王友華，張建秋

（1.復旦大學電子工程系，上海200433；2.模擬集成電路重點實驗室，重慶400060）

聯(lián)合稀疏信號恢復的貪婪增強貝葉斯算法

王友華1，2，張建秋1

（1.復旦大學電子工程系，上海200433；2.模擬集成電路重點實驗室，重慶400060）

本文針對聯(lián)合稀疏信號恢復問題，提出了一種貪婪增強貝葉斯算法.算法首先利用聯(lián)合稀疏的特點對信號進行建模，然后在貝葉斯框架下，提出一種貪婪推理方式對信號恢復問題進行迭代求解.在迭代過程中，提出算法利用貝葉斯估計的方差信息來增強支撐恢復的結(jié)果，極大地提高了算法對信號恢復性能.理論分析表明：提出算法與同步正交匹配追蹤算法具有相同的計算復雜度，遠低于其他聯(lián)合稀疏信號恢復算法.提出方法在具有高恢復精度和較低計算復雜度的同時，兼具貝葉斯方法和貪婪算法的優(yōu)點.數(shù)值仿真驗證了理論分析的有效性.

聯(lián)合稀疏；信號恢復；貪婪算法；貪婪增強貝葉斯算法

1 引言

由于可以用遠低于香農(nóng)采樣定理所需的測量來恢復原信號，壓縮感知理論一涌現(xiàn)就得到了廣泛的關(guān)注和研究.稀疏信號恢復是壓縮感知領(lǐng)域的一個重要研究方向［1～3］.稀疏信號恢復問題可以分為單測量和多測量壓縮感知信號恢復.多測量壓縮感知信號恢復問題也稱為聯(lián)合稀疏信號恢復問題.當前，聯(lián)合稀疏信號恢復問題逐漸成為壓縮感知研究領(lǐng)域中的一個重要研究內(nèi)容［4～8］.聯(lián)合稀疏信號恢復問題在實際中有著廣泛的應(yīng)用；如：波達角估計［7］、磁共振成像［9］、雷達成像［10］、雷達波形設(shè)計［11］等.

與單測量壓縮感知信號恢復相比，聯(lián)合稀疏信號恢復算法可恢復的信號最大稀疏度，隨著測量數(shù)的增加而增加［4，5］.目前，針對聯(lián)合稀疏信號恢復問題，存在諸如貪婪算法、基于lp（0＜p≤1）范數(shù)最小化方法、子空間方法等幾類算法.文獻［4，12］提出了一種同步正交匹配追蹤算法（S-OMP）.文獻［7，13］擴展了l1范數(shù)最小化方法，提出了混合范數(shù)方法（M-BP）.文獻［14］將單測量壓縮感知問題中的稀疏貝葉斯學習方法推廣到聯(lián)合稀疏信號恢復問題中，從而提出了M-SBL方法.文獻［15～17］將多測量壓縮感知問題進行“拉長”處理，將問題轉(zhuǎn)化為單測量壓縮感知問題進行求解，利用“塊稀疏”的先驗，提出了B-OMP方法.文獻［6］以陣列信號處理中的MUSIC方法為基礎(chǔ)，提出了CS-MUSIC方法.最近，沿著單測量信號恢復的思路，文獻［18］將單測量壓縮感知中的子空間追蹤方法進行擴展，并應(yīng)用于多測量壓縮感知中，提出了GSP方法.文獻［19］將單測量壓縮感知文章中的貪婪算法統(tǒng)一推廣到多測量壓縮感知問題中，并對多測量壓縮感知問題的相變進行了研究.

前述方法中，貪婪算法和子空間方法具有運算速度快的優(yōu)點，但是信號恢復性能不如其他方法好.基于lp（0＜p≤1）范數(shù)最小化方法和基于貝葉斯推理的算法對信號恢復性能好，但是運算量較大.為了克服目前算法存在運算量和恢復性能折中的問題，本文在貝葉斯框架下，提出了一種新的聯(lián)合稀疏信號恢復算法，稱之為貪婪增強貝葉斯算法（GRBA）.GRBA首先采用稀疏的先驗知識對信號的聯(lián)合稀疏特性進行建模，以便獲得更為準確的信號估計.在所建模型基礎(chǔ)上，GRBA在貝葉斯框架下，自適應(yīng)地學習稀疏模型中的超參數(shù).超參數(shù)學習過程中，GRBA利用本文提出一種貪婪的策略對信號進行恢復，從而極大的降低了算法的復雜度.同時，GRBA充分利用貝葉斯估計不僅能夠得到信號均值信息，還能得到信號方差信息的特點，首次將獲得的方差信息對每次估計均值進行增強，極大地提高了算法對支撐恢復的準確性.理論分析和數(shù)值仿真表明：GRBA既具有傳統(tǒng)貝葉斯方法對信號恢復精度高的優(yōu)點，又具有貪婪算法運算量小的特點.特別的，GRBA相對于常見的貝葉斯推理算法，由于更充分利用了貝葉斯推理過程得到的均值和方差信息，極大地降低了計算量、提高了信號恢復的精度.

本文的數(shù)學符號按照如下規(guī)則進行處理：大寫黑斜體字母表示矩陣，小寫斜黑體字母表示向量.矩陣X的第i行表示為Xi·，第j列表示為 X·j，第 i行、第 j列元素表示為Xij.xi表示向量x的第i個元素.向量x的2-范數(shù)表示為‖x‖2.p（x|y）表示給定y時x的條件概率密度函數(shù)；p（x；α）表示x滿足參數(shù)為α的概率密度函數(shù)p.N（μ；σ）表示均值為μ，均方差為σ的正態(tài)分布.diag（x）表示一對角矩陣，其對角線元素為x.矩陣X的支撐記為supp（X），對于一M×N的矩陣X，其支撐定義為：supp（X）=｛1≤i≤N：‖Xi·‖2≠0｝，|I|表示集合I的非空元素個數(shù).IL表示L×L的單位矩陣，0表示零向量，其長度由上下文確定.

2 問題描述及提出算法

2.1問題描述

聯(lián)合稀疏信號X∈RN×L可以描述為［6～8］：

其中，W∈RM×L，T∈RM×L和A∈RM×N分別為測量噪聲矩陣、觀測數(shù)據(jù)矩陣和測量矩陣.本文假設(shè)測量噪聲為零均值高斯白噪聲.根據(jù)觀測數(shù)據(jù)矩陣T和測量矩陣A，聯(lián)合稀疏信號恢復問題中信號的估計可表示為［6，7］：

式（1）中信號X的最大后驗估計為［14］：

當測量噪聲W為零均值，方差與λ相關(guān)的高斯白噪聲，且信號的先驗分布為exp（-‖X‖0）時；式（3）和式（2）的解具有相同形式.在信號空間中，先驗分布exp （-‖X‖0）在全零處具有最大峰值，能夠很好地描述信號的稀疏特性.但是，與該信號先驗相對應(yīng)的式（2）卻存在大量的局部最優(yōu)解［14］.因此，研究者希望找到一種稀疏的先驗，既能對信號的稀疏性進行描述，又能避開局部最優(yōu)解.而層次化的先驗具有上述的特征.

本文設(shè)信號X的第i行Xi·（1≤i≤N）滿足層次化的先驗分布［20～22］；其中，第一層為零均值高斯分布：

其中γi是信號第i行高斯分布的方差.由式（4）知，當方差γi為零時，信號X的第i行 Xi·為零的概率是1.進一步，當未知的方差γi滿足平移截斷伽馬分布時，得到先驗分布的第二層為［22］：

其中γ=［γ1，…，γN］T，概率分布密度函數(shù)Γτ（γi；ε，η）定義為：

式中，形狀參數(shù)ε、變化率η和平移τ等參數(shù)均大于零；式（6）等號右側(cè)分母中伽馬函數(shù)Γητ（ε）定義為：

式（4）與式（5）所定義的層次化先驗分布推廣了高斯-伽馬分布［20］和拉普拉斯先驗分布［21］，它們能夠?qū)π盘栂∈栊赃M行更好的描述.在先驗分布的第二層次，由于未知方差參數(shù)γi（i=1，…，N）滿足獨立平移截斷的伽馬分布，有：

由式（8）可以看出：當 ε＜1時，γi以極大的概率為零；由先驗分布的第一層次知，此時Xi·以極大的概率為零.因此，這樣的層次化先驗分布可以很好地描述信號X的聯(lián)合稀疏特性.進一步，設(shè)變化率參數(shù)η滿足先驗分布：

易證明：當τ，ε→0時，X的先驗分布在零處具有無窮大概率.上述分析表明：利用上述先驗分布得到的最大后驗估計，能夠非常好的表示信號的稀疏解，即能夠很好的逼近式（2）.

2.2貝葉斯推理算法

由式（4）定義的信號X每行先驗分布；可得：當給定參數(shù)γ時，信號X的每列都為零均值的高斯分布.設(shè)信號X全部列的協(xié)方差矩陣記為Γ，則有：Γ=diag（γ1，…，γN）.設(shè)測量噪聲W的方差為σ2，由測量方程式（1）知，當給定觀測數(shù)據(jù)矩陣T時，X的第j列X·j（1≤j≤L）后驗分布為：

經(jīng)過計算，X第j列X·j（1≤j≤L）的后驗分布為：

其中：

由式（11）知，該后驗分布為高斯分布.將 X的所有列寫成矩陣形式，得到X的后驗分布為：

其中，均值矩陣Π和方差矩陣Σ分別為：

矩陣C定義為：

當超參數(shù)γ已知時，均值矩陣Π可作為信號X的估計值 ^X.通過式（15），將信號X的估計問題轉(zhuǎn)化成為對超參數(shù)γ的估計問題.

（1）超參數(shù)估計

由于不同的超參數(shù)γ對應(yīng)不同的先驗分布，不同的先驗分布又決定了信號非零行的位置，從而決定測量矩陣A中對測量數(shù)據(jù)T起作用的列.因此：確定合適的超參數(shù)γ等效于根據(jù)已知測量數(shù)據(jù)矩陣T來選擇測量矩陣A中不同的列（基）.在貝葉斯框架下，可將X作為隱變量，將其積分掉［23］，從而可完成對γ的估計.當c= d=0時，將log（η）作為隱變量，可以得到下面關(guān)于γ和log（η）的對數(shù)似然函數(shù)：

其中c1為常數(shù).將式（17）代入式（18）中，可得到γ的似然函數(shù)；對其關(guān)于γi求導，可得：

其中：

令式（21）為零，即可求得γi.由式（20）知，f（t）的系數(shù)與方差矩Σ和均值矩陣Π相關(guān).因此，γi與方差矩陣Σ和均值矩陣Π相關(guān).而由式（15）和（16）知：方差矩陣Σ和均值矩陣Π又與超參數(shù)γ相關(guān).因此，可以采用迭代方式對γ、Σ、Π進行求解.式（21）中一元三次方程的三次項系數(shù)和二次項系數(shù)均大于零，常數(shù)項小于零.由附錄中一元三次方程求根引理一可知：f（γi）=0存在一正實根，記為則似然函數(shù) L（γ，log（η））在處取得最大值.同理，可求得參數(shù)η的估計值.當求得γ估計值后，由式（15）和式（16）可以求得矩陣Σ和Π；從而可以進行下次迭代，直至滿足終止條件.

（2）噪聲方差估計

在上述分析中，假設(shè)測量噪聲W的方差σ2是已知的.當σ2未知時，將噪聲方差σ2作為參數(shù)，利用EM算法［24］，對σ2進行迭代求解，在每次迭代中，σ2的估計為：

3 貪婪推理方法

在前述貝葉斯推理過程中，每次迭代需對式（15）中的矩陣C求逆.當信號維度較大時，矩陣求逆將帶來很大的運算量.針對該問題，本節(jié)在前述框架下，提出一種貪婪的推理方法來進行貝葉斯估計.由于信號X是聯(lián)合稀疏的，即參數(shù)γ只有較少的非零元素.由式（15）知，均值矩陣Π也只有較少非零行.這表明在計算Σ和Π時，可以只針對非零的γi進行計算，以達到降低計算中Σ和Π維度的目的.基于這個思路，本文首先從γ= 0開始，通過貪婪方式逐漸將非零γi加入到模型中.因此在整個計算過程中，Σ和Π的實際維度都較小.為了避免復雜的記號，設(shè)測量矩陣A按列分塊為A=［a1，a2，…，aN］.

對式（17）中C作如下變換：

其中C-i為C中不含ai和γi的部分.將式（23）其代入式（18），可得：

式中c1和c3為常數(shù).通過式（24），將對數(shù)似然函數(shù)L（γ）分成兩部分：與ai及γi不相關(guān)的部分L（γ-i），與ai及γi相關(guān)的部分l（γi）.l（γi）定義為：

其中，si，qij分別為：

由于矩陣C-i和C-1-i均為正定矩陣，信號采樣快拍數(shù)L ≥1，si＞0（i=1，…，N）.因此式（29）中系數(shù)c1，c2＞0.利用附錄所述的一元三次方程求根基本知識，下面分三種情況來討論 l（γi）在何處取得最大值.

（1）c4＜0.由引理一知h（γi）=0在（0，+∞）上有唯一的解，設(shè)為容易證明l（γi）在上單調(diào)上升，在上單調(diào)下降.因此處取得最大值，即

（2）c4≥0，c3＜0，Δ＞0.因為Δ＞0，由引理二知，存在三個不同的實根.由于表示函數(shù)h（γi）關(guān)于γi的導數(shù)）且c3＜0，所以h（γi）在y軸的兩邊各有一駐點.由于h（0）= c4≥0，所以三個不同實根包含一個負實根和兩個正實根.令為最大實根，則l（γi）從零點處到某點單調(diào)下降，然后從某點到l（γi）處單調(diào)上升，接著單調(diào)下降.故：l（γi）要么在零點處獲得最大值，要么在處獲得最大值.因此：如果，則處獲得最大值，則；如 果，則l（γi）在零處獲得最大值，則

上述分析表明：通過對一元三次方程求解和邏輯判斷可保證每次迭代后似然函數(shù)都在不斷的增加；通過迭代更新γi，以確定測量矩陣A中第i列ai是否對應(yīng)信號的非零行.在迭代求解過程中，設(shè)前次迭代的γi值記為取得最大值處對應(yīng)的自變量為如果則表明基矢量ai對增加似然函數(shù)是有貢獻的，應(yīng)將其納入到模型中，同時更新如果，則表明基矢量ai已存在于模型中，只需要更新γi的值為當前迭代值即可.如果則表明基矢量ai對增加似然函數(shù)無貢獻，當前的迭代應(yīng)該將其從模型中刪除，同時令完成γ的一次迭代后，更新參數(shù)η.

上述迭代過程可以從空集開始，逐漸將基矢量ai添加到模型中，或者從模型中刪除，直到收斂.迭代過程僅需求解一元三次方程和作簡單的邏輯判斷，不需要進行高維矩陣求逆，從而極大地降低了算法的復雜度.與文獻［25］類似，為了更高效地更新式（26）和式（27）中的參數(shù)si、qij，令：

其中

上式中Σactive和Aactive僅包含γi≠0對應(yīng)的ai所構(gòu)成的方差矩陣和測量矩陣.由于信號具有聯(lián)合稀疏特性，所以γ中非零元素非常少.因此，Σactive和Aactive的維度是很小.故對式（32）和式（33）進行計算只需要較小的計算量.詳細的計算量分析見算法復雜度部分.

4 貝葉斯增強

傳統(tǒng)基于貝葉斯方法的聯(lián)合稀疏信號恢復算法［20～22］，僅僅利用了后驗分布的均值信息，并將其作為信號的估計值.但是貝葉斯估計方法不僅能得到估計的均值信息，也能夠得到方差信息.但是，除文獻［26］以外，尚未有其他的文獻利用該信息.文獻［26］將方差信息作為自適應(yīng)設(shè)計測量矩陣的一種度量，并未討論如何利用方差信息來提高恢復算法本身的性能.本文將提出一種增強方法，它將利用方差信息來提高算法對支撐估計的正確率.由測量方程式（1）可知，X·j，T·j構(gòu)成的評價函數(shù)為：

因此，其Fisher信息矩陣為［24］：

設(shè)信號和測量噪聲不相關(guān)，有：

將式（36）至式（38）代入式（35），可得到：

不失一般性，設(shè)測量矩陣A為列歸一化的矩陣，可得：

因此：

由于Δ中元素較小，因此式（42）表示：對任給的列信號，其估計的克拉美勞下限約為噪聲功率.基于前述推導，算法在每次迭代過程中，根據(jù)當前的方差矩陣和噪聲估計值進行判斷.如果方差矩陣的某一（些）對角元素Σii，遠遠比噪聲方差小；即可認為，與Σii相對應(yīng)的γi值較小，其估計的可信度不高.與之對應(yīng)的基向量ai不應(yīng)在信號生成模型Aactive中.如果在迭代過程中，該基向量已經(jīng)在Aactive中；那么當前迭代中應(yīng)該將其刪除.

5 算法復雜度分析

本文提出算法計算量主要在對式（29）至（33）的計算及做相應(yīng)的邏輯判斷上.由前述分析知：Σactive列數(shù)在每次迭代過程中動態(tài)增加，但是最多為K列（K為X中非零行數(shù)）.因此，最壞情況下計算Σactive需要O（K2M）+O（K3）次操作.由于K＜M，Σactive計算僅需要O（K2M）次操作.在計算Qij時，需要O（MK）操作.因此，在每次迭代過程中，更新完所有的Qij時，需要O（MKNL）次操作.因此本文提出算法的復雜度與S-OMP方法的算法復雜度相當［12］.由文獻［14］知，M-SBL每次迭代需要的算法復雜度為O（M2NL），用標準二階錐實現(xiàn)的M-BP算法的復雜度為O（N3L3）.由于在聯(lián)合稀疏問題中K＜＜M ＜＜N，因此，本文提出算法的復雜度遠遠小于其他方法的算法復雜度.

6 仿真結(jié)果

本節(jié)在仿真中，除GRBA的性能外，還列出了S-OMP［12］、B-OMP［15］、M-BP［7，13］、M-SBL［14］及CS-MUSIC［6］的性能.在仿真中，信號相對均方誤差（RMSE）定義為：

本節(jié)通過仿真，將驗證貝葉斯推理過程中方差矩陣對角元素分布情況.在仿真中，噪聲方差 σ2=0.01. 圖1表示了沒有增強時，方差矩陣Σ對角元素分布情況.圖中x-軸為信號X的行號，y-軸為估計的方差值.

圖中星號點為非零行對應(yīng)的方差值.從圖1中可以看出，當無增強時，算法共恢復出了31個非零行；其中第183行被錯誤地恢復成信號的支撐.從圖中可以看到正確支撐所對應(yīng)的方差值集中在σ2附近.與第183行對應(yīng)的方差明顯小于其他行所對應(yīng)的方差值.因此，可以通過前述的貝葉斯增強方法，提高算法對支撐正確恢復的概率.

圖2為本文提出算法有增強和無增強兩種情況下，支撐恢復率對比.在仿真中，信號非零行數(shù)從26到45均勻變化，其余仿真參數(shù)設(shè)置同上一仿真設(shè)置.

圖2中，菱形線為有方差增強時的支撐回復率，星號線為算法無方差修正時的結(jié)果.從圖中可知，當算法采用方差增強時，可以大幅度的提高算法對支撐的恢復率.特別是在低稀疏度時，兩者具有較大的差距.在下文中，GRBA方法的仿真結(jié)果均是指具有方差增強時算法的性能.本小節(jié)給出了算法性能隨著信噪比變化的趨勢.在仿真中，信噪比從12dB到30dB均勻變化.

圖3所示為算法的支撐恢復率與信噪比關(guān)系.從圖中可以看到，當信噪比大于一定“閾值”后，GRBA方法和M-SBL方法對支撐恢復性能迅速提高.對于GRBA方法，該“閾值”約為13dB；對于M-SBL方法，該“閾值”約為25dB.因此，GRBA對測量噪聲敏感性遠低于MSBL方法.同時，由圖3知：CS-MUSIC方法的支撐恢復率隨著信噪比的增加而線性增加；但是增加的速度較慢.兩種貪婪的恢復算法：S-OMP和B-OMP方法在仿真的信噪比區(qū)間均不能正確的恢復信號支撐.

圖4所示為信號的均方誤差與信噪比關(guān)系.從圖中可以看到，基于統(tǒng)計推理的算法對信號幅度恢復明顯優(yōu)于確定性算法.在所有算法中，GRBA方法幅度恢復性能最優(yōu)，CS-MUSIC方法對幅度恢復性能最差.在低信噪比區(qū)域，由于GRBA和M-SBL對支撐恢復率均較低，因此兩者間的差距較小.隨著信噪比的增加，GRBA對支撐成功恢復率迅速增加，而M-SBL對支撐恢復率仍然較低；因此，GRBA和M-SBL之間的差距拉大.隨著信噪比的進一步增加，GRBA和M-SBL均能夠以極高的概率恢復信號支撐，此時GRBA和 M-SBL之間的差距縮寫.從圖中可以看到，兩種貪婪的恢復算法：S-OMP方法和B-OMP方法對信號幅度恢復差別較小.

圖5所示為算法運行時間隨著信噪比變化曲線.圖5上圖為所有算法運行時間的對比圖.從上圖可以看到，M-BP算法的運算時間最長，遠遠高于其他的算法運行時間；其次為M-SBL方法，算法S-OMP方法的運行時間最短.圖5下圖顯示了GRBA方法、B-OMP方法、SOMP方法和CS-MUSIC方法的運行時間.從圖中可以看到，雖然本文提出的GRBA方法為基于貝葉斯推理的恢復方法；但是采用了貪婪推理方法，運算時間不僅僅遠低于同樣為統(tǒng)計推理的M-SBL方法；還低于貪婪算法B-OMP的運行時間，和貪婪方法S-OMP的運行時間相似.且隨著信噪比的增加，GRBA運行時間和S-OMP方法運行時間的差距越來越小.從圖中看到，隨著信噪比的減少，噪聲功率增加；M-SBL方法迭代次數(shù)增加，運行時間變長.而GRBA方法采用估計方差信息增強，將估計方差和估計噪聲功率進行比較，能自適應(yīng)地估計信號的支撐.因此，與M-SBL方法相比，其運行時間隨著信噪比變化波動較小.另外，從圖5中可以看到，同為貪婪算法，B-OMP方法運行時間較S-OMP方法運行時間長.造成這種情況是因為：B-OMP在求解過程中，將多測量壓縮感知問題轉(zhuǎn)化成單測量壓縮感知問題，將信號X和測量數(shù)據(jù)T進行“拉長”處理，極大的增加了求解問題的維度，增加了算法運行時間.

當改變信號快拍數(shù)、信號稀疏度時，算法取得了與前述類似的性能，由于篇幅限制，本文沒有將其性能一一列出.

7 結(jié)論

本文針對聯(lián)合稀疏信號恢復問題，提出了一種增強貝葉斯信號恢復算法.算法在貝葉斯框架下，采用了一種貪婪的方法和一種增強的策略對信號稀疏模型進行求解.從而使本文提出方法既具有貝葉斯方法恢復精度高的優(yōu)點又具有貪婪算法運算量小的特點.理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果證明了提出算法的良好特性.

附錄

引理二［28］對一元三次方程令其判別式為：

如果Δ＞0，則g（t）=0有三個不同的實根；如果Δ =0，則方程有三個實根，其中包含重根；如果Δ＜0，則方程包含一實根和一對共軛復根.

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王友華 男，1981年生，重慶人.2011年進入復旦大學電子工程系，現(xiàn)為博士生，從事壓縮感知信號恢復，混合信號集成電路設(shè)計等工作.

E-mail：wangyouhua@fudan.edu.cn

張建秋 男，1962年生于湖南隆回縣，現(xiàn)任復旦大學電子工程系教授、博士生導師、IEEE高級會員，主要研究領(lǐng)域有信息處理理論及其在測量和儀器、新型傳感器、控制和通信中的應(yīng)用.

E-mail：jqzhang01@fudan.edu.cn

A Greedy Refinement Bayesian Approach to Joint Sparse Signal Recovery

WANG You-hua1，2，ZHANG Jian-qiu1

（1.Department of Electronic Engineering，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433，China；2.Science and Technology on Analog Integrated Circuits Laboratory，Chongqing 400060，China）

In this paper，a new greedy refinement bayesian approach（GRBA），used to solve the joint sparse signal recovery problem，is proposed.The joint sparse property of signals is first used to model the signals.Based on the model，a greedy Bayesian inference method used to estimate the signals is then presented.In order to enhance the performance of the recovery，the covariance matrix got by the Bayesian inference is utilized to refine the support recovery results in our inference process.The analytical results show that GRBA outperforms the reported algorithms in the literature in terms of both the signal recovery accuracy and computational complexity.It keeps both the advantages of Bayesian methods and greedy methods. Numerical simulations verify the effectiveness of the analytical results.

joint sparsity；signal recovery；greedy algorithm；greedy refinement Bayesian approach

TN919.72

A

0372-2112（2016）04-0780-08

電子學報URL：http：//www.ejournal.org.cn 10.3969/j.issn.0372-2112.2016.04.005

2014-08-18；

2014-12-14；責任編輯：孫瑤

國家自然科學基金（No.61171127，No.61571131）；模擬集成電路重點實驗室基金（No.9140C090110130C09003）