☉江蘇省鹽城市尚莊初級(jí)中學(xué)劉志才唐明干☉江蘇省鹽城市葛武初級(jí)中學(xué)王云峰

如何用尺規(guī)將一個(gè)角三等分

☉江蘇省鹽城市尚莊初級(jí)中學(xué)劉志才唐明干
☉江蘇省鹽城市葛武初級(jí)中學(xué)王云峰

一、三分角的雛形

如圖1，已知一定角∠MON，AL∥OM，如何將角∠MON三等分呢？設(shè)兩平行線OM、AL間的距離為m，則在AL上必存在一點(diǎn)B，在ON上必存在一點(diǎn)C，且B、C兩點(diǎn)均是唯一的，使得OB＝OC、BC＝2m，作BE⊥OM于點(diǎn)E，作OD⊥BC于點(diǎn)D，可得BE＝BD＝CD＝m，易得Rt△OCD≌Rt△OBD≌Rt△OBE，從而得到∠1＝∠2＝∠3＝∠MON.

圖1

二、初步探索與研究

為了能得到上面所說(shuō)的△OBC，我們從圖2入手，加以研究.

如圖2，以點(diǎn)O為圓心，大于OA之長(zhǎng)為半徑依次畫(huà)弧，分別得到等腰三角形OFG、等腰三角形OHI、等腰三角形OJK、…，在這若干個(gè)等腰三角形中，要找到底邊長(zhǎng)為2m的等腰三角形OBC，幾乎不可能的.

圖2

三、圖形重組找規(guī)律

如何將等腰三角形OBC找出來(lái)呢？我們進(jìn)行了以下的嘗試：將所有等腰三角形重新組合.方法是：以定點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)△OFG、△OHI、△OJK、…，使它們都以O(shè)N為對(duì)稱軸，分別得到等腰三角形OF′G′、等腰三角形OH′I′、等腰三角形OJ′K（′、…（，如圖3（要求：所作兩平行線間的距離越大越好，、、（對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)FG、HI、JK均接近并大于2m，后面的證明、作圖都是在滿足這一要求的范圍內(nèi)進(jìn)行研究和操作的，這樣做的目的將在后面作出說(shuō)明）.

圖3

在這個(gè)重新組合的圖形中，位于對(duì)稱軸ON左邊的所有等腰三角形底邊上的端點(diǎn)F′、H′、J′、…是否在一條直線上呢？如果是，那么根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得，位于對(duì)稱軸ON右邊的所有等腰三角形底邊上的端點(diǎn)G′、I′、K′、…也在一條直線上.這樣，順利得到△OBC旋轉(zhuǎn)后所得到的圖形△OB′C′底邊上的端點(diǎn)B′、C′亦分別在這兩條直線上.這就是我們所期望得到的一個(gè)有規(guī)律可循的圖形.

如圖4，在這個(gè)有規(guī)律可循的圖形中，我們就能夠輕而易舉地找出我們想要的△OBC旋轉(zhuǎn)后的圖形△OB′C′，然后，依據(jù)所作圖形的唯一性和變換的可逆性，將△OB′C′回歸到它原來(lái)的位置上，便得到圖1中的△OBC，從而解決問(wèn)題.

圖4

四、相關(guān)證明得結(jié)論

如何證明F′、H′、J′、…在同一條直線上，G′、I′、K′、…在另一條直線上呢？下面，我們從圖5入手加以研究.

1.相關(guān)理論證明

如圖5，因?yàn)榈妊切蜲H′I′、等腰三角形OJ′K′是分別由等腰三角形OHI、等腰三角形OJK旋轉(zhuǎn)后得到的，所以；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知，所以.所以H′、J′分別是H（I、JK（的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H′、J′作直線H′J′，在直線H′J′上取一點(diǎn)S′，以O(shè)為圓心，OS′長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AL于點(diǎn)S，交ON于點(diǎn)P，則S′必為P（S的中點(diǎn)（要求：所取S′點(diǎn)越接近于J′點(diǎn)越好）.

圖5

圖6

②設(shè)S′為?的中點(diǎn)（X′在?上點(diǎn)S的左側(cè)）.如圖7，連接OX′交AL于點(diǎn)Y′，這時(shí)OQ為△Y′OA的內(nèi)角平分線，AQ為△Y′OA的外角平分線，兩角平分線相交于點(diǎn)Q，而Y′Q″為△Y′OA的第三個(gè)外角∠AY′Z的角平分線，交AQ于點(diǎn)Q″，顯然亦與三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線和它的一個(gè)外角平分線的交點(diǎn)必在第三個(gè)外角的平分線上相矛盾，所以S′不是′的中點(diǎn)，所以S′必為的中點(diǎn)，如圖5，由此可推得H′、J′、S′、…在同一條直線上，即旋轉(zhuǎn)后，位于對(duì)稱軸ON左側(cè)的等腰三角形的端點(diǎn)H′、J′、S′、…在同一條直線上.由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知，位于對(duì)稱軸ON右側(cè)的等腰三角形的端點(diǎn)I′、K′、P′、…在同一條直線上.

圖7

2.相關(guān)實(shí)驗(yàn)證明

為了驗(yàn)證H′、J′、S′、…是否集中在同一條直線上，我們用大紙、細(xì)筆，做了如下的實(shí)驗(yàn).即盡量拉大兩平行線間的距離，并畫(huà)出若干段弦長(zhǎng)均接近于并大于2m的弧，再找出所有弧的中點(diǎn)，最后進(jìn)行描點(diǎn)、連線，結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)所有弧的中點(diǎn)的確都集中在同一條直線上，如圖8.

圖8

五、按圖索驥

既然旋轉(zhuǎn)后的等腰三角形底邊上的端點(diǎn)都分別集中在兩條直線上，那么，△OB′C′的兩個(gè)頂點(diǎn)B′、C′亦在這兩條直線上，我們就可以在這個(gè)有規(guī)律可循的圖形中，找出△OB′C′，具體找法見(jiàn)圖4（作法略）.

六、圖形回歸解決問(wèn)題

我們所求得的圖形△OB′C′是由△OBC旋軸后所得到的圖形，且旋轉(zhuǎn)后的圖形是唯一的，B、C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上唯有B′、C′與之對(duì)應(yīng)，由變換過(guò)程的可逆性，我們?cè)賹ⅰ鱋B′C′回歸到它原來(lái)的位置上，便得到圖1中的等腰三角形OBC，從而解決問(wèn)題（作法略，見(jiàn)圖4）.

七、唯物辯證法則在三分角中的應(yīng)用

我們?cè)趫D9中，不難看出，所有弧的中點(diǎn)的集合，是一支曲線.這是我們對(duì)于圖9作了微觀上的處理結(jié)果.即將圖形擴(kuò)大若干倍，給我們的直覺(jué)就是將兩平行線之間的距離擴(kuò)大了若干倍.既然是曲線，但為什么說(shuō)所有弧的中點(diǎn)在一條直線上呢？這是因?yàn)?，我們又?duì)于圖9作了宏觀上的處理，將圖9縮小若干倍的結(jié)果，給我們的直覺(jué)就是將兩平行線之間的距離縮小若干倍.如圖10，為圖9縮小若干倍的圖形.從圖10中不難看出，所有弧的中點(diǎn)的確在一條直線上.這條直線，幾乎為∠LAN的平分線.但是，問(wèn)題來(lái)了，我們無(wú)法在這個(gè)宏觀的圖形（圖10）中進(jìn)行三分角作圖.因此，我們的方法是：作圖時(shí)將圖形進(jìn)行微觀上的處理，即將圖形擴(kuò)大若干倍（也就是盡量擴(kuò)大兩平行線之間的距離），目的是將局部曲線直線化，同時(shí)也方便我們的操作，有一目了然的作圖痕跡.在取弧的中點(diǎn)連線時(shí)，我們又進(jìn)行了宏觀上的處理，這就要求我們對(duì)所有所取弧的對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)盡量接近并大于2m.這樣做的目的，就是對(duì)局部的曲線作宏觀上的處理，使局部曲線直線化.我們的理論證明和實(shí)驗(yàn)證明正是應(yīng)用了上面的方法來(lái)進(jìn)行處理和研究的.那么，在同一圖形中，既進(jìn)行宏觀處理，又進(jìn)行微觀處理，是不是互相矛盾呢？其實(shí)不然，這正是在同一事物中矛盾的對(duì)立與統(tǒng)一法則的應(yīng)用.因此，在一定的條件下，矛盾的雙方，可以互相轉(zhuǎn)化.我們以上的證明和下面的作圖實(shí)例，正是運(yùn)用了這一法則.我們從圖9和圖10的對(duì)比中，可以明顯地看出，圖10中的直線，正是由于我們將圖9中的曲線宏觀后直線化的結(jié)果.

圖9

圖10

上面我們還提到將曲線宏觀后呈直線的實(shí)例，如圖9、10，我們從圖9和圖10的對(duì)比中還發(fā)現(xiàn)較長(zhǎng)部分的曲線宏觀后成為較短的線段，所以宏觀給我們的另一個(gè)直覺(jué)就是點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離接近了、縮短了，就像將彈簧壓縮變短了一樣.我們?yōu)槭裁匆笏』〉南议L(zhǎng)均接近于并大于2m，也就是為了壓縮點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，以達(dá)到宏觀上處理的要求，從而將局部曲線直線化.其實(shí)，當(dāng)我們截取曲線中的極小部分時(shí)，這個(gè)極小部分的本身就是一條直線，這是一個(gè)不容置疑的事實(shí).因?yàn)檫@個(gè)極小部分就是我們上面提到的留在紙面上的一條直線.微觀曲變直，具有將局部范圍內(nèi)的曲線拉伸后變長(zhǎng)、變直之涵義；宏觀曲變直，具有將局部范圍內(nèi)的曲線壓縮后變短、變直之涵義.這個(gè)世界上沒(méi)有真正意義上的直線，只不過(guò)是從局部看來(lái)變得曲度更小，更加扁平、平滑而已.這樣局部范圍內(nèi)的曲線先經(jīng)過(guò)微觀上的處理，又再次經(jīng)過(guò)宏觀上的處理后，最終將局部范圍的曲線直線化.

在研究中，我們還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠MON小于45°時(shí)，所作三分角可精確到十萬(wàn)之一；當(dāng)∠MON大于45°且小于180°時(shí)，所作三分角可精確到萬(wàn)分之一.為什么不能完全三分角呢？其道理很簡(jiǎn)單，因?yàn)槲覀兩厦嬲f(shuō)過(guò)，這個(gè)世界上沒(méi)有真正意義上的直線，只不過(guò)是從局部看來(lái)曲度更小而已，這和二分角也有誤差的道理是一樣的.三分角的作圖方法同樣適合二分角，當(dāng)兩平行線間的距離為0時(shí)，這時(shí)所有弧的中點(diǎn)的集合為∠MON的平分線，所以二分角的精確度會(huì)更高.

八、三分角的作圖實(shí)例

如圖11，已知∠MON，試將其三等分.

圖11

作法：（1）在ON上任取一點(diǎn)A，作AL∥OM（兩平行線間的距離越大越好，即實(shí)施微觀上的處理）；

（2）作∠MON的角平分線交AL于點(diǎn)F；

（3）過(guò)點(diǎn)F作FB⊥OM于點(diǎn)B，設(shè)FB＝m，在射線FB上截取BD＝FB＝m；

（4）以O(shè)為圓心，依次畫(huà)?和?，使得線段HI和JK的長(zhǎng)均接近并大于2m（越接近并大于2m三分角的精確度越高，即實(shí)施宏觀上的處理），兩弧分別交AL于點(diǎn)H、J，交ON于點(diǎn)I、K；

（6）過(guò)點(diǎn)F作FC∥ON，F(xiàn)C交直線H′J′于點(diǎn)P；

（7）以O(shè)為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AL于點(diǎn)E，連接OE、OP，則OE、OP三等分∠MON.H