☉山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)初中董龍祥

考查全面分析透徹對(duì)癥解析

☉山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)初中董龍祥

近年來，以幾何圖形的運(yùn)動(dòng)為載體，求幾何圖形在運(yùn)動(dòng)過程中，圖形上某一動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)度的題目在中考試卷常有出現(xiàn).由于點(diǎn)隨整個(gè)幾何圖形的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，其背景模糊，軌跡不明，它對(duì)分析問題的能力要求較高，它能全面考查數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，考查通過數(shù)學(xué)思考解決問題的綜合應(yīng)用能力，因而倍受各地中考命題者的青睞.解決這類問題時(shí)，首先要弄清在運(yùn)動(dòng)過程中，要求動(dòng)點(diǎn)所形成的路徑的形狀是什么圖形，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)的初始與終結(jié)位置確定相應(yīng)動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，再根據(jù)相關(guān)計(jì)算公式計(jì)算出路徑的長(zhǎng).其中分析動(dòng)點(diǎn)所形成的路徑的形狀是解決問題的關(guān)鍵，也是解決問題的難點(diǎn)，由于初中階段受知識(shí)局限性的影響，常見的有線段和圓弧，本文擬通過幾道中考試題加以解析，從中體會(huì)這類試題的特點(diǎn).

一、線段型

1.動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上

例1如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AC向點(diǎn)C以1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為______.

圖1

圖2

解析：如圖2，以C為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)辄c(diǎn)Q（0，2t），P（6-t，0），所以線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以

消去t得y=-2x+6，即動(dòng)點(diǎn)M必在直線y=-2x+6上.

當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（1，4），所以動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑為線段M1M2.

過點(diǎn)M2作M2N⊥x軸于點(diǎn)N，則M2N=4，M1N=2，所以

2.動(dòng)點(diǎn)在線段的垂直平分線上

（1）把拋物線C1沿著直線AC方向平移到某處時(shí)得到拋物線C2，此時(shí)點(diǎn)A、C分別平移到點(diǎn)D、E處.設(shè)點(diǎn)F在拋物線C1上且在x軸的下方，若△DEF是以EF為底的等腰直角三角形，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

圖3

圖4

（2）如圖4，在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，EN⊥EM交直線BF于點(diǎn)N，點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)求點(diǎn)P經(jīng)過的路線長(zhǎng).

解析：（1）F（-3，-6）.（過程略）

（2）易證四邊形BCDF為矩形，所以∠MBN=90°.如圖5，連接PE、PB，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得，所以PE=PB，所以點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上.

圖5

圖6

如圖6，當(dāng)M與B重合時(shí)，點(diǎn)P在BN的中點(diǎn)P1處；

當(dāng)M與C重合時(shí)，點(diǎn)P在BE的中點(diǎn)P2處；

所以P1P2為△BEN的中位線.

3.動(dòng)點(diǎn)在已知直線的平行線上

例3如圖7，M、N是線段上的兩點(diǎn)，AB=8，AM=BN= 1，P為線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC和正方形BPEF，G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過程中，線段GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為_____.

圖7

圖8

解析：如圖8，分別過點(diǎn)G、H、O作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)R、T、S，則四邊形GRTH為梯形，因?yàn)镺為GH的中點(diǎn)，由平行線等分線段定理得RS=ST.

所以點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上.

當(dāng)P與M重合時(shí)，點(diǎn)O在點(diǎn)X處；當(dāng)P與N重合時(shí)，點(diǎn)O在點(diǎn)Y處.

所以點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑為線段XY，而點(diǎn)X到AC的距離為2.5，點(diǎn)Y到AC的距離為5.5.

所以XY=3，即線段GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為3.

4.動(dòng)點(diǎn)在同角的同一邊上

圖9

圖10

解析：如圖10，當(dāng)點(diǎn)P在起點(diǎn)O時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B記為B0；當(dāng)點(diǎn)P在終點(diǎn)N時(shí)，此時(shí)點(diǎn)B記為Bn.

因?yàn)樵赗t△APB中，∠APB=30°，∠PAB=90°，所以

因?yàn)椤螼AB0=∠PAB=90°，所以∠OAP=∠B0AB.

同理可得∠AB0Bn=∠AON，所以∠AB0B=∠AB0Bn，所以點(diǎn)B在B0BN上，即點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑為線段B0Bn.

由此，幾何中動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生直線的形式多樣，求解時(shí)離不開幾何的一些“基本定理”和“基本圖形”，常見“線段的垂直平分線性質(zhì)的逆定理、角平分線性質(zhì)定理的逆定理，以及等距平行線和等角共線”，回歸一次函數(shù)的圖像，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)必滿足某個(gè)一次函數(shù)解析式，特別是易用含字母的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)可考慮此法.

二、圓弧型

1.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)

A.直線B.拋物線

C.圓D.反比例函數(shù)的曲線

圖11

圖12

解析：如圖12，延長(zhǎng)BF交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接OF.

因?yàn)锳E平分∠BAC，AE⊥BF，所以∠ABF=∠AMF.

所以AB=AM，BF=MF.

2.動(dòng)點(diǎn)為定線段所對(duì)的直角頂點(diǎn)

例6如圖13，四邊形ABCD、BEFG均為正方形，AB=2，G為AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形BEFG繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖14），記直線AG與CE的交點(diǎn)為H，則當(dāng)正方形BEFG繞頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°時(shí)點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是______.

圖13

圖14

解析：在△ABG和△CBE中，AB=CB，∠ABG=∠CBE，GB=EB，所以△ABG≌△CBE.所以∠BAG=∠BCE.因?yàn)椤螧AG+∠AMB=90°，∠AMB=∠CMH，所以∠BCE+∠CMH= 90°，所以∠CHM=90°，即∠CHA=90°，所以點(diǎn)H在AC為直徑的⊙O上（如圖15）.

圖15

當(dāng)正方形BEFG繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，∠ABG= 60°，BG=1，AB=2，易證∠BAG=30°.

因?yàn)椤螦BC=90°，所以點(diǎn)B在以AC為直徑的⊙O上.

根據(jù)圓周角定理得∠BOH=60°，所以點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑為以O(shè)為圓心，為半徑，圓心角為60°的一段弧.

3.動(dòng)點(diǎn)為定線段所對(duì)的定角頂點(diǎn)

例7如圖16，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB的A（B上有一運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)P，從點(diǎn)P向半徑OA引垂線PH交OA于點(diǎn)H.設(shè)△OPH的內(nèi)心為I，當(dāng)點(diǎn)P在A（B上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為______.

圖16

圖17

解析：如圖17，連接OI，PI，AI，由△OPH的內(nèi)心為I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH）=135°.

因?yàn)镺P=OA，∠IOP=∠IOA，OI=OI，所以△OPI≌△OAI，所以∠AIO=∠PIO=135°，所以點(diǎn)I在以O(shè)A為弦，并且所對(duì)的圓周角為135°的一段劣弧上.

過A、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖17，連接O′A，O′O，在優(yōu)弧AO取點(diǎn)P，連接PA，PO，可得∠APO=180°-135°=45°，得

由此，動(dòng)點(diǎn)為定線段所對(duì)的直角頂點(diǎn)產(chǎn)生圓，其本質(zhì)是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半而得到動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)，回歸圓的定義，亦可理解為“直徑所對(duì)圓周角為直徑”的逆命題；動(dòng)點(diǎn)為定線段所對(duì)的定角頂點(diǎn)產(chǎn)生圓，更具有一般性，只需在一個(gè)動(dòng)三角形中滿足“定邊對(duì)定角”，角不一定是特殊的直角，亦有“圓”.

綜上所述，幾何動(dòng)點(diǎn)路徑問題需要挖掘隱含條件和潛在信息，理性分析運(yùn)動(dòng)過程中所保持的不變性質(zhì)，在此過程可通過畫圖（起點(diǎn)、終點(diǎn)、中間關(guān)鍵點(diǎn)）判斷路徑形狀和范圍，然后通過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析驗(yàn)證及幾何建構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.H