶對(duì)y的任意鄰域U，N(x,U)具有性質(zhì)P }，

其中N(x,U)={g∈G∶gx∈U}.

下面命題給出了判定性質(zhì)P一個(gè)方法.

命題 3.1設(shè)(X,B,μ,G)是一個(gè)保測(cè)系統(tǒng)，測(cè)度μ∈M(X,G)且F?G.如果對(duì)每一個(gè)N∈，存在B?G且，使得BB-1?F，那么F具有性質(zhì)P.

μ(∪s∈Ss-1(A))=Nμ(A)>1，

給定一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，下面命題有助于我們找到一個(gè)相對(duì)于測(cè)度而言的n-敏感串.

命題3.2若(X,G)是一個(gè)傳遞系統(tǒng)，測(cè)度μ∈M(X,G)且μ(TranG)=1.則有

(ii) 設(shè)Ui為xi的任意鄰域，其中i=1,2,…,n+1.不失一般性，設(shè)xn+1∈P(x1)，于是對(duì)任意A∈B+，存在g∈N(x1,Un+1)，使得μ(A∩g-1A)>0.令V=U1∩g-1Un+1，易知V為x1的鄰域.因此，存在y1,y2,…,yn∈A∩g-1A和h∈G，使得hy1∈V且hyi∈Ui，其中i=2,3,…,n.令zi=yi(i=1,2,…,n)且zn+1=gy1，則有z1,z2,…,zn+1∈A.所以

hz1∈V?U1，hzi∈Ui(i=2,3,…,n)

且

hzn+1=(hg)y1=gh(y1)∈gV?Un+1.

設(shè)F?G，如果存在一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)(X,G)，且x∈X和極小點(diǎn)y∈X以及y的一個(gè)鄰域U使得(x,y)∈P(X,G)且N(x,U)?F，那么稱集合F為一個(gè)中心集.

文獻(xiàn)[5]中，命題8.10證明了每一個(gè)中心集都包含一個(gè)IP集，那么將此結(jié)果推廣到群上是否仍然成立？這便是接下來要討論的內(nèi)容.

首先給出群上IP集的定義，一個(gè)子集A?G稱為IP集是指存在一個(gè)網(wǎng){gn}?G，使得

A={gi1gi2…gik:i1

命題3.3每個(gè)中心集都包含一個(gè)IP集.

證設(shè)(X,G)是一個(gè)TDS且(x,y)∈P(X,G)，y為極小點(diǎn)，U為y的任意鄰域，則N(x,U)是一個(gè)中心集.首先說明存在p∈G，使得px∈U且py∈U.設(shè)y∈V?U，取ε>0，使得對(duì)任意z′∈V，當(dāng)d(z,z′)<ε時(shí)，總有z∈U.令

(3.1)

其中F為G的有限子集.令δ>0，使得當(dāng)d(x′,x″)<δ時(shí)，有d(bx′,bx″)<ε，?b∈F.因?yàn)閤proximal于y，所以存在{gn}?G，使得infd(gnx,gny)→0.于是存在a∈{gn}，使得d(ax,ay)<δ.從而

d(b(ax),b(ay))=d(abx,aby)<ε.

由式(3.1)可知，存在某些b∈F，滿足(ab)y∈V，則有(ab)x∈U.所以存在p=ab∈G，使得px,py∈U.

pkx,pky∈Uk，Uk+1?Uk，pkUk+1?Uk.

pi1pi2…pirx∈pi1pi2…pir-1Uir?pi1pi2…pir-2Uir-1?…?pi1Ui2?Ui1?U1.

所以pi1pi2…pir∈N(x,U).于是N(x,U)包含一個(gè)IP集.

下面引理是文獻(xiàn)[6]中定理1.2的另一種表述.

4　主要結(jié)果及證明

在這一節(jié)，給出測(cè)度敏感的極小系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一個(gè)刻畫.為此，需要先證明下面一個(gè)引理.

引理4.1若(X,G)是一個(gè)極小系統(tǒng)，則(x,y)∈Q(X,G)的一個(gè)充要條件是y∈P(x).

證充分性.設(shè)y∈P(x)且測(cè)度μ∈M(X,G).對(duì)任意ε>0，令U1=B(x,ε/2)，U2=B(y,ε/2).由命題2.1可知，X=supp(μ)，則μ(U2)>0.由于y∈P(x)，所以N(x2,U)具有性質(zhì)P.于是存在g∈N(x2,U)，使得μ(U2∩g-1U2)>0.取x′=x和y′∈U2∩g-1U2，則

d(x,x′)<ε，d(y,y′)<ε

且d(gx′,gy′)<ε.故(x,y)∈Q(X,G).

(4.1)

接下來證明N(x,U)具有性質(zhì)P.

接下來便是本文主要結(jié)果.

定理4.1設(shè)(X,G)是一個(gè)極小系統(tǒng)，(Y,G)是它的極大等度連續(xù)因子，π為因子映射且測(cè)度μ∈M(X,G)，ν∈M(Y,G).則

(i) 若K是X的μ-敏感集，則對(duì)某些y∈Y，有K?π-1y.

(iii) (X,G)相對(duì)于測(cè)度μ是n-敏感但不是(n+1)-敏感的一個(gè)充要條件是max{|π-1y|:y∈Y}=n(其中n≥2).

(iv) (X,G)不是μ-敏感當(dāng)且僅當(dāng)(X,G)等度連續(xù).

Q(X,G)={(x,x′)∈X2:π(x)=π(x′)}.

(iii)(充分性)由于max{|π-1y|:y∈Y}=n，則存在y0∈Y，使得|π-1y0|=n，于是由(ii)，(X,G)相對(duì)于測(cè)度μ是n-敏感的，假設(shè)(X,G)相對(duì)于測(cè)度μ是(n+1)-敏感的，則存在一個(gè)μ-敏感集K且|K|=n+1，由(i)，存在y1∈Y，使得K?π-1y1，于是|π-1y1|≥n+1，矛盾.

(iv) 充分性.設(shè)(X,G)為等度連續(xù)的.由題設(shè)(Y,G)為它的極大等度連續(xù)因子，故對(duì)任意的y∈Y，|π-1y|=1.假設(shè)(X,G)是μ-敏感的，則存在μ-敏感集K使得|K|>1，由(i)，存在y∈Y，使得K?π-1y，矛盾.故(X,G)不是μ-敏感的.

必要性.任取(x1,x2)∈Q(X,G)，則有x1,x2∈π-1y.假設(shè)x1≠x2，由(ii)可知(X,G)是μ-敏感的，矛盾.所以Q(X,G)=Δ2(X)，這表明(X,G)是等度連續(xù)的.

5　結(jié)　　論

本文將整數(shù)加群作用下的測(cè)度敏感性推廣到一般可數(shù)離散交換群作用，并且給出測(cè)度n-敏感但不是(n+1)-敏感的極小系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一個(gè)刻畫.

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On Measurable Sensitivity in Minimal System for Countable Discrete Abelian Group Action

YULin-qing

(Department of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

We introduce the notion of measurable sensitivity for countable discreter abelian group action and study some of its properties. For minimal system, we give a characterization of a minimal system which is measurable n-sensitive but not(n+1)-sensitive.

minimality; measurable sensitivity; regional proximal relation

2015-12-11；[修改日期] 2016-03-08

國家自然科學(xué)基金(11001071,11171320)及中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(2015HGZX0017)

余林清(1990-),男，合肥工業(yè)大學(xué)碩士研究生，從事動(dòng)力系統(tǒng)研究. Email: yulinqing90@163.com

O189.11

A

1672-1454(2016)03-0049-06