吳曉剛

圓中的概念性質(zhì)、定理公式眾多，且綜合性較強(qiáng)，有別于一般直線形的思維方法，所以同學(xué)們在學(xué)習(xí)這一章時(shí)會感覺到困難一些，犯錯(cuò)的情況也會多一些.本文將幫助同學(xué)們對圓有關(guān)的知識進(jìn)行“糾錯(cuò)”，亦能“究錯(cuò)”.

[一、 概念不清難甄別]

例1 下列說法中，正確的有_______個(gè).

①長度相等的弧叫做等弧；②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對的?。虎巯嗟鹊膱A心角所對的弧相等；④三角形的內(nèi)心在三角形內(nèi)，三角形的外心在三角形外.

【錯(cuò)解】4.

【剖析】本題考查的是圓的有關(guān)概念、性質(zhì)，需要同學(xué)們對其理解透徹，稍有差池即錯(cuò)，一知半解的同學(xué)還認(rèn)為4個(gè)說法都對，實(shí)則都似是而非.說法①中的等弧指的是“在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧”，而只是長度相等的弧不一定能夠重合；說法②中，由于直徑也是弦，而任意兩條直徑都互相平分，但不一定互相垂直，也就不一定平分弦所對的??；說法③必須在同圓或等圓中才成立；說法④中“三角形的內(nèi)心在三角形內(nèi)”是正確的，而三角形的外心的位置不一定，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心在三角形的邊上，鈍角三角形的外心才在三角形外，故四個(gè)說法全錯(cuò).

【正解】0.

[二、 忽視分類致漏解]

例2 A、B、C三點(diǎn)在半徑為2 cm的☉O上，若BC=2cm，則∠A=_______°.

【錯(cuò)解】45.

【剖析】本題沒有圖，很多同學(xué)在根據(jù)題意畫圖求解時(shí)想當(dāng)然地畫出如圖1的情形，由OB=OC=2 cm，BC=2 cm，可得∠BOC=90°，則∠A=∠BOC=45°.這種情況的求解是對的，但只考慮了點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上的情況，點(diǎn)A也可能在劣弧BC上，錯(cuò)解中由于沒有分類討論造成漏解.如圖2，點(diǎn)A在劣弧BC上，優(yōu)弧BC的度數(shù)為270°，則∠A=135°.

【正解】45或135.

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.以C為圓心，r為半徑畫圓，當(dāng)r滿足_________時(shí)，☉C與斜邊AB有一個(gè)公共點(diǎn).

【錯(cuò)解】r=2.4.

【剖析】由☉C與斜邊AB有一個(gè)公共點(diǎn)，很多同學(xué)第一反應(yīng)就是直線與圓相切，如圖3，CH⊥AB，S△ABC=AC·BC=AB·CH，得CH=2.4，當(dāng)r=CH=2.4時(shí)，☉C與AB相切，有一個(gè)公共點(diǎn)H.這種情況符合題意，但由于試題要求的“斜邊AB”指的是線段，則還應(yīng)考慮☉C與直線AB相交但與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況.如圖4，當(dāng)r=3時(shí)，☉C與斜邊AB有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)r>4時(shí)，☉C與斜邊AB沒有公共點(diǎn)；當(dāng)3

【正解】r=2.4或3

[三、 思維不暢惱轉(zhuǎn)化]

例4 在☉O中，、都是劣弧，且=2，那么弦AB、CD的數(shù)量關(guān)系是（ ）.

A. AB>2CD B. AB=2CD

C. AB<2CD D. AB、CD的大小無法確定

【錯(cuò)解】B.

【剖析】不少同學(xué)直接由弧的數(shù)量關(guān)系猜想出弦的數(shù)量關(guān)系導(dǎo)致錯(cuò)解.“等弧”可以得到“等弦”，但“兩倍弧”卻不能得到“兩倍弦”，而是應(yīng)轉(zhuǎn)化到“等弧”來解決.如圖5，取的中點(diǎn)E，連接AE、BE，可得===，所以AE=BE=CD.在△ABE中，AE+BE>AB，所以AB<2CD.

【正解】C.

[四、 道是無圓苦構(gòu)造]

例5 在△ABC中，∠B=45°，AC=2，則△ABC面積的最大值為（ ）.

A. 2 B. +1

C. 2 D.

【錯(cuò)解】C.

【剖析】本題沒有圓，好似“無頭無腦”，相當(dāng)一部分同學(xué)就把題目中的三角形“意會”成一個(gè)等腰直角三角形，兩條直角邊長為2，得到面積為2的錯(cuò)解.而當(dāng)我們構(gòu)造出以AC為弦，以∠B為弦AC所對的圓周角的圓時(shí)，此題就“柳暗花明”了.如何構(gòu)造這個(gè)圓呢？可以取AC的中點(diǎn)H，過H作AC的垂線，在垂線上取一點(diǎn)O，使OH=AH=CH=1，則∠AOC=90°，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，則點(diǎn)B是優(yōu)弧AC上一動(dòng)點(diǎn)（與A、C不重合），此時(shí)∠ABC=∠AOC=45°.當(dāng)B、O、H三點(diǎn)共線時(shí)，△ABC的面積最大，為×2×（+1）=+1.

【正解】B.

（作者單位：江蘇省江陰市要塞中學(xué)）