☉安徽省蚌埠市新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校高厚良

值得關(guān)注的安徽中考數(shù)學(xué)卷“第14題現(xiàn)象”

☉安徽省蚌埠市新城實(shí)驗(yàn)學(xué)校高厚良

安徽省中考數(shù)學(xué)試卷同時具有“初中畢業(yè)學(xué)業(yè)水平考試”和“高中招生考試”的功能，為體現(xiàn)試卷的區(qū)分選拔功能，安徽卷采用多點(diǎn)壓軸的形式.而作為填空題最后一題的第14題，由于其獨(dú)特的考查形式（多選題型填空題）、新穎的立意、可信度高、客觀性強(qiáng)的特點(diǎn)，被稱為安徽中考試卷的“第14題現(xiàn)象”，往往倍受關(guān)注.筆者擬選取近五年安徽中考數(shù)學(xué)試卷的第14題進(jìn)行賞析，以期發(fā)現(xiàn)某些“共性”，服務(wù)于2016年中考.

一、近五年安徽中考卷第14題賞析

例1（2015年）已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足：a+b=ab=c，有下列結(jié)論：

解析：由a+b=ab=c和c≠0，可知a+b=ab≠0，根據(jù)等式性質(zhì)兩邊同除以ab，可得，故①正確.

對于④，可分三種情況討論：a=b≠c、b=c≠a、a=c≠b，分別把每一種情況代入題干等式中確定出a、b、c的值，看是否與每一種情況一致，最終可確定a=2，b=2，c= 4，a+b+c=8，故④正確.

賞析：本題作為填空題的壓軸題，是安徽卷的特色題，題目以學(xué)生熟悉的連等式為背景，綜合考查分式的運(yùn)算、等式的性質(zhì)、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法、解二元一次方程組等核心知識點(diǎn)，同時考查學(xué)生代數(shù)恒等變形的能力和分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等.四個結(jié)論的設(shè)置從四個思維角度展開，彼此之間又有著一定的關(guān)聯(lián)，有效考查了學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和深入探究能力，對學(xué)生的思維能力要求較高.

例2（2014年）如圖1，在?ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是_______.（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

圖1

解析：由點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，AD=2AB，得CD=DF.所以∠DFC=∠DCF.因AD∥BC，則∠DFC=∠BCF.所以，故①正確.

如圖2，過F點(diǎn)作FG∥AE，則∠FGE=90°.又因點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，所以EG=CG，EF=CF，故②正確.

因?yàn)锳B∥FG∥CD，且EF=CF，所以∠AEF=∠EFG=∠GFC=∠FCD=∠CFD，則∠DFE＝3∠AEF，所以④正確.

圖2

賞析：本題作為一道填空題的壓軸題，以學(xué)生熟悉的平行四邊形為背景，通過“不定點(diǎn)E”的位置的變化探索相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，需要綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、平行線分線段成比例、直角三角形的相關(guān)性質(zhì)等核心知識靈活解決問題，有效考查了學(xué)生對核心知識的理解及學(xué)生分析問題、解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，有效承載了其應(yīng)有的選拔和區(qū)分功能.但不可否認(rèn)的是此題在表述上稍欠嚴(yán)謹(jǐn)或有待改進(jìn)，題目表明“如圖”，又強(qiáng)調(diào)垂足E在線段AB上，這樣就給學(xué)生造成了少許的誤導(dǎo)，點(diǎn)E可以與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合，于是就有少數(shù)學(xué)生認(rèn)為點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時，B、E、C三點(diǎn)在一條直線上，構(gòu)成不了三角形，故選項(xiàng)④也錯誤，類似的問題還出現(xiàn)在2015年中考數(shù)學(xué)卷的第12題.

例3（2013年）如圖3，已知矩形紙片ABCD中，AB= 1，BC=2.將該紙片折疊成一個平面圖形，折痕EF不經(jīng)過A點(diǎn)（E、F是矩形邊界上的點(diǎn)），折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，給出以下判斷：

其中正確的是________.（把所有正確結(jié)論的序號填在橫線上）

圖3

圖4

圖5

解析：如圖4，由四邊形A′CDF為正方形，得A′F是矩形ABCD的中位線.所以AF=BA′=1.即點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF即為正方形A′BAF的對角線.，故①正確.

如圖5，當(dāng)四邊形BA′CD是等腰梯形時，只能是BA′= CD，EF與BD重合，所以，故④正確.

賞析：本題是近年來填空壓軸題中區(qū)分度最小、難度最大的一道試題，不僅考查了正方形、矩形、軸對稱、勾股定理等核心知識內(nèi)容，又考查了學(xué)生動手操作探究、在開放的條件下分析問題、解決問題的能力.解決問題的突破口在于學(xué)生能否理解當(dāng)折痕EF=時，折痕EF與矩形的對角線BD重合這一事實(shí)，難點(diǎn)是對A′C∥BD的理解與證明.另外從呈現(xiàn)形式上，四個選項(xiàng)兩兩獨(dú)立，同時又以互逆的命題形式出現(xiàn)，命題專家獨(dú)具匠心，使得試題的呈現(xiàn)漂亮、優(yōu)美.

例4（2012年）如圖6，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PDA、△PAB、△PBC、△PCD，設(shè)它們的面積分別為S1、S2、S3、S4，給出如下結(jié)論：

①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，則S4=2S2；④若S1=S2，則P點(diǎn)在矩形的對角線上.其中正確結(jié)論的序號是__________.（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

圖6

圖7

解析：如圖7，過點(diǎn)P分別作PF⊥AD于點(diǎn)F，PE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)三角形面積公式結(jié)合矩形性質(zhì)可得S1+S3=，同理可得，所以S2+S4=S1+S3，故②正確.

當(dāng)點(diǎn)P在兩條對角線的交點(diǎn)時，S1+S2=S3+S4，但P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，所以該等式不一定成立，故①錯誤.

若S3=2S1，只能得出△APD與△PBC的高度之比，S4不一定等于2S2，故③錯誤.

若S1=S2，則，所以.由于四邊形AEPF是矩形，所以矩形AEPF與矩形ABCD相似，則，所以P點(diǎn)在矩形的對角線上，故④正確.

賞析：本題主要考查三角形與矩形的面積計(jì)算及它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系、等式和不等式的性質(zhì)等，此題看似簡單，很多學(xué)生能認(rèn)可事實(shí)，但卻不知如何說理，作為多選題出現(xiàn)，既考查學(xué)生的直覺思維能力和合情推理能力，又避免了作為解答題帶來的煩瑣和復(fù)雜性，可見命題專家的良苦用心.另外，通過本題的解答還可得出矩形的兩個“優(yōu)美”性質(zhì).

性質(zhì)1：設(shè)P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PDA、△PAB、△PBC、△PCD，設(shè)它們的面積分別是S1、S2、S3、S4.若S1=S2或S3=S4，則點(diǎn)P在對角線AC上；若S1=S4或S2=S3，則點(diǎn)P在對角線BD上，反之亦成立.

性質(zhì)2：設(shè)P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，則PA2+PC2=PB2+PD2.

例5（2011年）定義運(yùn)算a?b，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個結(jié)論：①2?（-2）=6；②a?b=b?a；③若a+b=0，則（a?a）+（b?b）=2ab；④若a?b=0，則a=0.其中正確結(jié)論的序號是_______.（填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號）

解析：因?yàn)??（-2）=2×［1-（-2）］=2×3=6，故①正確.

由于a?b=a（1-b）=a-ab，b?a=b（1-a）=b-ab，所以②錯誤.

（a?a）+（b?b）=a（1-a）+b（1-b）=a-a2+b-b2.又a+b= 0，所以原式＝-（a2+b2）=-（a+b）2+2ab=2ab，故③正確.

因?yàn)閍?b=a（1-b）=0，所以a=0不一定正確，故④錯誤.

賞析：本題是“新定義型”試題，是近五年來中考填空壓軸題最為簡單的一題，但其考查的知識點(diǎn)卻非常豐富，不僅考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算、整式運(yùn)算和配方法等內(nèi)容，還滲透了數(shù)學(xué)的“整體思想”和“分類思想”，對開闊學(xué)生眼界、提高學(xué)生思維起到了一定的作用.

二、對2016年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的啟示

安徽中考數(shù)學(xué)卷多年堅(jiān)守的多選題型填空題，雖在效度上有所欠缺，但考查容量大，解題思路廣，數(shù)學(xué)思想豐富，甄別、選拔功能強(qiáng)，具有其他題型不具有的一些特點(diǎn)，預(yù)計(jì)2016年中考此類題型會繼續(xù)存在，并延續(xù)一些相對穩(wěn)定的現(xiàn)象特征.

1.強(qiáng)化數(shù)學(xué)核心概念、主干知識的復(fù)習(xí)

歷年中考第14題，考查內(nèi)容雖然側(cè)重點(diǎn)有所不同，但以數(shù)學(xué)核心概念、主干知識為載體考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及探究能力卻是主旋律.如2015年中考卷第14題，初中階段的方程（組）不管次數(shù)和元的個數(shù)，它們都是現(xiàn)階段的核心概念，學(xué)生能順利解決此題，熟練掌握方程（組）的解法“功不可沒”，其他年份的第14題也是如此.由此可見，在中考復(fù)習(xí)中，要將核心概念、主干知識置于教學(xué)最重要的位置上，如在幾何與圖形內(nèi)容上，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)直角三角形、等腰三角形、全等（相似）三角形、平行四邊形及特殊四邊形等基本圖形的性質(zhì)與判定，理解圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱等重要概念并總結(jié)證明的思路、方法與技巧等.

2.重視數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累和數(shù)學(xué)思想方法的滲透

為回應(yīng)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》“四基”要求，安徽中考卷第14題對數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法給予了高度的關(guān)注，如2013年安徽卷第14題除了考查部分核心知識，還對學(xué)生實(shí)際動手操作的活動經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了考查，對學(xué)生的思維能力要求較高，僅僅通過簡單“題海戰(zhàn)術(shù)”是無法完成此題的.再比如2015年安徽卷第14題，轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想、模型思想在本題中均有出現(xiàn)，這些都是初中階段的核心數(shù)學(xué)思想.因此，在復(fù)習(xí)中，教師不要以解決問題作為教學(xué)的終結(jié)點(diǎn)，而應(yīng)將數(shù)學(xué)思想方法的參透和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累貫穿于全過程，使學(xué)生在學(xué)習(xí)基本知識的同時掌握數(shù)學(xué)思想方法，并通過不斷的積累運(yùn)用，內(nèi)化為自己的知識經(jīng)驗(yàn).

3.引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注合情推理與演繹推理的結(jié)合

從近五年安徽中考卷第14題分析不難發(fā)現(xiàn)，一般都是給出四個結(jié)論，其中有真命題、也有假命題，通常其中有兩個結(jié)論學(xué)生通過直覺就能給出判斷，而另兩個結(jié)論相對要難一些，對考查學(xué)生的直覺思維能力、合情推理能力和演繹推理能力都起到了重要作用.如2012年安徽卷第14題選項(xiàng)①、③很容易通過畫圖找出反例，選項(xiàng)②通過演繹推理可快速得出，而對于選項(xiàng)④，用演繹推理很難得出正確結(jié)果，更多學(xué)生是通過畫圖，找不出反例，用直觀感覺來判斷.其實(shí)在分秒必爭的考場，并不是所有問題的解答過程都需要書面呈現(xiàn)，有時只需在頭腦中呈現(xiàn)，憑合理地“想”，也能取得不錯的效果.所以在平時教學(xué)及復(fù)習(xí)時，要引導(dǎo)學(xué)生巧妙運(yùn)用“圖形反例”，結(jié)合合情推理快速、簡潔地識別真（假）命題.

1.廖純連.2015年安徽省中考數(shù)學(xué)試題總體評價及備課建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（5）.

2.倪興隆，夏敬花.從安徽中考卷窺探多選題型在數(shù)學(xué)能力測試中的作用［J］.上海教育評估研究，2014（2）.

3.高厚良.對2014年安徽中考數(shù)學(xué)卷第14題參考答案的質(zhì)疑［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（10）.

4.張寧.由一道中考題得出矩形的兩個優(yōu)美性質(zhì)［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2014（1-2）.Z