田紅亮　黃　瑤　陳甜敏　鄭金華　余　媛

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院， 湖北 宜昌　443002)

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赫茲線接觸134年

田紅亮黃瑤陳甜敏鄭金華余媛

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院， 湖北 宜昌443002)

平行軸兩接觸圓柱在軸向長(zhǎng)度上受徑向壓縮均勻分布載荷．平行軸兩接觸圓柱的接觸平面是一個(gè)長(zhǎng)方形．接觸壓應(yīng)力呈半圓弧函數(shù)分布．采用數(shù)學(xué)彈性理論詳細(xì)推導(dǎo)了赫茲線接觸的計(jì)算公式．柯西主值表明：文獻(xiàn)[1]中無界函數(shù)反常積分的定義2(3)是錯(cuò)誤的．

平面應(yīng)力；平面應(yīng)變；柯西幾何方程；艾瑞應(yīng)力函數(shù)；符拉芒基本解答

1882年赫茲發(fā)表了論文《關(guān)于彈性固體的接觸》[2]，在那時(shí)赫茲年方24歲．赫茲享年36歲．

1　直角坐標(biāo)中的平衡微分方程

在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，割取一個(gè)微小的平行六面體，它的六面垂直于坐標(biāo)軸，棱邊的長(zhǎng)為PA=dx，PB=dy，PC=dz，見圖1．應(yīng)力分量是位置坐標(biāo)的函數(shù)．作用在這六面體兩對(duì)面上的應(yīng)力分量不完全相同，具有微小增量．正應(yīng)力用σ表示，為表明正應(yīng)力的作用面和作用方向，加一個(gè)下標(biāo)字母，正應(yīng)力σx是作用在垂直于x軸的面上，也沿x軸的方向作用．切應(yīng)力用τ表示，并加兩個(gè)下標(biāo)字母，前一個(gè)字母表明作用面垂直于哪一個(gè)坐標(biāo)軸，后一個(gè)字母表明作用方向沿哪一個(gè)坐標(biāo)軸，切應(yīng)力τxy作用在垂直于x軸的面上而沿y軸方向作用．如果某一截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的正方向，這個(gè)截面稱為一個(gè)正面，這個(gè)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)．相反如果某一截面上的外法線沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向，這個(gè)截面稱為一個(gè)負(fù)面，這個(gè)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)．圖1所示的應(yīng)力全都是正的．雖然上述正負(fù)號(hào)規(guī)定，對(duì)于正應(yīng)力來說，結(jié)果和材料力學(xué)中的規(guī)定相同(拉應(yīng)力為正而壓應(yīng)力為負(fù))，但對(duì)于切應(yīng)力來說，結(jié)果卻和材料力學(xué)中的規(guī)定不完全相同．在微元體的后面PBDC上作用的正應(yīng)力為

(1)

圖1　微小平行六面體的平衡

在微元體的前面QEAF，坐標(biāo)x得到增量dx，因此該面上的正應(yīng)力可展開成泰勒公式[1]

(2)

以連接六面體前后兩面中心的直線ab為矩軸，順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，規(guī)定為正，列出力矩的平衡方程為

(3)

(4)

(5)

同樣可以得出切應(yīng)力互等定理

(6)

其次，以x軸為投影軸，列出投影的平衡方程，得

(7)

(8)

同樣可以得出空間問題的平衡微分方程

(9)

(10)

2　直角坐標(biāo)中的幾何方程與形變連續(xù)性方程

形變是形狀的改變．物體的形狀可用它各部分的長(zhǎng)和角度來表示．物體的形變可歸結(jié)為長(zhǎng)和角度的改變．切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)．切應(yīng)變用字母γ表示，γyz表示y與z兩方向的線段(即PB與PC)之間的直角改變量(用弧度表示)．現(xiàn)以xy平面上的投影(見圖2)為例．圖中PACB為變形前的投影，而P′A′C′B′為變形后的投影．

圖2　位移分量與形變分量的關(guān)系

P點(diǎn)在x及y軸上的位移分量為u、v．由式(2)可得A點(diǎn)在x及y軸上的位移分量為

(11)

(12)

由式(2)可得B點(diǎn)在x及y軸上的位移分量為

(13)

(14)

根據(jù)應(yīng)變分量的定義，可得Cauchy幾何方程

(15)

(16)

(17)

同理可得

(18)

(19)

(20)

每單位體積的體積改變就是體積應(yīng)變，即

(21)

3　直角坐標(biāo)中的物理方程

先考慮在各正應(yīng)力作用下沿x軸的相對(duì)伸長(zhǎng)

(22)

(23)

(24)

(25)

將這3個(gè)應(yīng)變相加，即得在x軸方向的應(yīng)變

(26)

同理可得到y(tǒng)軸與z軸方向的應(yīng)變?yōu)?/p>

(27)

(28)

根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，τxy只引起xy坐標(biāo)平面內(nèi)的切應(yīng)變?chǔ)脁y，而不引起γyz、γzx，這樣就可得廣義胡克定律[3]

(29)

將式(26)～(28)三式相加，得

(30)

命σx+σy+σz=Θ，將式(30)代入式(21)得

(31)

由式(26)得

(32)

(33)

將式(31)代入式(33)得

(34)

同理可得

(35)

(36)

引入切變模量[3]G與拉梅常數(shù)λ

(37)

將式(37)分別代入式(34)～(36)得

(38)

(39)

4　平面應(yīng)力問題

可以設(shè)在薄板的所有各點(diǎn)均有

(40)

將式(40)代入式(26)～(28)

(41)

(42)

(43)

(44)

5　平面應(yīng)變問題

按照式(28)，得

(45)

位移是位置的移動(dòng)．將式(45)代入式(26)和(27)

(46)

(47)

(48)

將平面應(yīng)力問題物理關(guān)系中的彈性常數(shù)對(duì)換

(49)

式(41)為式(46)，式(42)為式(47)，式(43)為式(48)．

6　彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題的基本方程

使用式(8)和(9)可得平衡方程

(50)

(51)

應(yīng)用式(15)和(16)得

(52)

將式(17)代入式(52)得相容方程

(53)

將式(41)～(43)代入式(53)得

(54)

(55)

由式(50)和(51)分別得

(56)

(57)

式(56)加(57)得

(58)

將式(58)代入式(55)得

(59)

式(58)加(59)得

(60)

式中，▽稱為二維的向量微分算子或Nabla算子[5]；▽2代表拉普拉斯算子，且

(61)

在工程中，X及Y皆為常數(shù)，式(60)簡(jiǎn)化為

(62)

7　彈性力學(xué)平面問題的應(yīng)力函數(shù)方法

方程組(50)和(51)的特解可以取為σx=-Xx，σy=-Yy，τxy=0．也可取為σx=0，σy=0，τxy=-Xy-Yx或σx=-Xx-Yy，σy=-Xx-Yy，τxy=0．

方程組(50)和(51)對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組為

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

因而存在某一個(gè)艾瑞應(yīng)力函數(shù)φ(x，y)，使得

(72)

(73)

將式(72)代入式(66)，式(73)代入式(69)，式(72)代入式(67)(或式(73)代入式(70))

(74)

方程組(50)和(51)的通解為

(75)

將式(75)代入式(62)得

(76)

(77)

8　極坐標(biāo)中的平衡微分方程

在極坐標(biāo)中，平面內(nèi)任一點(diǎn)P的位置，用徑向坐標(biāo)r及環(huán)向坐標(biāo)θ表示，如圖3所示．

圖3　在極坐標(biāo)中微元體的平衡

取厚度為1．PB面的面積為rdθ，AC面的面積為(r+dr)dθ，PA及BC兩面的面積均為dr，體積為rdθdr．將所受各力投影到微元體中心的徑向軸上

(78)

(79)

(80)

將各力投影到微元體中心的切向軸上，得

(81)

(82)

(83)

9　極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程

假定只有徑向位移，見圖4(a)．PA移到P′A′，PB移到P′B′，P、A、B三點(diǎn)的位移分別為

(84)

圖4　極坐標(biāo)中形變分量的分析

徑向線段PA的正應(yīng)變?yōu)?/p>

(85)

環(huán)向線段PB的正應(yīng)變?yōu)?/p>

(86)

徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為

(87)

環(huán)向線段PB的轉(zhuǎn)角為

(88)

式(87)加(88)可得切應(yīng)變?yōu)?/p>

(89)

假定只有環(huán)向位移，見圖4(b)．PA移到P″A″，PB移到P″B″，P、A、B三點(diǎn)的位移分別為

(90)

徑向線段PA的正應(yīng)變?yōu)?/p>

(91)

環(huán)向線段PB的正應(yīng)變?yōu)?/p>

(92)

徑向線段PA的轉(zhuǎn)角為

(93)

(94)

式(93)加(94)可得切應(yīng)變?yōu)?/p>

(95)

式(85)加(91)得

(96)

式(86)加(92)得

(97)

式(89)加(95)得

(98)

極坐標(biāo)物理方程與直角坐標(biāo)物理方程具有同樣的形式，只是腳標(biāo)x換為r，腳標(biāo)y換為θ．在平面應(yīng)力的情況下，由式(41)～(43)可得物理方程為

(99)

(100)

(101)

10　極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與變形連續(xù)方程

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

(107)

艾瑞應(yīng)力函數(shù)φ(x，y)=φ(rcosθ，rsinθ)=Φ(r，θ)，φ是x和y的函數(shù)，同時(shí)也是r和θ的函數(shù)，可得

(108)

(109)

(110)

(111)

(112)

由圖3，把x和y軸分別轉(zhuǎn)到r和θ，使θ為零，σx、σy、τxy分別為σr、σθ、τrθ．由式(74)和(111)得

(113)

由式(74)和(110)得

(114)

由式(74)和(112)得

(115)

將式(113)～(115)代入式(80)的左邊得

(116)

將式(114)、(115)代入式(83)的左邊得

(117)

將式(110)與(111)相加，得到

(118)

(119)

將式(118)代入式(77)得

(120)

11　應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式

取三角板A，見圖5，ab及ac邊分別沿y及x方向，bc邊沿θ方向．命bc邊的長(zhǎng)為ds，ab邊的長(zhǎng)為dscosθ，ac邊的長(zhǎng)為dssinθ．三角板的厚度為1．

圖5　微小三角板在兩種坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量

根據(jù)三角板A沿徑向坐標(biāo)r方向的平衡條件

(121)

(122)

根據(jù)三角板A沿環(huán)向坐標(biāo)θ方向的平衡條件，得

(123)

(124)

另取微小三角板B，見圖5，沿環(huán)向坐標(biāo)θ方向

(125)

(126)

式(122)加(126)得

(127)

(128)

將式(128)代入式(122)得

(129)

將式(128)代入式(124)得

(130)

按克萊姆法則聯(lián)立求解方程式(129)與(130)得

(131)

(132)

將式(131)代入式(128)得

(133)

12　半平面體在邊界上受集中力

在點(diǎn)o上受集中力，沿z軸的厚度方向受分布力，與邊界法線成角度β，見圖6，命單位厚度上受的力為P，P的因次是N/m．

圖6　在直邊界上受集中力作用的半平面體

應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能取(P/r)N的形式，N是由無因次數(shù)量β和θ組成的無因次數(shù)量．在應(yīng)力分量的表達(dá)式中，r只可能以負(fù)一次冪出現(xiàn)．由式(113)～(115)，φ中的r的冪次應(yīng)當(dāng)比應(yīng)力分量中的r的冪次高出兩次．可以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)

(134)

根據(jù)式(120)得

(135)

(136)

方程(136)的特征方程為

(137)

有一對(duì)2重復(fù)根r1，2=±i，方程(136)的通解為

(138)

(139)

取φ=a+bx+cy，式(76)滿足．由式(74)得σx=0，σy=0，τxy=0．可見：①線性應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于無體積力、無表面力、無應(yīng)力．②把平面問題的應(yīng)力函數(shù)加線性函數(shù)，不影響應(yīng)力．式(139)中前兩項(xiàng)Arcosθ+Brsinθ=Ax+By不影響應(yīng)力，可刪去．取

(140)

將式(140)代入式(113)得簡(jiǎn)單徑向分布

(141)

將式(140)代入式(114)得

(142)

將式(140)代入式(115)得

(143)

在o點(diǎn)附近的一小部分邊界上，有一組表面力作用，它的分布沒給出，但它在單位寬度上合成為P．在任何一個(gè)半圓形截面abc上的應(yīng)力的整體，和載荷P合成平衡力系．沿x、y方向

(144)

(145)

將式(141)分別代入式(144)與(145)得

(146)

(147)

(148)

當(dāng)力P垂直于直線邊界，見圖7，其解答最有用．

圖7　垂直于直線邊界集中力作用的半平面體

為得出此時(shí)的應(yīng)力分量，在式(148)中取β=0得

(149)

將式(149)、(142)與(143)代入式(131)得

(150)

將式(149)、(142)與(143)代入式(133)得

(151)

將式(149)、(142)與(143)代入式(132)得

(152)

將式(102)與(103)都分別代入式(150)～(152)

(153)

(154)

(155)

將式(149)、(142)與(143)代入式(99)～(101)得

(156)

(157)

(158)

將式(156)代入式(96)、式(157)代入式(97)、式(158)代入式(98)得

(159)

(160)

(161)

(162)

將式(162)代入式(160)得

(163)

(164)

將式(162)、(164)代入式(161)得

(165)

(166)

方程左邊是r的函數(shù)，右邊是θ的函數(shù)，因此

(167)

(168)

方程(167)的通解是

(169)

(170)

(171)

設(shè)方程(171)具有形如以下特解

(172)

(173)

(174)

(175)

故方程(170)具有形如以下特解

(176)

方程(170)的通解是

(177)

將式(177)代入式(162)得符拉芒基本解答

(178)

將式(177)代入式(168)得

(179)

與式(177)一致．將式(179)與(169)代入式(164)

(180)

假設(shè)半無限大板(圖7)的約束條件是：在x軸上的各點(diǎn)沒有側(cè)向位移．于是

(181)

將式(180)代入式(181)，得H=K=0．于是式(178)與(180)成為

(182)

(183)

由式(182)，在x軸上各點(diǎn)的徑向位移為

(184)

x軸上距原點(diǎn)為d的一點(diǎn)不作鉛直移動(dòng)．由式(184)

(185)

(186)

將求點(diǎn)M(見圖8)向下的鉛直位移，即沉陷．

圖8　任意點(diǎn)M的沉陷

在距原點(diǎn)為r處的M點(diǎn)向下的沉陷為

(187)

將式(49)代入式(187)得

(188)

13　兩軸線平行的圓柱赫茲線接觸

兩個(gè)互相接觸的軸線平行的圓柱，彼此受壓力作用，見圖9，由于圓柱彈性變形而造成的接觸面寬2b比圓柱的半徑R1、R2及長(zhǎng)B小得多．

圖9　相接觸的軸線平行的圓柱

設(shè)M和N是圓柱面上的點(diǎn)，它們距通過兩圓柱軸線的平面的距離均為r，z1、z2表示M、N點(diǎn)到變形前的兩圓柱公切面的垂直距離．由于

(189)

(190)

(191)

(192)

(193)

(194)

兩圓柱移近了δ，令M、N二點(diǎn)因接觸后的局部變形而產(chǎn)生的分別沿z1及z2方向的位移為w1及w2

(195)

(196)

接觸面是矩形，矩形所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈={(x，y)|-b≤x≤b，0≤y≤B}．接觸面的寬2b所在的區(qū)間為-b≤x≤b，見圖10，沿接觸面寬的方向分布?jí)簯?yīng)力q(x)．接觸面的長(zhǎng)B所在的區(qū)間為0≤y≤B，壓應(yīng)力不沿長(zhǎng)度方向發(fā)生變化，即q(x，y)=q(x)．

圖10　分布?jí)簯?yīng)力q(x)作用的半無限平面

作用于矩形接觸面D上的總載荷為

(197)

(198)

證明如下．式(198)等于

(199)

(200)

(201)

按式(198)，式(197)等于

(202)

沿矩形長(zhǎng)方向，接觸面每單位軸向長(zhǎng)度上的力為

(203)

沿矩形寬方向，為求出直線邊界上某一點(diǎn)M處的沉陷，命M點(diǎn)的坐標(biāo)為r．距坐標(biāo)原點(diǎn)o為x處取微小長(zhǎng)度dx，將其上所受的分布力dP=q(x)dx看作一個(gè)微小集中力．對(duì)圓柱1，令d=R1，由式(188)

(204)

由圖8可知，式(204)中的r為M點(diǎn)與集中力P的距離．在圖10中，M點(diǎn)與微小集中力dP的距離為|r-x|，用|r-x|代替式(204)中的r，得

(205)

微小集中力dP=q(x)dx在M點(diǎn)引起的沉陷為

(206)

(207)

將式(203)代入式(207)得

(208)

(209)

將式(208)與(209)代入式(196)得

(210)

將式(210)對(duì)r求導(dǎo)，得

(211)

(212)

文獻(xiàn)[1]中的定義2(3)是錯(cuò)誤的．由柯西主值

(213)

(214)

將式(214)代入式(213)得

(215)

式(215)不同于文獻(xiàn)[4]中的

將式(215)代入式(211)得

(216)

q(x)與以直徑2b的半圓弧的縱坐標(biāo)成正比例

(217)

將式(217)代入式(203)得

(218)

(219)

由式(213)得

(220)

(221)

可得以下不定積分[1]

(222)

將式(221)代入半角公式

(223)

(224)

(225)

(226)

不定積分式(222)也可寫為

(227)

將式(226)代入式(227)得

(228)

表明式(225)與(228)只差一個(gè)常數(shù)．

(229)

(230)

(231)

將式(225)、(229)與(230)代入式(231)得

(232)

根據(jù)柯西主值，由式(232)得

(233)

式(232)與(233)皆不同于文獻(xiàn)[4]中的

將式(217)代入式(216)得

(234)

將式(233)代入式(234)得

(235)

將式(219)代入式(235)可得接觸半寬為

(236)

將式(236)代入式(219)得

(237)

將式(203)分別代入式(236)與(237)得

(238)

(239)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)上冊(cè)[M]．7版．北京：高等教育出版社，2015：137-138，259-262，381．

[2]Hertz Heinrich． über Die Berührung Fester Elastischer K?rper (On the Contact of Elastic Solids)[J]． J Reine und Angewandte Mathematik，1882，92：156-171．

[3]劉鴻文，林建興，曹曼玲，等．材料力學(xué)Ⅰ[M]．5版．北京：高等教育出版社，2015：32-33，76-77，235．

[4]白明華，劉洪彬，尹雷方．工程彈性力學(xué)基礎(chǔ)[M]．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1996：15，29，31，44，56，92．

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)下冊(cè)[M]．7版．北京：高等教育出版社，2015：16，106，182，235．

[責(zé)任編輯張莉]

134 Years of Hertz Line Contact

Tian HongliangHuang YaoChen TianminZheng JinhuaYu Yuan

(College of Mechanical & Power Engineering, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China)

The radial compressive homogeneity distribution load is applied to two contact cylinders with parallel axes in the axial length. The contact plane of two contact cylinders with parallel axes is a rectangle. The contact pressure distributes in a half circular arc function. Some calculating formulas of Hertz line contact are deduced in detail using the mathematical theory of elasticity. The Cauchy principal value shows that the abnormal integral definition 2(3) of boundless function in the reference [1] is wrong.

plane stress;plane strain;Cauchy geometrical equations;Airy stress function;Flamant basic solution

2015-11-27

國(guó)家自然科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目(51275273)

田紅亮(1973-)，男，副教授，博士，三峽學(xué)者，研究方向?yàn)楹掌潱瓻-mail：thl19732003@aliyun.com

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2016.04.021

TH113.1

A

1672-948X(2016)04-0101-12