☉山東省濟(jì)寧市第十四中學(xué)姚俊鎖

衣、食、住、行與數(shù)學(xué)

☉山東省濟(jì)寧市第十四中學(xué)姚俊鎖

隨著社會(huì)的多元化發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用愈加廣泛，從近幾年的中考中可窺見(jiàn)一斑.數(shù)學(xué)生活化是新課程的一大特點(diǎn)，我們的“衣、食、住、行”都潛藏著數(shù)學(xué)，同時(shí)也昭示出數(shù)學(xué)的無(wú)處不在，與我們的生活息息相關(guān).

一、“衣”與數(shù)學(xué)

俗話(huà)說(shuō)：“穿衣戴帽，各自一套.”殊料其中也有學(xué)問(wèn)，若能靜下心來(lái)，探究一番，將別有一翻趣味.

例1（2009年白銀市）鞋子的“鞋碼”和鞋長(zhǎng)（cm）存在一種換算關(guān)系，下表是幾組“鞋碼”與鞋長(zhǎng)換算的對(duì)應(yīng)數(shù)值：（注：“鞋碼”是表示鞋子大小的一種號(hào)碼）

鞋長(zhǎng)16 19 21 24鞋碼22 28 32 38

（1）設(shè)鞋長(zhǎng)為x，“鞋碼”為y，試判斷點(diǎn)（x，y）在你學(xué)過(guò)的哪種函數(shù)的圖像上？

（2）求x、y之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果某人穿44號(hào)“鞋碼”的鞋，那么他的鞋長(zhǎng)是多少？

評(píng)析：鞋子竟然與函數(shù)搭上鉤，真讓人殊料不及，本來(lái)“冰冷”的函數(shù)，一下子提升了溫度，無(wú)形中驅(qū)動(dòng)了考生探索的積極心向.（1）需要在觀察的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)進(jìn)行分析，才能作出是什么函數(shù)的判斷，是對(duì)初中三類(lèi)函數(shù)的大盤(pán)點(diǎn)；（2）用待定系數(shù)法求解析式；（3）利用解析式實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的轉(zhuǎn)換.

答案：（1）一次函數(shù).

（3）y=44時(shí)，x=27，即此人的鞋長(zhǎng)為27cm.

例2（2015年紹興市）由于木質(zhì)衣架沒(méi)有柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作.小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開(kāi)即可.如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時(shí)，∠AOB=60°，如圖2，則此時(shí)A、B兩點(diǎn)之間的距離是______cm.

圖1

圖2

評(píng)析：“衣架”以本身的體態(tài)與等邊三角形拿捏在一起，成為考查等邊三角形的有效載體.其關(guān)鍵是根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形推知為等邊三角形，然后獲得答案.

答案：18.

二、“食”與數(shù)學(xué)

俗話(huà)說(shuō)：“人是鐵，飯是鋼，一頓不吃餓得慌.”日常飲食中也不乏數(shù)學(xué)的影子，只要我們留意生活，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待身邊的生活，那么生活中將處處透射著數(shù)學(xué)的光輝.

例3（2006年臺(tái)州市）小敏中午放學(xué)回家自己煮面條吃，有下面幾道工序：①洗鍋盛水2分鐘；②洗菜3分鐘；③準(zhǔn)備面條及佐料2分鐘；④用鍋把水燒開(kāi)7分鐘；⑤用燒開(kāi)的水煮面條和菜要3分鐘.以上各道工序，除④外，一次只能進(jìn)行一道工序.小敏要將面條煮好，最少用_____分鐘.

評(píng)析：本題以統(tǒng)籌學(xué)知識(shí)為背景，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，同時(shí)能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的多樣性及其應(yīng)用的廣泛性.

答案：12分鐘.

例4（2015年菏澤市）列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題：2015年的5月20日是第15個(gè)中國(guó)學(xué)生營(yíng)養(yǎng)日，我市某校社會(huì)實(shí)踐小組在這天開(kāi)展活動(dòng)，調(diào)查快餐營(yíng)養(yǎng)情況.他們從食品安全監(jiān)督部門(mén)獲取了一份快餐的信息（如下表）.

信息1.快餐成分：蛋白質(zhì)、脂肪、碳水化合物和其他. 2.快餐總質(zhì)量為400克. 3.碳水化合物質(zhì)量是蛋白質(zhì)質(zhì)量的4倍.

若這份快餐中所含的蛋白質(zhì)與碳水化合物的質(zhì)量之和不高于這份快餐總質(zhì)量的70%，求這份快餐最多含有多少克的蛋白質(zhì)？

評(píng)析：本題通過(guò)信息表展現(xiàn)了快餐的各種成分，并把相關(guān)數(shù)據(jù)嵌入，這樣一來(lái)方程模型、不等式就出現(xiàn)了，如下考查模型思想，活潑靈動(dòng)，情趣十足，有助于學(xué)生情感的投入和成績(jī)的發(fā)揮.

答案：56克.

三、“住”與數(shù)學(xué)

隨著生活水平的不斷提高，當(dāng)下的家庭購(gòu)房呈現(xiàn)出自主選擇與決策的態(tài)勢(shì)，更加關(guān)注住房周?chē)沫h(huán)境，樓內(nèi)公共設(shè)施的情況，以及室內(nèi)的相關(guān)配置等，都進(jìn)入了人們的選擇空間；另外，在中考試題中也不乏有關(guān)“住”的設(shè)施等背景的題目，如折疊床、折疊椅等.

例5（2006年蘇州市）今年，蘇州市政府的一項(xiàng)實(shí)事工程就是由政府投入1000萬(wàn)元資金.對(duì)城區(qū)4萬(wàn)戶(hù)家庭的老式水龍頭和13升抽水馬桶進(jìn)行免費(fèi)改造.某社區(qū)為配合政府完成該項(xiàng)工作，對(duì)社區(qū)內(nèi)1200戶(hù)家庭中的120戶(hù)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并匯總成下表：

改造情況改造水龍頭改造馬桶1個(gè)2個(gè)3個(gè)4個(gè)1個(gè)2個(gè)戶(hù)數(shù)20 31 28 21 12 69 2均不改造

（1）試估計(jì)該社區(qū)需要對(duì)水龍頭、馬桶進(jìn)行改造的家庭共有＿_(dá)___＿戶(hù).

（2）改造后，一只水龍頭一年大約可節(jié)省5噸水，一只馬桶一年大約可節(jié)省15噸水.試估計(jì)該社區(qū)一年共可節(jié)約多少?lài)嵶詠?lái)水？

（3）在抽樣的120戶(hù)家庭中，既要改造水龍頭又要改造馬桶的家庭共有多少戶(hù)？

評(píng)析：本題以表格的形式展示信息，充分利用樣本估計(jì)總體的思想，進(jìn)行計(jì)算，并將方程的考查融入其中，使統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查有了新的依托，拓寬了命題的領(lǐng)域，為考生的公平競(jìng)爭(zhēng)提供了平臺(tái).

答案：（1）1000.

（3）設(shè)既要改造水龍頭又要改造馬桶的家庭共有x戶(hù)，則只改造水龍頭不改造馬桶的家庭共有（92-x）戶(hù)，只改造馬桶不改造水龍頭的家庭共有（71-x）戶(hù)，列方程x+（92-x）+（71-x）=100，解得x=63（戶(hù)）.

例6（2015年金華市）圖3是一張可以折疊的小床展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面的示意圖，此時(shí)，點(diǎn)A、B、C在同一直線(xiàn)上，且∠ACD=90°.圖4是小床支撐腳CD折疊的示意圖，在折疊過(guò)程中，△ACD變形為四邊形ABC′D′，最后折疊形成一條線(xiàn)段BD″.

（1）小床這樣設(shè)計(jì)應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是______；

（2）若AB∶BC=1∶4，則tan∠CAD的值是______.

圖3

圖4

評(píng)析：本題以可變的折疊床為背景，貼近學(xué)生生活，為學(xué)生所喜聞樂(lè)見(jiàn)，就在這折折疊疊中，幾何圖形的重要性質(zhì)融入其中，有效地考查了學(xué)生的知識(shí)變通能力.

（1）在折疊過(guò)程中，由穩(wěn)定的△ACD變形為不穩(wěn)定四邊形ABC′D′，最后折疊形成一條線(xiàn)段BD″，小床這樣設(shè)計(jì)應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理是：三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性.

（2）因?yàn)锳B∶BC=1∶4，故設(shè)AB=x，CD=y，則BC=4x，AC=5x.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BC″=BC=4x，AC″=3x，C″D″=y，所以AD=AD″=AC″+C″D″=3x+y.

在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得AD2=AC2+CD2，即所以

例7（2015年淄博市）如圖5是一把折疊椅子，圖6是椅子完全打開(kāi)支穩(wěn)后的側(cè)面示意圖，其中AD和BC表示兩根較粗的鋼管，EG表示座板平面，EG和BC相交于點(diǎn)F，MN表示地面所在的直線(xiàn)，EG∥MN，EG距MN的高度為42cm，AB=43cm，CF=42cm，∠DBA=60°，∠DAB= 80°.求兩根較粗鋼管AD和BC的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.1cm.參考數(shù)據(jù)：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin60°≈0.87，cos60°≈0.5，tan60°≈1.73）

圖5

圖6

圖7

評(píng)析：本題與例6可謂呼應(yīng)之題，一個(gè)折疊床、一個(gè)折疊椅，通過(guò)這些基于學(xué)生生活的背景考查了直角三角形的應(yīng)用：畫(huà)出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題.根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形.作FH⊥AB于H，DQ⊥AB于Q，如圖7，F(xiàn)H=42cm，先在Rt△BFH中，利用∠FBH的正弦計(jì)算出BF≈48.28，則BC=BF+CF≈90.3（cm），再分別在Rt△BDQ和Rt△ADQ中，利用正切定義用DQ表示出BQ和AQ，得，則利用BQ+AQ= AB=43得到，解得DQ≈56.999，然后在Rt△ADQ中，利用sin∠DAQ的正弦可求出AD的長(zhǎng).

答案：兩根較粗鋼管AD和BC的長(zhǎng)分別為58.2cm、90.3cm.

例8（2015年臺(tái)州市）如圖8，這是一把可調(diào)節(jié)座椅的側(cè)面示意圖，已知頭枕上的點(diǎn)A到調(diào)節(jié)器點(diǎn)O處的距離為80cm，AO與地面垂直，現(xiàn)調(diào)整靠背，把OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)35°到OA′處，求調(diào)整后點(diǎn)A′比調(diào)整前點(diǎn)A的高度降低了多少？（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

圖8

圖9

評(píng)析：借力可調(diào)節(jié)座椅的可動(dòng)設(shè)置問(wèn)題，在自然的生活中與數(shù)學(xué)對(duì)接，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活又作用于生活的理念.如圖9，作A′B⊥AO于B，根據(jù)題意OA=OA′= 80cm，∠AOA′=35°，所以O(shè)B=OA′·cos35°=80×0.82≈65.6cm，所以AB=OA-OB=80-65.6≈14cm.

答案：調(diào)整后點(diǎn)A′比調(diào)整前點(diǎn)A的高度降低了14cm.

四、“行”與數(shù)學(xué)

隨著人們生活水平的日益提高，生活觀念在悄悄地發(fā)生改變，“低碳生活”理念已漸入人心，原本心儀的小轎車(chē)代步出行，正逐步被自行車(chē)所取代，人們更加關(guān)注綠色生活，健康生活，除室外自行車(chē)鍛煉外，跑步機(jī)等也走進(jìn)了千家萬(wàn)戶(hù)，以此命制的考題已見(jiàn)諸于中考.

例9（2014年泰州市）圖10、圖11分別是某種型號(hào)跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖，已知踏板CD長(zhǎng)為1.6m，CD與地面DE的夾角∠CDE為12°，支架AC長(zhǎng)為0.8m，∠ACD為80°，求跑步機(jī)手柄的一端A的高度h（精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）

圖10

圖11

圖12

評(píng)析：此題以跑步機(jī)為幾何原形，把解直角三角形的應(yīng)用融入，考查了三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，其關(guān)鍵是調(diào)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.如圖12，過(guò)C點(diǎn)作FG⊥AB于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)G.在Rt△ACF中，根據(jù)三角函數(shù)可求CF，在Rt△CDG中，根據(jù)三角函數(shù)可求CG，再根據(jù)FG= FC+CG即可求解.

答案：跑步機(jī)手柄的一端A的高度約為1.1m.

例10（2014年白銀市）為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇以自行車(chē)作為代步工具，圖13所示的是一輛自行車(chē)的實(shí)物圖.圖14是這輛自行車(chē)的部分幾何示意圖，其中車(chē)架檔AC與CD的長(zhǎng)分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長(zhǎng)為20cm.點(diǎn)A、C、E在同一條只顯示，且∠CAB=75°.（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732）

圖13

圖14

圖15

（1）求車(chē)架檔AD的長(zhǎng)；

（2）求車(chē)座點(diǎn)E到車(chē)架檔AB的距離（結(jié)果精確到1cm）.

評(píng)析：此題從自行車(chē)架構(gòu)中抽取了部分幾何示意圖，能讓考生觸摸到數(shù)學(xué)的溫情.通過(guò)輔助線(xiàn)的構(gòu)建考查了勾股定理與三角函數(shù)的應(yīng)用.（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可.（2）如圖15，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函數(shù)求EF=AE·sin75°即可.

答案：（1）AD的長(zhǎng)是75cm；（2）車(chē)座點(diǎn)E到車(chē)架檔AB的距離約是63cm.

“處處留心皆學(xué)問(wèn)”，我們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看生活，數(shù)學(xué)的影子將無(wú)處不在，善于發(fā)現(xiàn)并總結(jié)生活數(shù)學(xué)的規(guī)律，定會(huì)讓我們智慧過(guò)人，受益終生！