余國(guó)勝

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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)探討

余國(guó)勝

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大部分工科學(xué)生的必修課，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)如何提高概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)質(zhì)量提出幾點(diǎn)措施．

普通高等學(xué)校；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；教學(xué)質(zhì)量

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，因此，它的思維方法有別于學(xué)生之前所學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)等數(shù)學(xué)課程的思維方法．在學(xué)習(xí)過程中往往不適應(yīng)，甚至感到非常困難．如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性，成為普通高等學(xué)校概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教師面臨的頭等問題．本文就此提出幾種常用的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)方法．

1　激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加深對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解

教授隨機(jī)事件頻率前，可以講述歷史上許多“數(shù)學(xué)瘋子”做過“拋硬幣”的實(shí)驗(yàn)，然后讓學(xué)生與書上的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，從而加深對(duì)頻率穩(wěn)定性的理解，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果就會(huì)大大提高．如講授不獨(dú)立性不符合傳遞律[1]，即不獨(dú)立，不獨(dú)立，則可以獨(dú)立．可以結(jié)合實(shí)際例子，設(shè)試驗(yàn)是擲3個(gè)均勻的硬幣．定義事件=“全為正面或全為反面”；=“至多2個(gè)正面”；=“至少2個(gè)正面”．容易算出，，，，，．于是有，，．從而不獨(dú)立，但與卻獨(dú)立，這樣可以加深對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解．

2　通過辯證思維，加深對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的理解

將陌生的問題遷移轉(zhuǎn)化為熟悉的問題[2]．如獨(dú)立同分布中心極限定理是已經(jīng)熟悉的，而棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理是陌生的．要想證明后者，就要想辦法借助前者，既要把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，也要把改造成相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，從而得證這種方法是提高解決問題能力的重要途徑．此外，為了解決問題，有時(shí)可以先“退”一步，先研究生活中的簡(jiǎn)單實(shí)例．如最大似然估計(jì)的思想很抽象[3]，學(xué)生理解起來有困難，這時(shí)讓學(xué)生先考察一個(gè)簡(jiǎn)單的例子．一車上裝有大小不同的２筐水果．第1筐中80%是蘋果，20%是桔子；第2筐中20%是蘋果，80%是桔子．忽然從車上掉下一個(gè)蘋果，此時(shí)估計(jì)它是從哪一筐里掉出來的．學(xué)生認(rèn)為蘋果從第1筐里掉出的可能性大，因?yàn)樗诘?筐中所占比例比在第2筐中的比例大．最大似然估計(jì)的基本思想就是根據(jù)這種想法引申出來的，接下來再闡明最大似然估計(jì)的基本思想．辯證法在解決概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題中有著十分廣泛的應(yīng)用．“一般”與“特殊”總是相對(duì)的，對(duì)于“一般”問題來說，“特殊”問題的解決往往是比較容易、比較簡(jiǎn)單的，通過類比思維和歸納思維來得出“一般”問題的解決方法．最后，一般概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題中涉及“高維”情形時(shí)，都是通過“降維”的思想方法來解決的．然而，有很多問題若從“升”的角度來考慮，也能使問題得到更快更簡(jiǎn)便的解決．如設(shè)隨機(jī)變量是以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量的方差[4]．依題意設(shè)的聯(lián)合概率密度為，計(jì)算，顯然可直接應(yīng)用公式來計(jì)算．本題相當(dāng)于解決一維隨機(jī)變量的問題，可將其“升維”至二維，利用二維隨機(jī)變量的分布來求的方差．這在概率論中是一個(gè)重要的思想方法，其依據(jù)就是表示定理．本題既是一個(gè)基本題，也是一個(gè)典型題[5]．可以設(shè)想當(dāng)拋擲次數(shù)較多時(shí)，一般不再將樣本空間中的樣本點(diǎn)一一列出，而是利用排列或者組合來計(jì)算．事實(shí)上，可以用更一般的方法來計(jì)算．一枚硬幣連拋3次相當(dāng)于同一試驗(yàn)做了3次，且3次試驗(yàn)互不影響，即3次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，試驗(yàn)可獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行，其為三重伯努利試驗(yàn)．，，，這種思維方法可概括為“表示問題、分解問題、轉(zhuǎn)化問題”，它是處理更一般問題時(shí)常用的方法．由此可見，通過小結(jié)可以使學(xué)生做到舉一反三．

3　反例教學(xué)加深對(duì)基本概念的理解

反例是推翻錯(cuò)誤命題的手段[6]，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，有時(shí)恰如其分地舉出一個(gè)反例，對(duì)于說明一個(gè)陳述的不真會(huì)收到意想不到的效果．蓋爾鮑姆B R和奧姆斯特德J M曾說：“一個(gè)數(shù)學(xué)問題用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲?。比缡录蓛瑟?dú)立，但并非相互獨(dú)立的例子．在相同條件下將一顆骰子擲2次．=“第一次擲得偶數(shù)點(diǎn)”．=“第二次擲得奇數(shù)點(diǎn)”．=“2次擲得奇數(shù)點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)”．，，．于是兩兩獨(dú)立，但，因此不相互獨(dú)立．在教學(xué)過程中，學(xué)生第一次作業(yè)時(shí)，遇到，就認(rèn)為．此時(shí)可以告訴學(xué)生學(xué)了連續(xù)隨機(jī)變量后，它取任何實(shí)數(shù)值的概率均為0，但它并非不可能事件．學(xué)生知道原來概率為0的事件并非不可能事件，概率為1的事件并非必然事件，也為后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下了伏筆[7]．

4　綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)中各分科知識(shí)

遇到概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題時(shí)，要靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，善于發(fā)現(xiàn)問題中的各種信息和隱含條件，全面觀察問題的特點(diǎn)，溝通各科知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系．如一道概率論與高等數(shù)學(xué)的綜合題[8]：設(shè)隨機(jī)變量在上取值，證明不妨以連續(xù)型隨機(jī)變量為例，設(shè)的概率密度為則而且，于是有，，從而有．即令，則再令得．而，故，在處取得極小值且唯一，所以此時(shí)也即取得最小值，最小值為．將一個(gè)概率問題歸結(jié)為一個(gè)高等數(shù)學(xué)極值問題，取則有，問題迎刃而解．

此外，一道概率論與線性代數(shù)的綜合題[9]，已知隨機(jī)變量，，且與相互獨(dú)立，又維向量線性無關(guān)．求向量線性相關(guān)的概率．先用線性代數(shù)中的基本概念與充要條件，將事件“線性相關(guān)”表示出來，而后應(yīng)用隨機(jī)變量之間的關(guān)系、計(jì)算概率的方法求解．令，即由于線性無關(guān)，所以必滿足．

綜合利用數(shù)學(xué)各分支的知識(shí)解決概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題，可以達(dá)到觸類旁通的效果[10]．

參考文獻(xiàn)：

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[9] 王劍凌．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)創(chuàng)新[J]．福建教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（1）：62-64

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Preliminary study of probability and mathematical statistics

YU Guo-sheng

（School of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，China）

Probability and mathematical statistics is a common compulsory course for undergraduates majoring in engineering．Unifies teaching practice，provide several measures to improve the teaching quality about probability and mathematical statistics．

common colleges and universities；probability and mathematical statistics；teaching quality

1007-9831（2016）10-0058-03

O21∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.10.017

2016-07-16

2015年武漢市教育局市屬高校教學(xué)研究項(xiàng)目（2015057）

余國(guó)勝（1980-），男，湖北武漢人，講師，博士，主要從事隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)和金融數(shù)學(xué)方面的研究．E-mail：1976859950@qq.com