徐彬

（武昌首義學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，湖北武漢430064）

中心極限定理的形象化模擬及其應(yīng)用

徐彬

（武昌首義學(xué)院基礎(chǔ)科學(xué)部，湖北武漢430064）

介紹了中心極限定理的基本理論，利用數(shù)學(xué)軟件Matlab進(jìn)行了定理的模擬演示，直觀形象地展示了定理所反映的本質(zhì)內(nèi)容，并結(jié)合實(shí)例給出了定理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，闡明了定理的重要應(yīng)用價(jià)值。

中心極限定理；Matlab；模擬；應(yīng)用

中心極限定理是概率論的重要內(nèi)容，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)之間一個非常重要的承前啟后的橋梁。中心極限定理是研究在一定條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布的一系列定理的總稱，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布的方法，同時(shí)解釋了正態(tài)分布廣泛存在的原因，并為解決實(shí)際問題時(shí)利用正態(tài)分布提出了理論依據(jù)。

中心極限定理的理論性較強(qiáng)，是教學(xué)中的難點(diǎn)，傳統(tǒng)教學(xué)中大多以理論闡述為主，不易被學(xué)生深刻理解和掌握，為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果，對課程進(jìn)行一定的調(diào)整：一方面用數(shù)學(xué)軟件Matlab對定理進(jìn)行仿真模擬，對定理從不同角度進(jìn)行演示，將抽象的內(nèi)容用可視化的形式展現(xiàn)出來，便于定理的理解和記憶；另一方面在教學(xué)中列舉一些實(shí)例，通過對實(shí)例的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會定理的實(shí)用價(jià)值。

1　相關(guān)定理

林德伯格-列維定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化向量的分布函數(shù)Fn（x）對于任意x滿足

棣莫佛-拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量ηn（n=1，2，…） 服從參數(shù)為n，p（0＜p＜1）的二項(xiàng)分布，則對于任意x，有

中心極限定理有多種形式，它們的結(jié)論相同，區(qū)別僅在于定理?xiàng)l件不同。本文中只列出常用的2個中心極限定理。林德伯格-列維定理（獨(dú)立同分布的中心極限定理）是最常用的一種形式，揭示了獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布。棣莫佛-拉普拉斯定理是林德伯格-列維定理的特殊情況，是最早的中心極限定理，揭示了二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。在教學(xué)中可以按照歷史發(fā)展順序，先特殊后一般的認(rèn)識規(guī)律安排中心極限定理的教學(xué)。

2　中心極限定理的Matlab演示

在中心極限定理的教學(xué)中，定理比較抽象，直接靠老師給出定理，證明其正確性，學(xué)生很難理解，引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后，可以讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中觀察學(xué)習(xí)，將定理直觀呈現(xiàn)出來，使課堂教學(xué)更加生動，有助于學(xué)生對定理的理解和掌握。

2.1棣莫佛-拉普拉斯定理（二項(xiàng)分布情形）

設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，用Matlab演示二項(xiàng)分布B（n，當(dāng)p）n增大時(shí)的演化過程，繪制二項(xiàng)分布（Bn， p），正態(tài)分布N（np，np（1-p））以及他們之間的誤差函數(shù)圖形，以p=3 4為例，編寫Matlab程序如下：

圖1中的“.”代表二項(xiàng)分布，“-”代表正態(tài)分布，“*”代表兩者之間的誤差。從n=5與n=50二項(xiàng)分布與相應(yīng)的正態(tài)分布比較，可以看出：當(dāng)n無限增大，二項(xiàng)分布的概率分布圖逐漸逼近相應(yīng)的正態(tài)分布的分布曲線；當(dāng)n→∞時(shí)，誤差函數(shù)幾乎為零；2種分布幾乎處處相等。

2.2林德伯格-列維定理（獨(dú)立同分布情形）

圖1　二項(xiàng)分布與正態(tài)分布比較圖

從圖2中可以看出：當(dāng)n=5，Sn的頻率直方圖呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的特點(diǎn)，已有正態(tài)分布的雛形；當(dāng)n=50，Sn的頻率直方圖更加接近于正態(tài)分布的圖形，可以認(rèn)為近似服從正態(tài)分布。

以指數(shù)分布為例，Matlab的演示過程解釋了中心極限定理要表達(dá)的本質(zhì)內(nèi)容，可以讓學(xué)生繼續(xù)思考：對于其他分布是不是也可以得到相同的結(jié)論，試著編寫相應(yīng)的Matlab程序。這樣學(xué)生既掌握了中心極限定理，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。

圖2　Sn分布的頻率直方圖

3　中心極限定理的實(shí)際應(yīng)用

中心極限定理不但可以解釋客觀現(xiàn)實(shí)中許多隨機(jī)變量服從正態(tài)分布的原因，而且有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、管理決策、近似計(jì)算以及保險(xiǎn)業(yè)等諸多領(lǐng)域中有重要的應(yīng)用價(jià)值。

1）在幼兒園規(guī)模設(shè)置方面的應(yīng)用

假設(shè)武漢某片區(qū)2所幼兒園的規(guī)模、師資配備、收費(fèi)價(jià)格都相同。片區(qū)有500名適齡幼兒，假設(shè)每名幼兒選擇幼兒園是相互獨(dú)立的，問每個幼兒園應(yīng)至少開設(shè)多少個班（每班30人）才能保證幼兒因缺少學(xué)位而離開的概率小于5%？

解：記X為500名幼兒選某幼兒園的人數(shù)，設(shè)幼兒園可接受s名幼兒入學(xué)。X服從二項(xiàng)分布B（500，0.5），算得EX=250，DX=125，由棣莫佛-拉普拉斯定理中心極限定理知近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），因此

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得解得s≥269。幼兒園每班容量為30人，269 30取整等于9，所以每個幼兒園至少開設(shè)9個班級，才能保證幼兒因缺少學(xué)位而離開的概率小于5%。

2）生產(chǎn)供應(yīng)需求方面的應(yīng)用

某學(xué)校教學(xué)樓每個教室都配備擴(kuò)音設(shè)備，教師上課前需到值班室領(lǐng)取話筒和電池，為了保障教學(xué)工作的順利進(jìn)行，需要準(zhǔn)備足夠的電池?，F(xiàn)有一批電池共100節(jié)，它們的壽命服從λ=1 30的指數(shù)分布，每次使用一節(jié)，用完即換新的，這批電池可使用2 500 h以上的概率是多少？

解：設(shè)每節(jié)電池的壽命為隨機(jī)變量Xi，則X1，X2，…，X100相互獨(dú)立，因?yàn)閄i服從λ=1 30的指數(shù)分布，則EXi=30，DXi=302，可求得

近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），因此

這批電池可使用2 500 h以上的概率是95.2%。

4　結(jié)語

中心極限定理是概率論的重要內(nèi)容，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基石，有著承上啟下的作用。中心極限定理內(nèi)容抽象，學(xué)生不易理解掌握，在教學(xué)中，理論闡述的同時(shí)，可將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入課堂教學(xué)，利用Matlab等數(shù)學(xué)軟件，把原本抽象難懂的知識變得直觀形象，使教學(xué)過程形象生動；另外從解決實(shí)際問題入手，讓學(xué)生真正體會定理的重要作用，激發(fā)學(xué)生探究知識的欲望，加深學(xué)生對定理本質(zhì)的理解。

［1］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.4版.北京：高等教育出版社，2008.

［2］王靜海，范恩貴.中心極限定理在抽樣推斷中的應(yīng)用［J］.張家口師專學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1994（1）：49-53.

［3］周德強(qiáng).用Matlab輔助概率論極限理論教學(xué)［J］.高師理科學(xué)刊，2010，30（2）：89-91.

［4］林小萍.用Matlab模擬大數(shù)定理和中心極限定理［J］.汕頭大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，20（2）：12-18.

Simulation and Application of Center Limit Theorem

Xu Bin
（Department of Basic Science，Wuchang Shouyi University，Wuhan 430064，China）

The basic theory of the central limit theorem was introduced.The simulation of the theorem was carried out and the essential content of the theorem was visually demonstrated by using the software Matlab.The application of the theorem in real life was discussed through examples and the important application value of the theorem was elucidated.

center limit theorem；Matlab；simulation；application

O211

A

1008-5483（2016）02-0077-04

10.3969/j.issn.1008-5483.2016.02.018

2016-04-27

徐彬（1981-），女，山東昌邑人，碩士，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究。E-mail：46569864@qq.com