王 維，陳 爭，李 鑫，曾以成

?

含兩個荷控憶阻器的五階混沌電路研究

王 維1，陳 爭2，李 鑫1，曾以成1

（1. 湘潭大學 微電子科學與工程系，湖南 湘潭 411105；2. 75714部隊，湖南 衡陽 421900）

憶阻器作為一種具有記憶功能的新型非線性元件，被廣泛應用于非線性電路系統(tǒng)設計中。利用兩個基于荷控光滑模型的憶阻器以及采用常見的線性電子元件電感、電容、負電阻等設計了一種新的五階混沌振蕩電路。采用常規(guī)的系統(tǒng)動力學分析方法，分析了系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性、相圖、李雅普諾夫指數譜和分叉圖，研究了系統(tǒng)隨電路參數和荷控憶阻器初始狀態(tài)變量變化的非線性動力學特性。Matlab數值仿真結果驗證了理論分析的正確性。

混沌電路；相圖；動力學；荷控憶阻器；非線性系統(tǒng)；數值仿真

憶阻器是繼電容、電感和電阻之后的第四種基本無源雙端口電路元件[1-2]，作為一種具有記憶功能的非線性元件[3-5]，其構成的電路具有易產生混沌振蕩信號的優(yōu)點[6]，因此含憶阻的混沌電路研究廣受關注[7-10]。目前，對憶阻器的研究主要集中在含一個憶阻器的混沌電路[11-12]，對含有兩個或多個憶阻器的混沌電路研究較少。由于含有兩個或多個憶阻器構成的混沌電路具有更加復雜的拓撲結構并擁有更豐富的混沌動力學行為，因此在圖像加密[13-15]和保密通信[16-17]等工程應用領域具有潛在的應用價值。針對多憶阻器混沌電路中的研究，包伯成等[18]于2011年首次提出了含兩個三次光滑模型磁控憶阻的混沌電路設計，利用電容與磁控憶阻的并聯(lián)，得到一個五階混沌振蕩電路；Buscarino等[19]采用兩個互相并聯(lián)的磁控型憶阻替換蔡氏二極管得到新混沌電路；Hong等[20]提出了利用惠普實驗室荷控和磁控兩種憶阻器模型設計了一個五階混沌電路，通過數值仿真與電路仿真分析表明其相對于只含有一個憶阻器的混沌振蕩電路具有更加豐富的動力學行為。

針對現(xiàn)有多憶阻器混沌電路研究大都是基于蔡氏電路以及分段型磁控憶阻器展開的，且電路形式以憶阻器與電容并聯(lián)設計為主，電路結構較為單一[21-23]。筆者利用兩個三次光滑模型荷控憶阻器設計了一個具有不同于蔡氏電路的新型五階混沌電路，結合荷控憶阻器與電感的串聯(lián)、電阻的并聯(lián)兩種形式。并將分別研究系統(tǒng)在隨參數變化和憶阻器初始狀態(tài)變化情況下的動力學行為，用數值仿真驗證理論分析的正確性。

1 荷控憶阻器模型

為了研究憶阻器、憶阻器振蕩電路的規(guī)律，以及對憶阻器電路仿真，需建立憶阻器模型。常用的憶阻器模型有分段線性型、二次或三次光滑型[24-26]，其中分段線性模型的憶導值是不連續(xù)的，從物理上實現(xiàn)這種類型的憶阻器不太現(xiàn)實，因此本文采用三次光滑荷控憶阻器模型。憶阻器作為一個二端口元件，定義表達式為：()=()/d，端口伏安特性表達式為：=()，其中()為憶阻值，為憶阻器內部磁通，為流經憶阻器電荷。

本文的荷控型憶阻均采用光滑非線性三次連續(xù)的單調上升函數來描述，表達式如下：

憶阻為：

式中：、為常量，且>0，>0，因此為無源二端口憶阻器[27]。

2 利用兩個荷控憶阻設計的混沌電路

利用經典蔡氏電路[28]進行拓撲對偶，得到其拓撲對偶電路如圖1(a)。在此基礎電路上用一個荷控憶阻，同時將另外一個荷控憶阻器與電阻R并聯(lián)處理，憶阻器替換蔡氏二極管并且在此支路串聯(lián)一個負電阻得到圖1(b)所示電路。新電路由五個動態(tài)元件構成，內部狀態(tài)變量分別為1、2、1、1和2。此處1和2為兩個荷控憶阻12內部狀態(tài)控制變量。

圖1 兩荷控憶阻振蕩電路

根據基爾霍夫電流定律、電壓定律，可推出圖1(b)電路中五個動態(tài)元件各自對應的狀態(tài)方程：

式中兩個憶阻器的憶阻分別為：1=1+312，2=1+322。

將上述(3)方程組進行無量綱歸一化，設=1，=2，=1，=1，=2，=1/1，=1/，=1，=1/，1/2=1，代入方程組(3)，方程組歸一化的無量綱狀態(tài)方程可寫為：

式中：、、、、為系統(tǒng)狀態(tài)變量；、,、、為電路參數；1=1+32，2=1+32。

給定電路參數=8，=–10，=2，=0.25 ，初始狀態(tài)（0.1, 0.0001, 0, 0, 0），利用龍格庫塔算法得到系統(tǒng)在各相平面產生的投影相圖如圖2所示。

利用Jacobi方法計算李雅普諾夫指數譜得1=0.386 42，2=0.000 35，3=–0.000 11，4=0.000 45，5=–6.126 30，李雅普諾夫維數L=4.063隨時間變化的系統(tǒng)整體李雅普諾夫指數譜如圖3(a)所示，兩者指數基本吻合，驗證了Jacobi方法所得結果的正確性；、、、四個狀態(tài)量在時域下波形如圖3(b)，波形是非周期的。因此從五階荷控憶阻振蕩電路的相圖、李雅普諾夫指數譜與維數以及時域波形分析，可以體現(xiàn)該電路確實是可以產生豐富混沌動力學行為的混沌電路。

圖3 李雅普諾夫指數譜和時域波形圖

3 電路動力學特性分析

3.1 系統(tǒng)平衡點與穩(wěn)定性分析

令(4)式各微分方程右邊為零，即：

可得系統(tǒng)平衡點集：

即在-平面上的任一點都是該系統(tǒng)的平衡點，(6)式中1，2為實常數。給定電路參數=8，= –10，=2，系統(tǒng)初始狀態(tài)（0.1, 0.000 1, 0, 0, 0），選擇1，2和作為可調參數，得(4)式在平衡點集合處的Jacobi矩陣S為：

平衡點集合對應的特征根方程為：

式中：

根據特征方程(8)可以得到：系統(tǒng)(4)含有3個非零特征根與2個為零的特征根。(8)式中，括號內的三次多項式方程系數均是非零實常數，依據Routh-Hurwitz穩(wěn)定判據，該三次多項式方程所有根均具有負的實部的充要條件為：

(10)式中，=1，2，3時，則有：

令1=0，則在1-2構成平面的2坐標軸上對應不穩(wěn)定的范圍是：

|2|<0.275 3 （12）

令2=0，則在1-2構成平面的1坐標軸對應不穩(wěn)定的范圍是：

|1|<0.267 4，0.410 5<|1|<0.585 6 （13）

選取相應電路參數=8，=–10，=2，=0.25，以及系統(tǒng)初始狀態(tài)取值為(0.1，0.000 1，(0)，(0))，其中(0)與(0)是取定的兩個可變參數。當取(0)=0時，五階系統(tǒng)(公式(4))隨初始值(0)=1變化的李雅普諾夫指數譜如4(a)圖所示；當取(0)=0時，五階系統(tǒng)隨初始值(0)=2變化的李雅普諾夫指數譜如4(b)圖所示，圖4(a)考慮到圖片的清晰度，故舍去了部分曲線。

對于含有兩個憶阻器的混沌振蕩電路，混沌電路系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅受平衡點集合的三個非零特征根影響，而且其另外兩個取值為零的特征根在一定的電路參數取值下也會對兩荷控五階憶阻器混沌振蕩電路的動力學特性產生一定的影響。如圖4中所示李雅普諾夫指數譜仿真結果和上所論述分析結果在區(qū)間0.56<1<0.575以及區(qū)間–0.575<1<–0.56不同，在這兩個區(qū)間內系統(tǒng)為穩(wěn)定的匯，系統(tǒng)(4)平衡點集存在兩個零特征根的影響是造成該差異的原因。

圖4 隨初始狀態(tài)k1、k2變化的李雅普諾夫指數譜

3.2 電路參數的影響

對混沌振蕩電路動力學行為，采用李雅普諾夫指數譜和系統(tǒng)分叉圖等常規(guī)系統(tǒng)動力學分析方法，對圖1所示兩荷控五階憶阻混沌電路隨電路參數變化的動力學行為進行研究與分析。

選取參數=8，=–10，=0.25，系統(tǒng)(4)初始狀態(tài)(0.1, 0.000 1, 0, 0, 0)，其中作為可變參數，即通過調節(jié)電阻阻值1研究系統(tǒng)動力學行為的變化。隨參數在[1.9,2.9]區(qū)間增加變化時的狀態(tài)變量分叉圖和李雅普諾夫指數譜分別如5(a)、5(b)圖所示。

圖5(a)中為了更清晰地呈現(xiàn)非負李指數，因此繪圖時第五根Lyapunov指數曲線舍去，沒有繪出。同時為了更精準觀察分叉特性，給出∈[1.9,2.1]較小范圍的分叉圖，如圖5(c)所示。

觀察圖5隨電路參數變化的李雅普諾夫指數譜和分叉圖，圖5(a)圖和(b)圖中各自運行軌線所體現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定狀態(tài)區(qū)域是互相吻合的。需要指出的是，兩荷控憶阻振蕩電路在周期振蕩時，其最大李指數并不是一個負值，而是一個接近零的正值。圖5(b)可以觀察到，混沌系統(tǒng)(4)通往混沌的整個過程。系統(tǒng)由一個有界點轉變?yōu)椴环€(wěn)定的周期軌，經過倍周期分叉由周期軌走向混沌軌，最終成為一個有界點。從圖5(c)中，系統(tǒng)很明顯存在若干周期窗口，隨參數變化的動力學分析于表1列出。

=圖5 隨電路參數κ變化的李雅普諾夫指數譜和分叉圖

表1參數在區(qū)間[1.9，2.9]的系統(tǒng)動力學行為分析

Tab.1 The analysis of dynamics behaviors with κ in the interval [1.9, 2.9]

系統(tǒng)(4)產生的周期軌和混沌軌在平面的投影如圖6所示。其中各個子圖對應的相圖和電路參數分別是：圖6(a)為周期一極限環(huán)（=1.925），圖6(b)為周期二極限環(huán)（=1.935），圖6(c)為單渦卷混沌軌（=1.969），圖7(d)為單渦卷混沌軌向雙渦卷混沌軌過渡階段（=1.969 6），圖6(e)為雙渦卷混沌軌（=1.969 7），圖6(f)為周期五軌道（=1.995 9）。圖6(a)與(b)周期一、周期二極限環(huán)與分叉圖中系統(tǒng)倍周期分叉行為完全吻合，圖6(c)、(d)分別出現(xiàn)單渦卷與雙渦卷混沌軌道與圖5(a)中呈現(xiàn)的具有兩個正的李指數區(qū)間相對應，比具有一個正的李指數時動力學行為更加豐富。圖6(f)體現(xiàn)出了周期五混沌軌跡。

圖6 系統(tǒng)隨κ參數變化的動力學行為

3.3 憶阻器初始狀態(tài)的影響

在含有兩個或多個憶阻器的混沌電路系統(tǒng)中，憶阻器初始狀態(tài)的不同，也會引起系統(tǒng)動力學特性的改變。借助李雅普諾夫指數譜，分叉圖和-平面相圖，分析系統(tǒng)初始狀態(tài)改變對混沌振蕩電路的影響。

對于系統(tǒng)(4)確定的各電路參數值，選擇系統(tǒng)初始狀態(tài)值為(0.1,0.0001,0,0,(0))，其中選擇(0)作為整個系統(tǒng)的控制參數，隨初值(0)=在區(qū)間[0,0.4]變化的系統(tǒng)的李雅普諾夫指數譜與系統(tǒng)狀態(tài)變量的分叉圖分別如圖7(a)、(b)所示。圖7(a)從圖片清晰度考慮，舍去了數值較小的第5根李雅普諾夫指數曲線。可以觀察到李雅普諾夫指數譜和分叉圖基本吻合。

圖7 系統(tǒng)隨初始狀態(tài)ω(0)變化的李雅普諾夫指數譜和分叉圖

圖7(a)在0≤≤0.256時，系統(tǒng)李氏指數形式為（+，+，–，–），系統(tǒng)出現(xiàn)兩個大于零的李氏指數，1?2表明電路系統(tǒng)在這個區(qū)間段進入了混沌狀態(tài)；當0.256≤≤0.262時，系統(tǒng)李氏指數形式為（+，+，–，–），系統(tǒng)具有兩個正的趨于零的李氏指數，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當0.262≤≤0.40時，系統(tǒng)李氏指數形式為（+，–，–，–），系統(tǒng)具有一個正的趨于零的李氏指數，系統(tǒng)同樣處于周期狀態(tài)。圖7(b)可以觀察到，電路由混沌狀態(tài)出現(xiàn)反倍周期分叉進入周期態(tài)。圖8的-平面相圖展示了系統(tǒng)(4)隨初始狀態(tài)變化時，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)反倍周期分叉進入周期狀態(tài)的過程。

圖8 系統(tǒng)隨初值ω(0)變化的動力學行為

4 結論

采用兩個無源二端口具有光滑特性曲線的荷控型憶阻器以及常用的電感、電容、負電阻等線性元件，設計了一個新的五階混沌振蕩電路。對電路各節(jié)點電流、回路電壓分析，建立了新電路系統(tǒng)的五階非線性動力學微分方程，進行了系統(tǒng)平衡點集穩(wěn)定性理論分析，研究表明該五階系統(tǒng)滿足產生混沌現(xiàn)象的特性。選取合適的電路參數和系統(tǒng)初值進行仿真后，顯示系統(tǒng)存在奇異吸引子現(xiàn)象并且平衡點集的穩(wěn)定性由系統(tǒng)初始狀態(tài)決定，驗證了系統(tǒng)的初值敏感性。進一步借助李雅普諾夫指數譜、分叉圖以及相軌圖等動力學分析手段，詳細分析了系統(tǒng)隨電路參數與憶阻器初始值狀態(tài)下系統(tǒng)進入混沌的特性，數值仿真驗證了理論的正確性。同時，在分析中發(fā)現(xiàn)，含有兩憶阻器的混沌振蕩電路不同于一般的混沌電路系統(tǒng)，其穩(wěn)定性不僅由平衡點集的非零特征根決定，在一定的電路參數下，零特征根對含有兩憶阻混沌振蕩電路穩(wěn)定性也有很大的影響。本文研究的基于兩荷控憶阻器的五階混沌振蕩電路對系統(tǒng)初值與電路參數具有很強的敏感性，故在微弱信號檢測、混沌保密通信和電子測量等工程領域具有潛在的應用價值。

[1] CHUA L O. Memristor-the missing circuit element [J]. Circuit Theory IEEE, 1971, 18(5): 507-519.

[2] WILLIAMS R. How we found the missing memristor [J]. Spectrum IEEE, 2008, 45(12): 28-35.

[3] WANG P P, LIEBELT B J. Memristor-based activation circuit for long-term memories in cognitive architectures [J]. Electron Lett, 2015, 51(21): 1639-1641.

4] LIU D Q, CHENG H F, ZHU X, et al. Research progress of memristors and memristive mechanism [J]. Acta Phys Sin, 2014, 63(18): 187301.

[5] WANG Y D, RUI X, YAN X L. Organic memristive devices based on DNA embedded in silver nanoparticles layer [J]. Acta Phys Sin, 2015, 64(4): 048402.

[6] CHUA L O, KANG S M. Memristive devices and systems [J]. Proc IEEE, 1976, 64(2): 209-223.

[7] 王清華, 宋衛(wèi)平, 宇文雄. 憶阻器特性及其在電路設計中的應用[J]. 電子元件與材料, 2014, 33(3): 5-8.

[8] 譚志平, 盧鑫, 曾以成, 等. 并聯(lián)型憶阻器混沌電路設計[J]. 電子元件與材料, 2015, 34(3): 50-53.

[9] YU Y J, WANG Z H. A fractional-order memristor model and the fingerprint of the simple series circuits including a fractional-order memristor [J]. Acta Phys Sin, 2015, 64(23): 238401-238401.

[10] KHATIB M A, FOUDA M E, MOSAD A G, et al. Memristor-based relaxation oscillators using digital gates [C]//Seventh International Conference on Computer Engineering & Systems. Cairo, Egypt:IEEE, 2012.

[11] XIA Q F, ROBINETT W, CUMBIE M W, et al. Memristor-CMOS hybrid integrated circuits for reconfigurable logic [J]. Nano Lett, 2009, 9(10): 3640-3645.

[12] MUTHUSWAMY B, KOKATE P P. Memristor based chaotic circuits [J]. Lete Tech Rev, 2009, 26(6): 415-426.

[13] LI Z J, ZENG Y C. Memristor oscillator based on twin-T network [J]. Chin Phys Lett, 2013, 22(4): 040502.

[14] HONG Q H, LI Z J, ZENG J F, et al. Design and simulation of a memristor chaotic circuit based on current feedback op amp [J]. Acta Phys Sin, 2014, 63(18): 180502.

[15] LIN Z, WANG H. Efficient image encryption using a chaos-based PWL memristor [J]. Lete Tech Rev, 2010, 27(4): 318-325.

[16] SUN J, SHEN Y, YIN Q, et al. Compound synchronization of four memristor chaotic oscillator systems and secure communication [J]. Chaos An Interdisciplinary J Nonlinear Sci, 2013, 23(1): 013140.

[17] MIN G Q, WANG L D, DUAN S K. Chaotic circuit of ion migration memristor and its application in the voice secure communication [J]. Acta Phys Sin, 2015, 64(21): 18-23.

[18] BAO B C, SHI G D, XU J P. Dynamics analysis of chaotic circuit with two memristors[J]. Sci Chin Tech Sci, 2011, 54: 1-6.

[19] BUSCARINO A, FORTUNA L, FRASCA M, et al. A chaotic circuit based on hewlett-packard memristor [J]. Chaos An Interdisciplinary J Nonlinear Sci, 2012, 22(2): 023136.

[20] HONG Q H, ZENG Y C, LI Z J. Design and simulation of chaotic circuit for flux-controlled memristor and charge-controlled memristor [J]. Acta Phys Sin, 2013, 62(23): 230502.

[21] BAO B C, LIU Z, XU J P. Dynamica analysis of memristor chaotic oscillator [J]. Acta Phys Sin, 2010, 59(6): 3785-3793.

[22] BAO B C, LIU Z, XU J P. Steady periodic memristor oscillator with transient chaotic behaviours [J]. Electron Lett, 2010, 46(3): 228-230.

[23] YANG F Y, LENG J L, LI Q D. The 4-dimensional hyperchaotic memristive circuit based on Chua’s circuit [J]. Acta Phys Sin, 2014, 63(8): 080502.

[24] ITOH M, CHUA L O. Memristor oscillators [J]. Int J Bifurcation Chaos, 2008, 18(11): 3183-3206.

[25] LEON C. Everything you wish to know about memristors but are afraid to ask [J]. Radioengineering, 2015, 24(2): 319.

[26] CHUA L. Resistance switching memories are memristors [J]. Appl Phys A, 2011, 102(4): 765-783.

[27] HU F W, BAO B C,WU H G, et al. Equivalent circuit analysis model of charge-controlled memristor and its circuit characteristics [J]. Acta Phys Sin, 2013, 62(21): 218401.

[28] CHUA L O. The genesis of Chua's circuit [M]. California:Electronics Research Laboratory College of Engineering University, 1992: 250-257.

（編輯：曾革）

Analysis of a five-order chaotic circuit with two charge-controlled memristors

WANG Wei1, CHEN Zheng2, LI Xin1, ZENG Yicheng1

(1. Department of Microelectronic Science and Engineering, Xiangtan University, Xiangtan 411105, Hunan Province, China; 2. 75714 Troops, Hengyang 421900, Hunan Province, China)

The memristor is a new nonlinear circuit component with unique memory characteristics, which is used to design nonlinear systems widely. A novel five-order chaotic oscillation circuit was constructed by two charge-controlled memristors and two inductors, a capacitor, a negative resistor. Analysis of equilibria stability, phase diagrams, Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagrams of the system were presented. The nonlinear dynamics of the system with the variation of circuit parameters and initial conditions of charge-controlled memristors were demonstrated by means of conventional methods. The simulation results on Matlab platform are well consistent with theoretical analysis.

chaos circuit; phase diagram; dynamics; charge-controlled memristor; nonlinear system; numerial simulation

10.14106/j.cnki.1001-2028.2016.07.021

TN918

A

1001-2028（2016）07-0091-07

2016-04-04

曾以成

國家自然科學基金資助項目（No. 61471310）

曾以成（1962－），男，湖南漣源人，教授，博士，研究方向為混沌微弱信號檢測，E-mail: yichengz@xtu.edu.cn；

王維（1991－），男，湖南湘潭人，研究生，研究方向為非線性電路系統(tǒng)，E-mail: weiwang_xtu@126.com 。

2016-07-01 10:50:54

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1241.TN.20160701.1050.020.html