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        厘清錯(cuò)因,正確解題

        2016-10-09 22:26:47
        初中生世界·九年級(jí) 2016年9期
        關(guān)鍵詞:項(xiàng)為實(shí)根一元二次方程

        陳廣林

        解一道題,出錯(cuò)的原因很多,有可能是計(jì)算出錯(cuò),有可能是因?yàn)橛涘e(cuò)了公式,也有可能沒有注意到題中的隱含條件.本文通過分析同學(xué)們作業(yè)出錯(cuò)原因,幫助大家找出一元二次方程解題需要注意的事項(xiàng).

        一、 求一般式不能“一根筋”

        例1 將一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0(a>0)后,一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別是多少?

        【學(xué)生錯(cuò)解】∵-3x2-2=-4x,∴-3x2+4x-2=0,

        ∴一次項(xiàng)為4x,常數(shù)項(xiàng)為-2.

        【學(xué)生自述】我沒有注意題中的a>0,直接化成一般式,沒有兩邊同時(shí)除以-1,使a>0,通過這道題,我明白了要認(rèn)真審題,看清題目的條件.

        【正確解答】∵-3x2-2=-4x,∴3x2-4x+2=0,

        ∴一次項(xiàng)為-4x,常數(shù)項(xiàng)為2.

        【教師點(diǎn)評(píng)】一元二次方程的一般形式是為后面學(xué)習(xí)一元二次方程求根公式準(zhǔn)備的,它要求形式滿足ax2+bx+c=0,所以它的結(jié)果不是唯一的,比如本題中錯(cuò)解和正解都是這個(gè)方程的一般形式,6x2-8x+4=0也是它的一般形式,而我們?cè)诮忸}時(shí)要看清題目的要求,選擇最簡便的那組數(shù)據(jù).

        二、 選錯(cuò)解題方法,導(dǎo)致計(jì)算難度增加

        例2 解方程:(2x-1)2=(3-x)2.

        【學(xué)生錯(cuò)解】4x2-4x+1=9-6x+x2,

        3x2-2x-8=0,

        (x-2)(3x+4)=0,

        ∴x-2=0或3x+4=0,

        ∴x1=2,x2=-.

        【簡潔解法】2x-1=3-x或2x-1=-(3-x),

        ∴x=或x=-2.

        【教師點(diǎn)評(píng)】計(jì)算錯(cuò)誤確實(shí)是本題出錯(cuò)的原因之一,但另一個(gè)原因是該同學(xué)沒有使用直接開平方法,而是試圖把方程化成一般式,并采用了一個(gè)自己根本不熟悉,教材又不作要求的十字相乘法,把原本非常簡單的一道題,做得特別復(fù)雜,導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò).

        例3 當(dāng)k為多少時(shí),x2-2(k+1)x+k+7是x的完全平方式.

        【學(xué)生錯(cuò)解】當(dāng)k=-1時(shí),x2+6是x的完全平方式.

        【學(xué)生訂正】∵x2-2(k+1)x+k+7是x的完全平方式,

        ∴k+7=[-(k+1)]2,∴k2+k-6=0.

        ∴(k+3)(k-2)=0. ∴k1=2,k2=-3.

        【簡潔解法】∵x2-2(k+1)x+k+7是x的完全平方式,

        ∴x2-2(k+1)x+k+7=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

        ∴Δ=[-2(k+1)]2-4(k+7)=0.

        ∴k1=2,k2=-3.

        【教師點(diǎn)評(píng)】該生剛開始,根本不知道本題怎么做.訂正的時(shí)候根據(jù)“二次項(xiàng)系數(shù)為1,則常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”來解決的.訂正所采用的方法雖然做出了正確的結(jié)果,但是有其局限性,需要二次項(xiàng)系數(shù)為1.如果二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1.

        但如果把這個(gè)問題變成一個(gè)方程問題,讓完全平方的值為0,則這個(gè)方程可以化為(mx+n)2=0的形式,即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,就不需要考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為1.

        三、 討論一元二次方程的解之前,先保證方程是一元二次方程

        例4 關(guān)于x的方程kx2+(k+2)x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍.

        【學(xué)生錯(cuò)解】b2-4ac=(k+2)2-4k×>0,

        ∴k2+4k+4-k2>0,

        ∴4k+4>0, ∴k>-1.

        【正確解答】∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

        ∴b2-4ac=(k+2)2-4k×>0且k≠0,

        ∴k>-1且k≠0.

        【教師點(diǎn)評(píng)】使用根的判別式的前提是方程是一元二次方程,所以二次項(xiàng)系數(shù)不能等于零.

        例5 已知關(guān)于x的方程(k-1)x2+2kx+k=0有實(shí)根,求k的取值范圍.

        【學(xué)生錯(cuò)解】由題意,得k-1≠0,

        (2k)2-4k(k-1)≥0,解得k≥0且k≠1時(shí),方程有實(shí)根.

        【教師點(diǎn)評(píng)】題設(shè)中交代方程有實(shí)根,并沒有說明這個(gè)方程是一元一次方程還是一元二次方程,因此本題需要分兩種情況討論,一元一次方程有實(shí)根還是一元二次方程有實(shí)根.

        【正確解答】當(dāng)k-1=0,即k=1時(shí),

        方程化為2x+1=0,∴x=-.

        當(dāng)k-1≠0時(shí),如前面所解,得k≥0且k≠1.

        ∴當(dāng)k≥0時(shí),方程有實(shí)根.

        四、 應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系的前提是一元二次方程有解

        例6 一元二次方程2x2-2x+1-3m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2,且x1、x2滿足不等式x1·x2+2(x1+x2)>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

        【學(xué)生錯(cuò)解】x1·x2=,x1+x2=1.

        ∵x1·x2+2(x1+x2)>0,∴+2>0.

        ∴m<.

        【教師點(diǎn)評(píng)】本題一元二次方程的兩根滿足x1·x2+2(x1+x2)>0,但還不能保證這個(gè)方程一定有解,所以這個(gè)解法中還應(yīng)補(bǔ)充Δ≥0,即m≥.所以本題的正確答案為≤m<.

        (作者單位:江蘇省海安縣瓦甸初級(jí)中學(xué))

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