☉湖南省常德市芷蘭實驗學校初中部陳金紅黃克勤☉湖南省常德市安鄉(xiāng)縣蘆林鋪中學郭作華

“同一法”如何處理更有效*
——談學科核心素養(yǎng)的基本觀點

☉湖南省常德市芷蘭實驗學校初中部陳金紅黃克勤
☉湖南省常德市安鄉(xiāng)縣蘆林鋪中學郭作華

湘教版初中數(shù)學出現(xiàn)了兩種間接證明方法，一個是反證法，在七年級教材中就沒給“名份”的出現(xiàn)過，到九年級正式署名；還有一種就是同一法，當要證明某圖形具有某種性質而不易直接證得時，使用此法有時可克服這種困難，一般步驟是：（1）不從已知條件入手，而是作出符合結論特性的圖形；（2）證明所作的圖形符合已知條件；（3）推證出所作圖形與題設的其實是同一個圖形.運用此法要求是苛刻的（所證命題的題設條件是唯一存在的，其結論也是唯一存在的），但效果是直觀的，思路也是不易想到的！在八（下）教材中開始出現(xiàn)：

案例1第3頁倒數(shù)第一行：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

老教材的處理：放在矩形里學習，利用了矩形的對角線互相平分且相等，現(xiàn)教材的處理：如圖1，如果中線，則有∠DCA=∠A.由此受到啟發(fā)，在圖2的 Rt△ABC中，過直角頂點C作射線CD′交AB于點D′，使∠D′CA=∠A，則CD′=AD′.

圖1

圖2

這種處理是站在逆思維的基礎上啟發(fā)的，確實符合學生的最近發(fā)展區(qū)，但是這個“如果”前提是測量出來的，是不確定的，把一個不確定的結論作為線索，有兩種可能，當它為真，還好不會引來新的“麻煩”；但當它為假時，就會產生系列錯誤結論！這個結局是此階段的學生無法理解的、預測的！如果長期使用，危害是可想而知的！因為這涉及高中要學習的條件的充分性、必要性、充要性！那么如何處理呢？這正是老師們“同課異構”之處.

我們的觀點：用科學研究一般探究的方式即“特例理解—一般發(fā)現(xiàn)—總結方法”的思路展開.

先看等腰直角三角形：思考如何得到直角三角形斜邊上的中線？方法一：定義法，即取斜邊中點與直角頂點連線得到的線段；方法二：運用“三線合一”，要么作斜邊上的高，要么作直角頂角的平分線，再引導發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，此結論是“偶然”還是“必然”？

再看含30°銳角的直角三角形：思考如何得到直角三角形斜邊上的中線？在以上方法的基礎上，作斜邊上的高，得不出斜邊上的中線，為什么？（因為不能運用“三線合一”）失靈！作直角頂角的平分線，依然失靈！自然會思考為什么會失靈呢？于是回歸第一個特例去發(fā)現(xiàn)得出中線的本質在哪？基本思路：角角關系?邊邊關系；具體是∠DCA=∠A=45°?AD=CD，且∠DCB=∠B=45°?BD= CD?AD=CD=BD，即說明取∠DCA=∠A時，再利用“直角三角形兩銳角互余”可推出CD是斜邊AB上的中線！運用此法對“含30°銳角的直角三角形”試試發(fā)現(xiàn)取∠DCA=∠A=30°?AD=CD，且∠DCB=∠B=60°?BD= CD?AD=CD=BD，成功了！

啟發(fā)：說明取∠DCA=∠A時，再利用“直角三角形兩銳角互余”可推出CD是斜邊AB上的中線！

最后，一般地，在一般直角三角形中取∠DCA=∠A，立即可得AD=CD；利用“直角三角形兩銳角互余”、“等角的余角相等”還可得∠DCB=∠B?BD=CD?AD=CD= BD，即“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是一個必然結論！

如此看來，不用同一法，依然可行且更符合八年級學生的認知心理和思維特質，特別是體現(xiàn)了“探究（思維和方法）”這個數(shù)學學科的核心素養(yǎng)；再讓學生閱讀書本上的證明方法時就更好理解了！做到了知其然，更知其所以然！否則給老師和學生的感覺是：“同一法”從天而降，不可思議，就像是“灌”給學生的！

因此，教材不如改變?yōu)槲覀兩厦娴姆椒?，先看幾個特例再尋求其方法上的本質，最后一般發(fā)現(xiàn)結論就更好了！既避開了方法上的“高深莫測”，也體現(xiàn)了數(shù)學學科的核心素養(yǎng)之一：探究（思維和方法）！

案例2第14頁～15頁：如果三角形的三條邊a，b，c滿足關系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.（勾股定理的逆定理）

老教材的處理：先尺規(guī)作圖，已知兩條直角邊，作出滿足條件的直角三角形，作為鋪墊；現(xiàn)教材的處理：出示一段話“如果我們能構造一個直角三角形，然后證明△ABC與所構造的直角三角形全等，即可得△ABC是直角三角形”.

這種處理不符合學生的最近發(fā)展區(qū)，有點冒冒失失的心理感覺，如何想到的？這亦是老師們“同課異構”之處！也是“仿真”還原數(shù)學家探究歷程的一個著力點！

我們的觀點：用從科學研究到一般探究的方式，即“特例理解—一般發(fā)現(xiàn)—總結方法”的思路展開.

先出示題組：（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，三邊為a，b，c且a=3，b=4，求c；（2）長度為3、4、5的三條線段能構成一個三角形嗎？若能，是直角三角形嗎？為什么？若不能，請說明理由.通過引導讓學生自然而然地和第（1）小問聯(lián)系上，和（1）中的直角三角形是同一個三角形即直角三角形，由全等三角形的判定方法“SSS”可證得?。?）已知Rt△ABC中，∠C=90°，三邊為a，b，c；取線段a，b，能構成一個三角形嗎？若能，是直角三角形嗎？為什么？若不能，請說明理由.借助（1）、（2）積累的基本經驗，不難得出“取線段a，b，能構成一個△DEF（運用三角形三邊不等關系和不等式的知識），而且還是直角三角形.

如此看來，由特例入手，兩圖形的比較對比感悟“同一法”的脈搏，自然接軌于三角形中邊的不等關系、勾股定理、二次根式、三角形全等的判定等重要基礎知識和方法，再一般思考更符合八年級學生的認知心理和思維特質，體現(xiàn)了“探究（思維和方法）”這個數(shù)學學科的核心素養(yǎng)；再讓學生閱讀書本上的證明方法時就更好理解了！做到了知其然，更知其所以然！避免了“同一法”是帽子里突然蹦出了一只兔子的現(xiàn)象！

案例3第57頁，B組5：證明：過三角形一邊中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.

老教材的處理：使用同一法.取求證邊的中點，運用“過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線”證出它與已知中點連線，即為要找的那條直線.

現(xiàn)教材教參的處理：過求證中點作已知中點所在邊的平行線，過平行邊所對頂點作平行邊的平行線，證出兩個平行四邊形，再證一對三角形全等.

圖3

更簡單的處理是：已知△ABC中，D是AB的中點，DE∥BC，求證：E是AC的中點.方法一：延長ED到點F，使得FD=DE，連接AF、BF和BE；方法二：過點B作BF∥AC，與ED的延長線交于點F，連接AF和BE.都是通過得出平行四邊形AEBF和平行四邊形BCEF，得出AE=EC=BE，如圖3，即E是AC的中點！這樣處理即充分地利用了知識最近發(fā)展區(qū)（平行四邊形的性質和判定或全等三角形的性質和判定），也充分利用了基本經驗（見中點等倍延長法或平行線法），更符合八年級學生的認知心理和思維特質，體現(xiàn)了“探究（思維和方法）”這個數(shù)學學科的核心素養(yǎng).

上面三個案例是新湘教版八（下）教材整冊涉及“同一法”的地方，上面所述對比處理啟示我們：知識點可不同處理的地方特別是方法不易想到的地方乃是“同課異構”創(chuàng)新教與學方法的關鍵處！并由此產生不同的教學指導思想、教學理念和教學模式，必映射到數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方式和方法！

眾所周知的觀點是：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據分析是數(shù)學核心素養(yǎng).我們以為這是學術形態(tài)下的純數(shù)學角度提出的觀點；而我們中學數(shù)學是教育數(shù)學，即是從“學術形態(tài)”化成“教育形態(tài)”下的數(shù)學，因此，核心素養(yǎng)應該結合我們的教育對象、符合我們的教學實際，當然就一定有別于學術形態(tài)下的核心素養(yǎng)觀，教育形態(tài)下的數(shù)學核心素養(yǎng)有：嚴肅性（講道理：有法必依、執(zhí)法必嚴、違法必究）、靈活性（方法多樣性，條條道路通羅馬）、探究性（試驗、猜想、推理、抽象的科學精神）、關聯(lián)性（它從來就不是孤單的），這就是我們提出的學校數(shù)學教育的核心素養(yǎng)觀！其他學科亦可仿而效之，得出相應的教育形態(tài)下的學科核心素養(yǎng)！

1.義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學（初中）［M］.長沙：湖南教育出版社，2014.

2.陳金紅.你真的看過教材？［J］.湖南教育（C版），2014（12）.

3.陳金紅，郭作華.你真的看過教材上的習題嗎？［J］.湖南教育（D版），2015（9）.

4.陳金紅，郭作華.問題演繹“活絡”教材——小議教材解讀的方法［J］.數(shù)學教學研究，2015（12）.

5.陳金紅，郭作華.無邊題海題根是岸教材是線［J］.數(shù)學教學研究，2016（2）.

6.陳金紅，黃克勤，郭作華.練好常態(tài)下設計的基本功：教材解讀［J］.中學數(shù)學（下），2016（1）.H

*本文系全國教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度教育部規(guī)劃課題《生命課堂視野下的教學案例研究》（編號：FHB130512）的階段性成果之一.