陳嬌娜，張生瑞，靳引利2

（1.長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，西安 710064；2.長(zhǎng)安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院，西安 710064）

基于極值分布的常態(tài)下高速公路行程時(shí)間可靠性模型

陳嬌娜1，張生瑞1，靳引利2

（1.長(zhǎng)安大學(xué)公路學(xué)院，西安 710064；2.長(zhǎng)安大學(xué)電子與控制工程學(xué)院，西安 710064）

為了利用參考模型表征路段行程時(shí)間分布，運(yùn)用海量高速公路收費(fèi)數(shù)據(jù)，分析了路段行程時(shí)間概率分布特征，通過極值分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布對(duì)路段行程時(shí)間的概率密度函數(shù)進(jìn)行曲線擬合.建立了基于極值分布的路段行程時(shí)間可靠性模型和模型參數(shù)估計(jì)方法，考慮了車型速度差和出行者易于理解的因素，提出了一種高速公路可靠性指標(biāo)閾值的計(jì)算方法.選取最大概率行程時(shí)間、平均延誤時(shí)間和行程時(shí)間可靠性為評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)陜西省高速公路網(wǎng)中某一路段24 h出發(fā)車輛的行程時(shí)間進(jìn)行實(shí)例評(píng)價(jià).結(jié)果表明:極值分布的誤差平方和（SSE）最小，擬合優(yōu)度（R2）最接近于1，利用極值分布表征路段行程時(shí)間分布效果最佳.

交通工程；行程時(shí)間可靠性；概率密度函數(shù)；參數(shù)估計(jì)；極值分布

同一道路的行程時(shí)間可能會(huì)因出行時(shí)間不同而變化.行程時(shí)間可靠性是評(píng)價(jià)高速公路運(yùn)行效率和服務(wù)水平的重要指標(biāo)，決定了出行者對(duì)出發(fā)時(shí)間、路徑和出行方式的選擇.行程時(shí)間可靠性是微觀出行決策的重要考慮因素［1］，也是評(píng)價(jià)出行服務(wù)水平和道路運(yùn)行效率的關(guān)鍵指標(biāo)，對(duì)道路的管理者和使用者具有重要意義.高速公路行程時(shí)間可靠性能有效地衡量路網(wǎng)的不確定性，便于道路管理者準(zhǔn)確評(píng)價(jià)路網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)以改善服務(wù)水平，同時(shí)有利于出行者在不完全掌握道路網(wǎng)交通狀況條件下做出合理的出行決策.

研究人員從不同角度、針對(duì)不同研究對(duì)象、利用不同研究數(shù)據(jù)對(duì)行程時(shí)間可靠性進(jìn)行了大量研究［2］，研究了降雨［3-4］、霧天［5］、冰雪［6］、交通事故［7］等條件下對(duì)行程時(shí)間可靠性的影響，唐?。?］、劉克［9］和王浩［10］分別使用浮動(dòng)車數(shù)據(jù)、車檢器數(shù)據(jù)和收費(fèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行行程時(shí)間預(yù)測(cè).出行者受到其性格、出行目的、對(duì)路網(wǎng)服務(wù)水平要求等因素影響，可接受的行程時(shí)間是不同的.孫小菲等［11］向北京市高速公路使用者調(diào)查其出行屬性和可接受延誤時(shí)間，由統(tǒng)計(jì)分析得知出行目的對(duì)可接受延誤時(shí)間的影響不顯著，僅私家車駕駛員平均可接受延誤時(shí)間與平均行程時(shí)間基本正相關(guān)，對(duì)于大客車有所不同. Lida［12］認(rèn)為以正態(tài)分布表示行程時(shí)間分布是可接受的.Bell和lida［13］認(rèn)為，當(dāng)交通量較大時(shí)，路徑行程時(shí)間服從正態(tài)分布，交通量不大時(shí)，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.Arezoumandi［14］分析伽馬分布、最大極值分布、log-logistic概率分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布及威伯爾分布與18 h行程時(shí)間數(shù)據(jù)的擬合程度，得到可變限速情形下行程時(shí)間的分布服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.熊志華［15］根據(jù)路網(wǎng)波動(dòng)狀況以及路網(wǎng)用戶的感知隨機(jī)性，建立隨機(jī)路網(wǎng)可靠性模型，得到晚高峰時(shí)段路段行程時(shí)間用Beta分布擬合效果較好的結(jié)論.李長(zhǎng)城等［16］考慮了客車與貨車間速度差異明顯，利用高速公路收費(fèi)數(shù)據(jù)對(duì)路段行程時(shí)間概率分布進(jìn)行擬合，結(jié)果表明正態(tài)分布相較于威伯爾分布和伽馬分布具有更好的擬合效果.李小靜等［17］基于日變可靠度并假設(shè)行程時(shí)間及其規(guī)定閾值服從正態(tài)分布，分析了可靠度影響因素.陳琨等［18］使用北京市浮動(dòng)車數(shù)據(jù)，分別用正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布和威伯爾分布對(duì)路段行程時(shí)間的概率密度函數(shù)進(jìn)行了曲線擬合，結(jié)果表明對(duì)數(shù)正態(tài)分布的擬合效果最佳，分別考慮路段相關(guān)和路段獨(dú)立2種情況，建立了基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布的路徑行程時(shí)間可靠性評(píng)價(jià)模型.陳小鴻等［19］針對(duì)正態(tài)分布或?qū)?shù)分布不能有效地描述小間隔行程時(shí)間分布的問題，提出基于浮動(dòng)車數(shù)據(jù)的行程時(shí)間經(jīng)驗(yàn)分布，得到了以15 min為間隔的不同出發(fā)時(shí)段行程時(shí)間的可靠度指標(biāo).尹志鵬等［20］基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，采用標(biāo)準(zhǔn)差、緩沖指數(shù)和擁擠頻率來(lái)評(píng)價(jià)旅行時(shí)間可靠性.從國(guó)內(nèi)外已有研究來(lái)看，行程時(shí)間可靠性計(jì)算方法及評(píng)價(jià)體系研究不斷深入，但對(duì)于行程時(shí)間分布尚未形成統(tǒng)一結(jié)論.

高速公路收費(fèi)數(shù)據(jù)包含了入口站編號(hào)、出口站編號(hào)、入口日期及時(shí)間、出口日期及時(shí)間、車型、車種、車輛牌照等信息［21］，可以較為準(zhǔn)確地計(jì)算路網(wǎng)中車輛的實(shí)際行程時(shí)間.本文利用陜西省高速公路收費(fèi)數(shù)據(jù)，選取誤差平方和（SSE）和擬合優(yōu)度（R2）作為衡量指標(biāo)，在無(wú)突發(fā)事件條件下，分析極大值分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布與行程時(shí)間歷史概率密度的擬合程度.從道路使用者的角度提出一種確定可接受行程時(shí)間閾值的方法，建立高速公路行程時(shí)間可靠性模型，并驗(yàn)證模型的有效性和適用性.

1 高速公路行程時(shí)間分布的統(tǒng)計(jì)擬合

1.1行程時(shí)間可靠性定義

高速公路行程時(shí)間可靠性是指在高速公路上給定的起訖點(diǎn)（origin destination，OD）之間，出行者能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)順利完成出行的概率［22］.由文獻(xiàn)［18］可知，路網(wǎng)中路段單元的行程時(shí)間可靠性模型可以描述為

式中:Ri，L表示在服務(wù)水平L下路段I行程時(shí)間可靠度；ti為一個(gè)隨機(jī)變量，表示路段I的實(shí)際行程時(shí)間；Ti，L表示在服務(wù)水平L下路段I行程時(shí)間的閾值.求解路段行程時(shí)間可靠性的問題，實(shí)際上就是求解路段行程時(shí)間的累積分布函數(shù).

1.2數(shù)據(jù)篩選

1.2.1數(shù)據(jù)來(lái)源

高速公路運(yùn)輸通常是長(zhǎng)距離出行，因此，交叉口以及收費(fèi)站所產(chǎn)生的延誤相對(duì)總的行程時(shí)間而言可忽略不計(jì).同一條記錄下的出站時(shí)間與進(jìn)站時(shí)間之差則為該記錄對(duì)應(yīng)車輛的行程時(shí)間.計(jì)算公式為

式中:t為行程時(shí)間；tout為出口日期及時(shí)間；tin為入口日期及時(shí)間.

1.2.2篩選有效樣本數(shù)據(jù)

剔除由于收費(fèi)系統(tǒng)故障、人工操作失誤、特殊駕駛事件等產(chǎn)生的異常數(shù)據(jù).由于重大節(jié)假日免收小型客車通行費(fèi)，交通需求波動(dòng)明顯.為避免重大節(jié)假日對(duì)分析結(jié)果造成偏差，需要剔除重大節(jié)假日期間（春節(jié)、清明、勞動(dòng)節(jié)、國(guó)慶節(jié)）的數(shù)據(jù).

常態(tài)下，絕大多數(shù)相同時(shí)間段內(nèi)起訖點(diǎn)相同的車輛行駛特征是相似的，具有相似的行程時(shí)間.依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，樣本均值的上下2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)包含一個(gè)樣本中絕大多數(shù)的數(shù)據(jù)，能準(zhǔn)確地反映該時(shí)段內(nèi)出發(fā)的車輛行程時(shí)間的一般特征.選取該范圍內(nèi)數(shù)據(jù)為有效樣本數(shù)據(jù)，篩選流程如圖1所示.

1.2.3車型分類

在高速公路聯(lián)網(wǎng)收費(fèi)系統(tǒng)中根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的不同，利用vehicletype和vehicleclass車型編碼字段，將收費(fèi)車型劃分為9類（客車4類，貨車5類）.為得到較好的擬合模型，消除不同車型的設(shè)計(jì)速度或限速值的影響，采用交通調(diào)查的車型分類標(biāo)準(zhǔn)，將樣本車輛類型分為6類（客車2類，貨車4類）.收費(fèi)車型編碼字段與交調(diào)車型對(duì)應(yīng)情況詳見表1.

表1　收費(fèi)車型編碼字段與交調(diào)車型對(duì)應(yīng)情況Table 1 Classification of vehicle type in traffic survey

1.3擬合結(jié)果衡量指標(biāo)

t1，…，tn表示隨機(jī)樣本Tv（v=1，…，6）的觀測(cè)值，t（1）≤…≤t（i）≤…≤t（n）是次序統(tǒng)計(jì)量，F(xiàn)i（t）為相應(yīng)t（i）的頻率，則樣本經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為

式中k表示｛t1，…，tn｝中等于t（i）的個(gè)數(shù)，i=1，…，n.

分布擬合效果采用誤差平方和（SSE）和擬合優(yōu)度（R2）來(lái)衡量.SSE用于反映擬合估計(jì)值與樣本的接近程度，R2用于說明曲線擬合在解釋數(shù)據(jù)的變異性方面是否成功，樣本的分布特征是否得到保留.

SSE表示擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的誤差的平方和.SSE越接近0，則曲線的擬合效果越好.

擬合優(yōu)度R2取值范圍為［0 1］，值越接近1，曲線擬合的效果越好.計(jì)算如下:

式中:pi表示原始數(shù)據(jù)中行程時(shí)間ti的經(jīng)驗(yàn)概率值；p^i表示擬合分布中行程時(shí)間ti的概率估計(jì)值；表示原始數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)分布概率的均值.

1.4分布統(tǒng)計(jì)擬合

采用陜西省2015年上半年（1月—6月）高速公路收費(fèi)數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，并剔除春節(jié)、清明、勞動(dòng)節(jié)期間的數(shù)據(jù).根據(jù)車型和出發(fā)時(shí)間（以1 h為間隔）將樣本分為6×24組.樣本容量為1×105，對(duì)每組樣本進(jìn)行隨機(jī)抽樣.通過極大值分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布對(duì)各組單位距離行程時(shí)間的概率密度函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，并計(jì)算擬合效果評(píng)價(jià)指標(biāo)SSE和R2.

6×24組樣本的擬合指標(biāo)計(jì)算結(jié)果用箱型圖表示，如圖2和圖3所示.由圖2可知，與其他分布相比，極大值分布的SSE在一個(gè)穩(wěn)定且較小的水平.由圖3可知，極大值分布的R2最接近于1，說明極大值分布能很好地?cái)M合數(shù)據(jù)的變異性.對(duì)6類車型在不同出發(fā)時(shí)段的樣本進(jìn)行分布擬合，結(jié)果表明:極大值分布的SSE最小且R2最大，說明極大值分布在擬合某個(gè)行程時(shí)間的概率時(shí)效果最優(yōu).

利用假設(shè)檢驗(yàn)方法，在顯著性水平為0.05的條件下，對(duì)路段行程時(shí)間是否符合極大值分布進(jìn)行了檢驗(yàn)，結(jié)果表明:利用極大值分布擬合行程時(shí)間分布的概率密度函數(shù)是可接受的，擬合結(jié)果指標(biāo)均優(yōu)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布.

2 高速公路行程時(shí)間可靠性評(píng)價(jià)

2.1行程時(shí)間可靠性模型

由1.4節(jié)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果可知，路段行程時(shí)間服從極大值分布.因此，路段行程時(shí)間的概率密度函數(shù)可以由極大值分布模型

來(lái)描述.式中:α＞0；-∞＜μ＜+∞；ti為路段I的行程時(shí)間.μ和α為待定系數(shù)，μ為分布的位置參數(shù)，α為分布的尺度參數(shù).由概率密度函數(shù)可以得到路段行程時(shí)間的概率分布函數(shù)，即路段行程時(shí)間可靠性模型

式中Ti，L為路段行程時(shí)間閾值.

路段行程時(shí)間可靠性模型求解的關(guān)鍵是標(biāo)定路段行程時(shí)間的μ和α這2個(gè)參數(shù).

2.2極值分布的參數(shù)估計(jì)方法

極值分布常用參數(shù)估計(jì)方法有矩法、耿貝爾法、極大似然法和概率權(quán)值法，均能給出滿意的參數(shù)估計(jì)結(jié)果［23］.在統(tǒng)計(jì)學(xué)理論上，極大似然估計(jì)是一種較優(yōu)的參數(shù)估計(jì)方法［24］，本文采用最大似然估計(jì)法求解這2個(gè)參數(shù).

當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)t1，…，tn給定時(shí)，構(gòu)造似然函數(shù)L并取對(duì)數(shù)，得

分別對(duì)μ和α求導(dǎo)并令其為0，得

采用迭代法求解μ和α.

2.3行程時(shí)間閾值

對(duì)于出行者而言，在沒有天氣、特殊事件等偶發(fā)因素的情況下，關(guān)注最大可能的行程時(shí)間，即期望行程時(shí)間等于某一時(shí)段內(nèi)路段上的行程時(shí)間眾數(shù).即

式中:EI（ti）為期望行程時(shí)間，即概率密度函數(shù)中發(fā)生概率最大的行程時(shí)間；Δti為可接受的延誤時(shí)間；φ為期望行程時(shí)間的系數(shù)，常取5％、10％、15％或20％.根據(jù)不同的研究目標(biāo)選擇系數(shù)φ.

2.4行程時(shí)間可靠性評(píng)價(jià)

采用最大概率行程時(shí)間Tpmax、平均延誤時(shí)間Ta和行程時(shí)間可靠性R三個(gè)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)行程時(shí)間的可靠性.

最大概率行程時(shí)間Tpmax即高速公路用戶行程時(shí)間的眾數(shù)，能夠最直觀地反映常態(tài)下路網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)，可以作為輔助判斷路網(wǎng)運(yùn)行異常的參考數(shù)據(jù)，也是行程時(shí)間預(yù)測(cè)的重要指標(biāo).

平均延誤時(shí)間Ta可以反映交通延誤的影響范圍和影響程度.給定樣本有序序列為t1≤…≤tk-1≤tk≤tk+1≤1…≤tn，tk-1≤Ti，L≤tk，則計(jì)算公式為

式中:Td表示累計(jì)延誤時(shí)間；Ti，L表示期望的行程時(shí)間，計(jì)算見式（10）.

行程時(shí)間可靠性R可以反映路網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)的穩(wěn)定性或波動(dòng)性.根據(jù)行程時(shí)間可靠性模型和時(shí)間閾值的定義可得

3 實(shí)例分析

選取2015年7月陜西省高速公路一個(gè)路段進(jìn)行可靠性分析，該路段全長(zhǎng)18.2 km.通過Tpmax能夠獲得一般情況下該路段上行駛車輛的最大概率運(yùn)行速度v，分別計(jì)算不同車型的Tpmax和v，如表2所示.由表2可知，S-Car的Tpmax明顯小于其他車型，且與L-Car有顯著差異；S-Truck、M-Truck、L-Truck和EL-Truck的Tpmax波動(dòng)范圍較小.說明該路段客車中S-Car的運(yùn)行速度較高，4種類型貨車的運(yùn)行速度相似.

表2　6類車型的最大概率行程時(shí)間Tpmax及相應(yīng)的速度vTable 2 Tpmaxand v of each vehicle type

以φ=10％確定各類車型的期望行程時(shí)間，計(jì)算一天二十四小時(shí)內(nèi)不同時(shí)段的R和平均延誤時(shí)間Ta，如表3所示.各時(shí)段行程時(shí)間可靠性R如圖4所示.

表3　各時(shí)段行程時(shí)間可靠性指標(biāo)R和平均延誤時(shí)間TaTable 3 Indexes of R and Tain each period

續(xù)表

由圖4可知，貨車的R均高于客車，S-Truck尤為顯著.L-Car和L-Truck的R相近，且不受出發(fā)時(shí)段的影響.S-Truck、M-Truck和EL-Truck的R受出發(fā)時(shí)段的影響較為顯著.其中，S-Truck在06:00—08:00時(shí)段內(nèi)，R略有降低；M-Truck和EL-Truck在04:00—06:00時(shí)段內(nèi)，R顯著降低.說明在04:00—06:00時(shí)段內(nèi)是M-Truck和EL-Truck集中出行的高峰，該時(shí)段道路可靠性指標(biāo)比其他時(shí)段差，該時(shí)段內(nèi)道路最有可能出現(xiàn)擁擠狀況.

由表5中Ta可知，L-Car和L-Truck的平均延誤時(shí)間最高，且波動(dòng)較小，說明該路段L-Car和LTruck在每次出行中幾乎都在承受一定程度的延誤.該路段S-Truck、M-Truck和EL-Truck在早晚高峰受到輕微程度的延誤，即08:00—11:00和15:00—17:00.

通過分析6種車型的Tpmax、Ta和R在一天不同時(shí)段的分布，結(jié)果表明:客車的行程時(shí)間可靠性較貨車低，且不受出發(fā)時(shí)段的影響，各個(gè)時(shí)段的Ta超過1 600 s/輛，即該路段的交通延誤已近趨近于常態(tài)，需要管理者采取相應(yīng)的管理措施.

4 結(jié)論

1）通過極大值分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、正態(tài)分布和威伯爾分布對(duì)高速公路網(wǎng)中單位距離行程時(shí)間的概率密度函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，極大值分布的SSE最小，R2最接近于1.說明利用極值分布表征路段行程時(shí)間分布效果最佳.

2）給出了基于最大概率行程時(shí)間的可接受行程時(shí)間閾值，建立了高速公路路段行程時(shí)間的可靠性模型.選取Tpmax、Ta、R作為行程時(shí)間可靠性評(píng)價(jià)的指標(biāo)，對(duì)陜西省高速公路網(wǎng)進(jìn)行實(shí)例分析.結(jié)果表明:基于極大值分布的路段行程時(shí)間可靠性模型能夠準(zhǔn)確地反映道路運(yùn)行的穩(wěn)定性，更容易判別和比較道路真實(shí)交通狀況.

3）對(duì)于突發(fā)事件情況下或具有特殊構(gòu)造物的路段行程時(shí)間可靠性需要進(jìn)一步考慮.

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（責(zé)任編輯 梁 潔）

Expressway Travel Time Reliability Model Without Incident Based on the Extreme Value Distribution

CHEN Jiaona1，ZHANG Shengrui1，JIN Yinli2
（1.School of Highway，Chang'an University，Xi'an 710064，China；2.School of Electrical and Control Engineering，Chang'an University，Xi'an 710064，China）

Massive historical data of the expressway toll was collected and fitted by several distributions，including extreme value，log-normal，normal and Weibull.Travel time reliability model was established based on the extreme value distribution，and a parameter estimation method was provided.To be understood by travelers easily，the threshold was also built considering the difference between cars and trucks.Three indexes were selected as the evaluation index，including the maximum probability travel time，the average delay time and travel time reliability.The proposed model was validated by the case study of Shaanxi.Based on the principles of the less error sum squares（SSE）and the higher determination coefficient（R2），the results show that it is rational and acceptable to describe the travel time with the extreme value distribution.

traffic engineering；travel time reliability；probability density function；parameter estimation；extreme value distribution

U 491.2；TP 391

A

0254-0037（2016）09-1398-08

10.11936/bjutxb2015110020

2015-11-06

陜西省科技攻關(guān)項(xiàng)目（2012k06137）；陜西省交通運(yùn)輸廳科研項(xiàng)目（14-40X）

陳嬌娜（1989—），女，博士研究生，主要從事交通運(yùn)輸規(guī)劃與管理方面的研究，E-mail:chenjiaona2015@163.com

張生瑞（1963—），男，教授，主要從事交通運(yùn)輸規(guī)劃與管理方面的研究，E-mail:zhangsr@chd.edu.cn