黃意新，趙　陽，田　浩，李慧通

彈性支撐旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁動力學(xué)特性

黃意新，趙陽，田浩，李慧通

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

為研究彈性支撐旋轉(zhuǎn)梁動力學(xué)特性隨轉(zhuǎn)速及彈性支撐參數(shù)變化規(guī)律，考慮剪切效應(yīng)、轉(zhuǎn)動慣量和陀螺效應(yīng)，采用Hamilton原理推導(dǎo)旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁動力學(xué)方程，應(yīng)用Chebyshev譜方法獲得系統(tǒng)渦動頻率與模態(tài)振型數(shù)值解。結(jié)果表明，在高速轉(zhuǎn)動狀態(tài)下陀螺效應(yīng)、支撐結(jié)構(gòu)剛度對Timoshenko梁動力學(xué)特性有顯著影響；各階固有頻率隨著轉(zhuǎn)速增加而分成正向渦動頻率與反向渦動頻率，高階頻率變化幅度更大；渦動頻率隨支撐結(jié)構(gòu)直線剛度增加而呈階梯狀變化，當(dāng)直線剛度增加到一定值后系統(tǒng)渦動頻率將保持穩(wěn)定；隨著支撐結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動剛度增加，渦動頻率出現(xiàn)一個(gè)最小值與最大值，前者低于自由邊界條件下頻率值，后者高于固定邊界條件下頻率值。相關(guān)結(jié)果可用于各類旋轉(zhuǎn)梁機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化。

振動與波；旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁；彈性支撐；Chebyshev譜方法；陀螺效應(yīng)；渦動頻率

旋轉(zhuǎn)梁結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于各類工程機(jī)械中，包括燃?xì)廨啓C(jī)、衛(wèi)星、發(fā)動機(jī)及各類機(jī)床設(shè)備等，其動力學(xué)特性對機(jī)械效率與加工精度至關(guān)重要［1-2］。隨著高速切削等加工技術(shù)的發(fā)展，各類旋轉(zhuǎn)梁結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)速逐漸升高，可達(dá)180 000 r/min［3］。由于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動產(chǎn)生的離心力及科氏力效應(yīng)，旋轉(zhuǎn)梁的固有頻率、模態(tài)振型及動力學(xué)響應(yīng)均與非旋轉(zhuǎn)梁不同［4］。隨著轉(zhuǎn)速增加，梁的振動幅度可能增大，影響設(shè)備穩(wěn)定性與精度，甚至造成損壞。因此，在精密旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)計(jì)與制造中，需要對旋轉(zhuǎn)梁的渦動頻率、模態(tài)振型、臨界轉(zhuǎn)速等動力學(xué)特性進(jìn)行準(zhǔn)確分析。

對于高速旋轉(zhuǎn)的非細(xì)長梁，需要考慮其剪切效應(yīng)與轉(zhuǎn)動慣量效應(yīng)，因此需要采用Timoshenko梁理論［5］。目前對旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁動力學(xué)特性的研究多集中于自由、固支、鉸支等一般邊界條件，工程中軸系設(shè)計(jì)多半是根據(jù)剛性安裝狀態(tài)進(jìn)行設(shè)計(jì)［6］，而實(shí)際工程中支撐結(jié)構(gòu)并非完全剛性支撐，彈性支撐邊界條件對系統(tǒng)動力學(xué)特性有顯著影響［7-8］，因此有必要對彈性支撐旋轉(zhuǎn)梁的動力學(xué)特性作系統(tǒng)分析。由于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動引起的附加效應(yīng)，如陀螺效應(yīng)，使得旋轉(zhuǎn)梁的分析變得更為復(fù)雜，增加了控制方程的數(shù)值求解難度［9］。譜方法是繼差分法和有限元法之后又一種重要的數(shù)值方法，它用在整個(gè)區(qū)間都非零的連續(xù)函數(shù)的線性組合來逼近精確解，其精度可直接由級數(shù)展開式的項(xiàng)數(shù)來決定，具有指數(shù)收斂特性，常被視為具有“無窮階”收斂性，當(dāng)真解足夠光滑時(shí)，采用譜方法可以得到很好的效果。譜方法可應(yīng)用于微分方程數(shù)值求解［10］，梁動力學(xué)問題分析等［11］。從函數(shù)近似的角度看，譜方法可以分為Fourier方法，Chebyshev或Legendre方法。前者適用于周期性問題，后者適用于非周期性問題。

本文采用Timoshenko梁理論和Hamilton原理推導(dǎo)彈性支撐旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁動力學(xué)方程，采用Chebyshev譜方法數(shù)值求解旋轉(zhuǎn)梁渦動頻率、模態(tài)振型，研究分析了轉(zhuǎn)速、彈性支撐剛度等參數(shù)對旋轉(zhuǎn)梁動力學(xué)特性的影響。

1　動力學(xué)模型

圖1為一等截面旋轉(zhuǎn)梁，長度為L，密度為ρ，圓截面半徑為r，面積為A，以恒定角速度Ω旋轉(zhuǎn)，XYZ為固定直角坐標(biāo)系，Z軸與變形前的梁中線重合。轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系xyz隨梁以角速度Ω旋轉(zhuǎn)，z軸與Z軸重合。坐標(biāo)系ξηζ為局部正交坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于截面微元中心。梁兩端與支撐結(jié)構(gòu)的連接采用直線彈簧和轉(zhuǎn)動彈簧表示，kx0、kxL分別為梁兩端連接處x方向的直線剛度，ky0、kyL為梁兩端連接處y方向的直線剛度，kαx0、kαxL為xoz平面內(nèi)轉(zhuǎn)動剛度，kαy0、kαyL為yoz平面內(nèi)轉(zhuǎn)動剛度，在圖中沒有繪出。

圖1　彈性支撐旋轉(zhuǎn)梁模型

采用Timoshenko梁模型，變形后微元質(zhì)心矢徑在坐標(biāo)系xyz中可表示為

式中ix、iy、iz是坐標(biāo)系xyz的基向量，wx、wy為微元中心沿x、y方向的彈性變形。則質(zhì)心平動速度為

系統(tǒng)平動動能為

Timoshenko梁微元段變形如圖2所示，剪切角β與彎曲變形角α關(guān)系為

圖2　梁微元彎曲與剪切變形

由于梁的彎曲，微元分別繞x、y軸轉(zhuǎn)動角度αx、αy，則微元角速度可表示為

式中ωξ、ωη、ωζ分別為微元繞ξ、η、ζ軸轉(zhuǎn)動的角速度。由歐拉運(yùn)動學(xué)方程可得

基于小變形假設(shè)，式（6）可簡化為

則系統(tǒng)轉(zhuǎn)動動能為

系統(tǒng)動能由平動動能和轉(zhuǎn)動動能兩部分組成

旋轉(zhuǎn)梁變形勢能由彎曲變形能與剪切變形能組成，考慮式（4），變形能可表示為

式中E為楊氏模量，G為剪切模量，κ為剪切系數(shù)。

fx、fy、Mx、My為作用在梁上的分布作用力和力矩，則非保守力所作虛功為

彈性支撐邊界條件可表示為在z=0，L時(shí)有

2　動力學(xué)方程分析

2.1Chebyshev譜方法

根據(jù)譜方法中級數(shù)展開方法的不同，譜方法分為Fourier方法和Chebyshev方法等，本文中采用Chebyshev多項(xiàng)式作為級數(shù)展開時(shí)的基函數(shù)，即Chebyshev譜方法。Chebyshev多項(xiàng)式有兩類，本文采用第一類Chebyshev多項(xiàng)式，它是一類遞歸正交多項(xiàng)式，其第k項(xiàng)可表示為

且滿足遞推關(guān)系

式中x∈［-1，1］。函數(shù)y（x）的N-1階Chebyshev多項(xiàng)式逼近為

Chebyshev多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)

式中k＞1，由式（17）、（20）可得

多項(xiàng)式系數(shù)bk組成N維向量b

式中變換矩陣D可由式（20）、（21）獲得。綜合式（21）、（22）可得函數(shù)y（x）的n階導(dǎo)數(shù)值

Qn為n階Chebyshev微分矩陣。根據(jù)式（23），可由函數(shù)y（x）采樣點(diǎn)值求得其在采樣點(diǎn)處的各階空間導(dǎo)數(shù)值。

2.2離散動力學(xué)方程

由式（13）及式（23）可得旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁動力學(xué)方程的離散形式為

式中wx、wy、αx、αy均為N維列向量，其元素分別為wx、wy、αx、αy在N個(gè)采樣點(diǎn)上的值，I為N階單位矩陣。

定義

則旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁離散力學(xué)方程可表示為

2.3彈性支撐邊界條件

彈性支撐邊界條件（14）的離散形式可表示為BEq=0，即

對于任意滿足式（32）的解q可表示為

3　算例

數(shù)值計(jì)算采用如下參數(shù)：L=1.3 m，r=0.05m，κ=0.88，ρ=7 800?kg/m3，E=2.0×1011N/m2，G= 7.7×1010N/m2。圖3（a）為Ω=10 000 r/min，kx0= kxL=2×109N/m，kα0=kαL=2×109N?m/rad時(shí)旋轉(zhuǎn)梁前3階反向渦動與正向渦動模態(tài)振型（正向渦動方向與梁旋轉(zhuǎn)方向一致，反向渦動頻率則與之相反），二者基本一致，有微小的不同。圖3（b）為彈簧剛度變?yōu)?kx0=kxL=5×109N/m，kα0=kαL=5×109N?m/rad時(shí)的渦動模態(tài)振型，二者對比可以看出相較于剛性支撐兩端固支時(shí)，其兩端位移均不再為零，且隨著支撐剛度的降低而增大。

圖3　前3階渦動模態(tài)振型

圖4　渦動頻率隨轉(zhuǎn)速變化規(guī)律

圖6為旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁前3階固有頻率隨轉(zhuǎn)動剛度kα0、kαL的變化規(guī)律，Ω=10 000 r/min時(shí)，從圖中可以看出，各階正、反渦動頻率隨轉(zhuǎn)動剛度變化存在兩個(gè)極值，在二者之間各階頻率隨轉(zhuǎn)動剛度增大而增大，當(dāng)達(dá)到最大值后逐漸降低收斂于剛性支撐下的相應(yīng)頻率值。為保證彈性支撐旋轉(zhuǎn)梁動力學(xué)特性穩(wěn)定，轉(zhuǎn)動剛度應(yīng)大于頻率最大值對應(yīng)的轉(zhuǎn)動剛度kup，此外還可以利用此特性需獲得比剛性支撐條件下更高的固有頻率特性或比自由邊界條件下更低的固有頻率。

圖5　Ω=10 000 r/min時(shí)直線剛度對渦動頻率的影響

圖6　Ω=10 000 r/min時(shí)轉(zhuǎn)動剛度對渦動頻率的影響

4　結(jié)語

本文推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁的動力學(xué)方程，通過Chebyshev譜方法獲得了彈性支撐邊界條件下各階渦動頻率與模態(tài)振型，得出以下結(jié)論。

（1）彈性支撐條件下旋轉(zhuǎn)梁渦動頻率與模態(tài)振型與剛性支撐不同，各階模態(tài)振型邊界處振幅不為零，且隨支撐剛度的降低而增大。

（2）旋轉(zhuǎn)梁固有頻率隨著轉(zhuǎn)速的增大而分成正向渦動頻率、反向渦動頻率兩部分，正向渦動頻率隨著轉(zhuǎn)速的增大而增大，反向渦動頻率隨著轉(zhuǎn)速的增大而減小，其相對于非旋轉(zhuǎn)梁固有頻率的比值隨著頻率的階次增大而增大。

（3）存在一直線剛度值區(qū)間，低于此區(qū)間時(shí)，旋轉(zhuǎn)梁各階頻率幾乎不變，高于此區(qū)間時(shí)各階頻率亦幾乎不變，在此區(qū)間內(nèi)，各階頻率隨著剛度的增大而增大，為保證系統(tǒng)動力學(xué)特性穩(wěn)定，應(yīng)保證支撐直線剛度高于此區(qū)間并保有一定余量。

（4）存在一轉(zhuǎn)動剛度區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)各階固有頻率達(dá)到最大值和最小值，低于或高于此區(qū)間值，各階頻率隨轉(zhuǎn)動剛度的變化而變化很小，為保證系統(tǒng)動力學(xué)特性穩(wěn)定，應(yīng)保證支撐結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動剛度高于此區(qū)間，此外可利用此特性獲得比剛性支撐更高的固有頻率或比自由邊界條件下更低的固有頻率。

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Dynamic Characteristics of a Spinning Timoshenko Beam with Elastic Supports

HUANG Yi-xin，ZHAOYang，TIANHao，LI Hui-tong
（School ofAstronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

The dynamic characteristics of a spinning Timoshenko beam with elastic supports are investigated.The model of the beam is built and the rotatory inertia，shear effects and gyroscopic effects are considered.The governing equation is derived based on the extended Hamilton's principle and is numerically solved by Chebyshev spectral method，and the natural frequencies and modals are obtained.It is shown that the gyroscopic effects and the support stiffness have a significant effect on the dynamic characteristics of the spinning Timoshenko beam.The natural frequencies are split into forward whirl speed and backward whirl speed，the distinction between the forward and backward whirl speeds becomes more obvious for higher order modes.The whirling speeds vary in step-wise with translational spring stiffness increasing and become stable when the stiffness exceeds a critical value.Two extremum values appear as the rotational stiffness increasing，the minimal value is smaller than the corresponding value under the free boundary condition and the maximum value is bigger than the corresponding value under the fixed boundary condition.The results can be used for designing and optimizing the mechanism of rotating beams.

vibration and wave；spinning Timoshenko beam；elastic supports；Chebyshev spectral method；gyroscopic effects；whirling speeds

O326

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.002

1006-1355（2016）03-0006-05+15

2015-12-25

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展973計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013CB733004）

黃意新（1987-），男，湖南衡陽人，博士生，主要研究方向?yàn)楹教炱鹘Y(jié)構(gòu)動力學(xué)。E-mail：huangyixin87@126.com