何思遠　朱艷（武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430072）

電磁場散度概念的形象化教學(xué)

何思遠朱艷
（武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院，湖北 武漢 430072）

矢量場的散度是描述矢量場空間分布和變化規(guī)律的有力工具，同時也是電磁場理論中理解麥克斯韋方程的重要基礎(chǔ)。但是由于散度概念性強、描述抽象，初學(xué)者難以掌握而畏難。文章在教學(xué)過程中，首先介紹了描述矢量場的另外兩個更形象和具體的方法，即矢量線和通量。文中詳細討論了矢量線，通量和散度三種描述方法的聯(lián)系和區(qū)別，指出他們各自的優(yōu)點和不足，將散度的概念建立在前面兩種方法的基礎(chǔ)之上。從矢量線和通量對矢量場形象化的具體描述再過渡到散度對矢量場的抽象描述，文章的教學(xué)方法由淺入深、由易轉(zhuǎn)難。同時在教學(xué)過程中將數(shù)學(xué)形式和物理含義緊密聯(lián)系，可以幫助學(xué)生建立起正確的概念圖像。

散度；矢量場；通量抗

引言

麥克斯韋方程是宏觀電磁場的核心理論。矢量場的散度是描述矢量場空間分布和變化規(guī)律的有力工具，同時也是理解麥克斯韋方程的重要基礎(chǔ)。但是由于散度的定義涉及求極限，散度的運算包含偏微分，散度作為數(shù)學(xué)概念非常難以理解，散度對矢量場的描述特別抽象，初學(xué)者通常很難掌握而對電磁場理論這門課程產(chǎn)生畏難。針對這一問題，在散度教學(xué)過程中，首先介紹了描述矢量場的另外兩種更形象和具體的方法，即矢量線和通量的概念，并且借助于矢量線和水流線，通量和水流流量，通量源和水源等具體概念的類比，幫助學(xué)生理解通量的物理含義。文中詳細討論了矢量線，通量和散度三種描述方法的聯(lián)系和區(qū)別，指出他們各自的優(yōu)點和不足，將散度的概念建立在前面兩種方法的基礎(chǔ)之上。從矢量線和通量對矢量場形象化的描述過渡到散度對矢量場的抽象描述，由淺入深，由易轉(zhuǎn)難，文章的教學(xué)方法可以讓學(xué)生更好的理解和掌握散度的概念。同時文章也將數(shù)學(xué)形式和物理概念緊密聯(lián)系，幫助學(xué)生建立起正確的概念圖像。

一、矢量場與矢量線

矢量場是空間某個區(qū)域上既有大小又有方向的物理量，如電場強度、磁場強度、力場、流速場等。矢量線是描述矢量場大小和方向的有向曲線，如描述電場和磁場的電力線與磁力線都是學(xué)生非常熟悉的圖像。矢量場的強度由矢量線的疏密程度描述，線越密則場值越大，線越疏則場值越小。矢量場的方向由矢量線上每一點的切向方向給出。矢量線對矢量場的描述非常形象，初學(xué)者比較容易理解。但是矢量線只能定性描述矢量場，不能定量描述。定量化是我們科學(xué)研究的重要方法，因此我們需要引入通量的概念。

二、矢量場的通量

通量是定義在空間一定場區(qū)域上，我們先討論矢量場對于一個無限小面元的通量。矢量場對于任意曲面的通量為曲面上所有小面積元通量的疊加。

在矢量場分布區(qū)域任取一個面元ds，穿過該面元的矢量線的總數(shù)稱為矢量場對于該面元的通量。用數(shù)學(xué)式來表述其定義:

可以看出矢量場的通量是一個標量，影響其大小的關(guān)鍵因素有兩個：第一，通量的值和面元的法向有關(guān)。當面元法向和矢量場垂直時通量為零。當面元法向和矢量場平行時，通量取最大。第二，通量的值和單位面積的矢量線數(shù)目有關(guān)。當面元法向和矢量場平行時，單位面積的矢量線數(shù)目表征了矢量線疏密程度，由該點處的矢量場值決定。那么當面元法向和矢量場有夾角時，矢量場垂直穿過面元的分量才是計算通量的有效分量。

圖1　面元法向與矢量場方向

為了便于學(xué)生加深對通量的理解，將通量和流量作類比，那么矢量線就對應(yīng)水流線，矢量場就對應(yīng)流速場。流量的計算公式就和通量的計算公式非常相似：

從對物理量的單位進行分析可以得出為什么等式左邊是流量。流速的單位是米每秒，面積的單位是平方米，相乘得到立方每秒，也就是流量的單位。

為了引出通量源的概念，我們需要討論閉合曲面的通量。那么什么是通量源呢？通量和通量源是什么關(guān)系呢？也可以借助于流量的例子來理解。閉合曲面有水流流出，閉合曲面的流量大于零時，很自然會問，水流是從哪里來的？這個問題也可以借助古詩形象提問：問渠哪得清如許？答案就是，為有源頭活水來！也就是說閉合曲面包圍區(qū)域產(chǎn)生水流的能力來自于內(nèi)部存在的水源。通量源就類似于水源。水源越強，流量越大。因此，通量和通量源成正比。閉合曲面的通量定量反映了閉合曲面內(nèi)部激勵矢量場的能力，這種能力來自于閉合曲面內(nèi)部的通量源。通量源有三種情況。當通量大于零，表明該區(qū)域有凈的矢量線流出，具備發(fā)散矢量線的能力，區(qū)域內(nèi)部對應(yīng)一個正源。這個現(xiàn)象也有古詩為其描述：泉眼無聲惜細流。當通量小于零，表明該區(qū)域有凈的矢量線流入，具備匯聚矢量線的能力，區(qū)域內(nèi)部對應(yīng)一個負源，比如一個蓄水池或者大海。當通量等于零，表明該區(qū)域內(nèi)部無源，或者流進的矢量線等于流出的矢量線。

為了進一步理解通量源，以圖2電力線分布為例，具體討論電場的通量源。穿過黑色虛線所包圍的閉合曲面的矢量線數(shù)目大于零，電場通量大于零，那么意味著區(qū)域內(nèi)部有一個正源，也就是正電荷。同理，電場針對閉合曲面通量小于零時，區(qū)域內(nèi)部對應(yīng)一個負源，也就是負電荷。閉合區(qū)域通量為零時區(qū)域內(nèi)部無源。

圖2　電力線分布圖

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場和源的關(guān)系。從通量的值，可以反映出閉合曲面內(nèi)部源的大小，但是并不能判斷出源的位置具體在哪里？通量的值描述了閉合曲面包圍區(qū)域激勵起矢量場的能力，但是不能描述區(qū)域內(nèi)部具體某一點上具備的激勵場的能力。因此，為了定量研究一點的場和一點的源的關(guān)系，要引入散度的概念。

三、矢量場的散度

矢量場在一點的散度，定義為矢量場通過包含該點在內(nèi)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限，并記做div F，其數(shù)學(xué)表達式如下：

散度建立在通量的基礎(chǔ)上，散度和通量有聯(lián)系又有區(qū)別。通量是描述一個大的區(qū)域上，具備的激勵矢量場的能力，是一個積分量。散度是描述一點上，具備的激勵矢量場的能力，是一個微分量。

由于散度的定義涉及的體積求極限非常抽象，通常也是學(xué)生理解的難點。在作者的教學(xué)過程中，借助于PPT動畫給學(xué)生們展示了體積求極限趨近于一點的動態(tài)過程，幫助學(xué)生理解從通量到散度的過渡。

理解散度的定義，還要注意對閉合曲面選取的任意性。閉合曲面的選取可以按照計算簡易的原則來取。通過在直角坐標系下選取平行六面體導(dǎo)出散度計算的簡潔公式，

散度的性質(zhì)有三條。第一、由散度的定義可知，散度表示在一點處單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量場的通量，所以散度具有矢量場通量體密度的量綱，在空間內(nèi)構(gòu)成一個標量場。二、矢量場的散度反應(yīng)了空間各點的凈通量狀態(tài)。若div F> 0，則該點有發(fā)出矢量線的正通量源。若div F<0，則該點具有匯聚矢量線的負通量源；若divF=0，則該點無通量源。第三、散度與源的關(guān)系：矢量場相對于小體積元的通量與通量源成正比。已知

其中p（x，y，z）為通量源密度，k為比例常數(shù)，通常由實驗獲得。結(jié)合散度的定義可得：

四、結(jié)束語

矢量線、通量、散度是描述矢量場空間分布和變化規(guī)律的三種方法。文章詳細討論了矢量線，通量和散度三種描述方法的聯(lián)系和區(qū)別，指出他們各自的優(yōu)點和不足。教學(xué)過程中通過與具體水流流量、水源等概念的類比，闡述了通量與通量源的聯(lián)系。并將散度的概念建立在通量的基礎(chǔ)上，通過PPT動畫演示了由通量到散度求極限的過程，幫助學(xué)生更好的理解物理概念。文章由淺入深、由易轉(zhuǎn)難、逐層遞進的教學(xué)方法在教學(xué)實踐中獲得了有效的教學(xué)效果。

［1］Jin Au Kong.電磁波理論.第四版［M］.吳季，等譯.北京:電子工業(yè)出版社，2003.

［2］畢德顯.電磁場理論［M］.電子工業(yè)出版社，1985.

［3］謝處方，饒克謹.電磁場與電磁波.第四版［M］.高等教育出版社，2007.

［4］孫玉發(fā).電磁場與電磁波［M］.合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2006.

The divergence of vector field is a powerful tool to describe the spatial distribution and variation law of vector field.It is also an important foundation for understanding the Maxwell equation in the theory of electromagnetic field.But because the concept of divergence is strong，it is so difficult to grasp the abstract description that beginners fear.In this paper，it firstly describes the other two more vivid and specific methods of the vector field in the teaching process，namely，vector line and flux.In this paper，the relations and differences between three methods are discussed in detail，and it points out their respective advantages and disadvantages.The concept of divergence is established on the basis of the previous two methods.It reflects the transition that from the specific description of vector line and flux of vector field visualization to abstract description of the divergence to vector field.The paper adopts the method of from the shallower to the deeper.At the same time，the mathematical form and physical concepts are closely linked.It can help students understand the physical meaning of divergence and establish the correct concept of image.

divergence；vector field；flux resistance

G642

A

2096-000X（2016）17-0113-02

何思遠（1982-），女，博士，副教授，從事電磁場理論的教學(xué)研究工作。