王慶東，王路橋

?

一種判定函數(shù)列非一致收斂的方法

王慶東1，王路橋2

（1. 商丘師范學院 數(shù)學與信息科學學院，河南 商丘 476000；2. 太康縣第一高級中學，河南 太康 475400）

根據(jù)一致收斂與收斂的關系，得到一種判定函數(shù)列非一致收斂的方法．通過觀察通項與極限函數(shù)之差中的不定式，若能找到參量關于自然數(shù)的函數(shù)，使得相應的數(shù)列發(fā)散或非無窮小量，那么函數(shù)列非一致收斂．該方法比定義法和柯西準則法簡便，可優(yōu)先試用．

函數(shù)列；非一致收斂；不定式；發(fā)散

判定函數(shù)列非一致收斂，可以用定義法和柯西準則法．如果運用定義法，需要找到3個存在性的量，運用柯西準則，需要找到4個存在性的量，因此，證明函數(shù)列非一致收斂歷來是教學的難點之一．對此，文獻[1-9]進行了研究，但方法都不簡便．基于此，本文根據(jù)一致收斂與收斂的關系，用觀察法構(gòu)造發(fā)散的數(shù)列或非無窮小數(shù)列來判定非一致收斂，與定義法和柯西準則法相比，不失為一種簡易方法．

1　方法的提出

定理[1]42函數(shù)列在上一致收斂于的充要條件是：對于任意，．

推論（對角線判別法）[3]32函數(shù)列在上非一致收斂于的充要條件是：存在，使得．

作為充要條件，運用對角線判別法判定函數(shù)列非一致收斂，關鍵是找出一個上的使發(fā)散或非無窮小的“壞數(shù)列”．那么，關鍵的問題如何尋找．

由于函數(shù)列一致收斂的本質(zhì)是二元函數(shù)的一致收斂，所以，尋找“壞數(shù)列”時，應該充分考慮變量和的運動，包括和構(gòu)成函數(shù)關系的情形．當且跑遍時，如果中的不定式中的與構(gòu)成函數(shù)關系，即，使得，即可斷言函數(shù)列在上非一致收斂．

2　應用舉例

注 也可按照連續(xù)性定理，由各項連續(xù)，但極限函數(shù)在1處間斷，判定對非一致收斂于．

在研究二元函數(shù)一致收斂的問題時，不定式是值得考察的不確定因素之一．函數(shù)列的一致收斂問題屬于二元函數(shù)一致收斂問題的范疇，當且跑遍時，應該充分考慮變量和的運動，包括和構(gòu)成函數(shù)關系的情形．如果中的不定式與構(gòu)成函數(shù)關系，即“壞數(shù)列”，使得，即可斷言函數(shù)列在上非一致收斂． 該方法較定義法和柯西準則法簡易，可以優(yōu)先試用．

[1] 謝惠民，惲自求，易法槐，等．數(shù)學分析習作課講義（下冊）[M]．北京：高等教育出版社，2004：42-43

[2] 陳紀修，於崇華，金路．數(shù)學分析（下冊）[M]．北京：高等教育出版社，2004：66-67

[3] 華東師范大學數(shù)學系．數(shù)學分析（下冊）[M]．北京：高等教育出版社，2010：32

[4]．數(shù)學分析的基本概念與方法[M]．北京：高等教育出版社，1989：204

[5] 劉秀梅．函數(shù)列在不同區(qū)間上一致收斂性的研究[J]．大學數(shù)學，2008，24（6）：160-164

[6] 張榮德．函數(shù)列一致收斂性定理[J]．寧夏大學學報：自然科學版，1990，11（4）：66-68

[7]，，等．關于非一致收斂的幾個定理[J]．內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學學報：自然科學版，2001，22（4）： 116-121

[8]．一致收斂性的研究[J]．江西科學，2009，27（6）：781-783

[9] 李克典，馬云苓．數(shù)學分析選講[M]．廈門：廈門大學出版社，2006：355

A judging method for non uniform convergence of function sequence

WANG Qing-dong1，WANG Lu-qiao2

（1. School of Mathematics and Information Science，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，China；2. The No.1 High School in Taikang County，Taikang 475400，China）

According to the relationship between uniform convergence and convergence，a judging method for non uniform convergence of function sequence is obtained．If some parameter is found to be the function of natural number by observing the infinitives in the difference between the general term and the limit function such that the corresponding series is divergent ornon infinitesimal quantity，then the function sequence convergent non-uniformly．The method is easier than definition method and the Cauchy criterion and can be used as a prioroption．

function sequence；non uniform convergence；infinitive；divergence

1007-9831（2016）09-0012-04

O172.2

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.09.004

2016-07-07

國家級特色專業(yè)建設點項目（TS11575）

王慶東（1963-），男，河南太康人，教授，從事函數(shù)論研究．E-mail：qingdongw@126.com