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        Ω-型模李超代數(shù)的階化

        2016-09-22 08:27:09徐曉寧
        關(guān)鍵詞:子代數(shù)遼寧大學(xué)李超

        徐曉寧,王 瑾

        (遼寧大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 沈陽 110036)

        ?

        Ω-型模李超代數(shù)的階化

        徐曉寧,王瑾

        (遼寧大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 沈陽 110036)

        證明了模李超代數(shù)Ω是Z-階化的李超代數(shù).利用Ω的Z-階化,確定了模李超代數(shù)Ω的極大子代數(shù),證明了Ω0在Ω-1上的表示是不可約的.

        模李超代數(shù);階化;表示

        1 Ω的定義

        模李超代數(shù)的確定起步較晚,但也已經(jīng)取得了頗多成果.[1-7]文獻(xiàn)[8]利用截頭多項(xiàng)式代數(shù)與Grassmann超代數(shù)做張量積,得到了一篇有限維單模李超代數(shù)Ω,即Ω-型模李超代數(shù),給出了其導(dǎo)子超代數(shù),并證明了其與已知的Cartan型模李超代數(shù)都不同構(gòu).文獻(xiàn)[9-10]分別討論了有限維與無限維Ω-型模李超代數(shù)的濾過不變性.文獻(xiàn)[11]研究了Ω-型模李超代數(shù)的二階上同調(diào).文獻(xiàn)[12]討論了Ω-型模李超代數(shù)的偶部.文獻(xiàn)[13]確定了Ω-型模李超代數(shù)的偶部到奇部的具有負(fù)Z-次數(shù)的導(dǎo)子.文獻(xiàn)[14]確定了Ω-型模李超代數(shù)的結(jié)合型與限制性.文獻(xiàn)[15]研究了無限維Ω-型模李超代數(shù)的超導(dǎo)子代數(shù).

        本文討論Ω-型模李超代數(shù)的階化.利用Z-階化,確定了Ω-型模李超代數(shù)的極大子代數(shù)及Ω0在Ω-1上表示的不可約性.

        記N與N0分別是自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集.設(shè)n∈N,r=2n+2,令μ1,…,μr-1∈F,且滿足μ1=0,μj+μn+j=1,j=2,…,n+1.置M={1,…,r-1},s=r+q,T={r+1,…,s}.令si∈N0,i=1,…,r-1,定義截頭多項(xiàng)式代數(shù)

        A=F[x10,x11,…,x1s1,…,xr-10,xr-11,…,xr-1sr-1,y1,…,ym],

        使得

        Bk={〈i1,i2,…,ik〉|r+1≤i1

        若2≤i≤n+1,則令i′=i+n與[i]=1;若n+2≤i≤r-1,則令i′=i-n與[i]=-1;若i∈T,則令i′=i與[i]=1.

        2 Ω的Z-階化

        命題2.1設(shè)i∈Z,令

        證明對于任意的t,j∈Z,令xkyλξu∈Ωt,則

        令xlyηξv∈Ωj,則

        直接計(jì)算得

        因?yàn)閤k-e1xlyλ+ηξuξv的Z-次數(shù)為

        所以xk-e1xlyλ+ηξuξv∈Ωt+j.類似地,

        注意到

        由于xk-eixl-ei′yλ+ηξuξv的Z-次數(shù)為

        且xkxlyλ+ηDi(ξu)Di(ξv)的Z-次數(shù)也為

        命題2.2設(shè)ρ:Ω0→pl(Ω-1)是Ω0在Ω-1上的表示,則ρ不可約.

        證明設(shè)M是Ω-1的非零子模,且

        設(shè)存在某個(gè)i使得fi(y)≠0,則

        b=[a,xixi′]=[i]fi(y)xi∈M.

        d=[x1,xih(y)]=α1(1-ui-λ1)xiyλ1+α2(1-ui-λ2)xiyλ2+…∈M,

        從而

        (ui′-λ1)xih(y)-d=α2(λ2-λ1)xiyλ2+…∈M,

        其所含元素個(gè)數(shù)比xih(y)中所含元素個(gè)數(shù)少,矛盾.故M只含有一個(gè)元素xiyλ.對任意的η∈H,有

        xiyλ=[i][xiyλ,xixi′yη-λ]∈M.

        對于任意的η∈H,j∈M∪T,有

        xjyη=[i][xiyη,xi′xj]∈M,ξjyη=[i][xiyη,xi′ξj]∈M.

        所以M=Ω-1.結(jié)論得證.

        若f0(y)=0,則b∈Ω-1.設(shè)f0(z)≠0,有:

        [1]PETROGRADSKI V M.Identities in the enveloping algebras of modular Lie superalgebras[J].Algebra,1992,145:1-21.

        [2]LEITES D.Towards classification of simple finite dimensional modular Lie superalgebras in characteristicp[J].Prime Res Math,2007,3:101-110.

        [3]ZHANG Y Z.Finite-dimensional Lie superalgebra of Cartan type over fields of prime characteristic[J].Chin Sci Bull,1997,42:720-724.

        [4]SHU B,ZHANG C.Restricted representations of Witt superalgebras[J].Algebra,2010,324:652-672.

        [5]FU J Y,ZHANG Q C,JIANG C B.The Cartan-type modular Lie superalgebraKO[J].Comm Algebra,2006,34(1):107-128.

        [6]LIU W D,ZHANG Y Z,WANG X L.The derivation algebra of the Cartan-type Lie superalgebraHO[J].J Algebra,2004,273:176-205.

        [7]張永正,劉文德.模李超代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2004,191:1-25.

        [8]ZHANG Y Z,ZHANG Q C.Finite-dimensional modular Lie superalgebra Ω[J].J Algebra,2009,321:3601-3619.

        [9]XU X N,CHEN L Y,ZHANG Y Z.On the modular Lie superalgebra Ω[J].J Pure Appl Algebra,2011,215:1093-1101.

        [10]XU X N,MU B.Infinite-dimensional modular Lie superalgebra Ω[J/OL].Abstr Appl Anal,2013[2015-06-01].http://dx.doi.org/10.1155/2013/923101.

        [11]XU X N,LI X J.Second cohomology of the modular Lie superalgebra Ω[J].Hacet J Math Stat,2014,43(5):787-799.

        [13]徐曉寧,盧亞男.關(guān)于Ω-型模李超代數(shù)[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(3):643-655.

        [14]徐曉寧,張朝鳳,張永正.模李超代數(shù)Ω的結(jié)合型與限制性[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,41(1):1-5.

        [15]李明,徐曉寧.無限維模李超代數(shù)Ω的超導(dǎo)子代數(shù)[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,46(3):7-11.

        (責(zé)任編輯:李亞軍)

        The gradation of modular Lie superalgebra of Ω-type

        XU Xiao-ning,WANG Jin

        (School of Mathematics,Liaoning University,Shenyang 110036,China)

        It is proved that modular Lie superalgebra Ω isZ-graded Lie superalgebra.By using theZ-graded of Ω,a maximal subalgebra of Ω is determined.And it is shown that the representation of Ω0on Ω-1is irreducible.

        modular Lie superalgebras;gradation;representation

        1000-1832(2016)03-0001-04

        2015-06-01

        國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371182,11501274);遼寧大學(xué)申請國家預(yù)資助項(xiàng)目(2014LDGY01);遼寧省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(L2015203).

        徐曉寧(1976—),女,教授,主要從事李理論研究.

        O 152.5[學(xué)科代碼]110·2130

        A

        [DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.001

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