楊碧明，劉永杰

?

橫看成嶺側(cè)成峰多元角度探本質(zhì)——以一類數(shù)列問題為例

楊碧明，劉永杰

(阜陽市第一中學(xué)，安徽 阜陽 236000）

文章以安徽省2012年理科數(shù)學(xué)高考壓軸題為例，運用不動點理論以及函數(shù)單調(diào)性研究了與收斂遞推數(shù)列有關(guān)的單調(diào)性問題并給出了這類問題幾何意義，從而總結(jié)出了解決這類問題的一個有效方法。

遞推數(shù)列；不動點；幾何意義

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干知識之一，高考中數(shù)列題主要考查性質(zhì)，數(shù)列常與函數(shù)、不等式，數(shù)學(xué)歸納法等知識融合在一起，這些問題整合程度高、難度大，常用來命制壓軸題。2012年安徽理科數(shù)學(xué)第21題對于絕大多數(shù)高中學(xué)生而言是個嚴峻的挑戰(zhàn)，這個題目難度很大，便是這樣的命題思路。高三復(fù)習(xí)過程中我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從事物的特殊問題出發(fā)來探究一般問題，來揭示事物的背景和本質(zhì)。

1 題目背景

證明：（Ⅰ）略

2 背景揭示

上面的解題過程是安徽省考試院給出的參考答案，從上面的解題過程中可以看出運用遞推數(shù)列的性質(zhì)首先得到的取值范圍是第一個難點，而在(2)式中兩邊同時減去，涉及到了高等數(shù)學(xué)中的不動點理論，學(xué)生也不容易想到。

基于上面的理論分析在此基礎(chǔ)上還可以給出下面解法

在上恒成立，下略。

以上那種方法是解決本題的一般方法呢？下面給出本題的幾何意義。

3 幾何意義

由上述分析可知這個問題本質(zhì)上是一個不動點問題，本題的幾何意義為在同一坐標系中畫出和的圖像，并在圖像上取點將對應(yīng)到直線上，對應(yīng)關(guān)系如下圖。這樣就能在圖上清晰的看到數(shù)列的單調(diào)性，即可以得到，最后再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性運用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立，如圖1所示。

4 總結(jié)

此類收斂遞推數(shù)列單調(diào)性問題的解決方法主要有

（1）借助此類數(shù)列的幾何意義，即在同一坐標系中畫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)圖像和直線的圖像，再在直線上取符合題意的初始點設(shè)為，再利用函數(shù)圖像及其性質(zhì)將對應(yīng)到直線上，即可得到一個初步結(jié)論。若要證明這個結(jié)論只需要構(gòu)造函數(shù)幾何圖形及函數(shù)單調(diào)性運用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

請讀者根據(jù)幾何意義寫出完整步驟。

附練習(xí)1，練習(xí)2，第（Ⅱ）問幾何意義如分別如圖2，圖3

同樣函數(shù)壓軸題具有綜合性強、解法靈活多變等特點，從近幾年的高考題可以看出，所考查的函數(shù)都是基本初等函數(shù)的組合，如函數(shù)等。如果我們能夠?qū)⑦@些常用函數(shù)模型的圖像總結(jié)出來，可以使學(xué)生見到該類問題不感到陌生，快速找到解題的突破口，同時提高了學(xué)生解題的高度。

數(shù)學(xué)題千變?nèi)f化，呈現(xiàn)形式多種多樣，但我們只要用心領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)問題所隱含幾何意義，很好勾勒出各環(huán)節(jié)中函數(shù)的圖像，就能使問題形象化，復(fù)雜問題簡單化，更為重要的是要讓數(shù)學(xué)基本思想、基本方法指導(dǎo)我們的思維和解題過程。

[1]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社,1998:34-48.

[2]陳傳理,張同君.競賽數(shù)學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2010.

2016-09-29

楊碧明(1969-)，女，安徽天長人，阜陽市第一中學(xué)高級教師。主要研究方向：數(shù)學(xué)教育。

G634.6

A

1672-4437（2016）04-0106-03