☉江蘇省常熟市滸浦學校陳玉純

聚焦內容效度：函數(shù)綜合題的命題追求
——以兩道中考?？碱}為例

☉江蘇省常熟市滸浦學校陳玉純

函數(shù)綜合題是各地中考?？嫉闹匾碱}，通常會安排全卷最后兩題之一，然而由于命題者個人的喜歡與旨趣，常常使得函數(shù)綜合題的系列設問偏離函數(shù)的本質，甚至與函數(shù)毫無關聯(lián)，轉向平面幾何的某個經典問題，這類考題的一個顯著不足就是內容效度不夠聚焦.本文選擇近期關注的幾例中考?？碱}，給出思路簡述，并嘗試給出變式改編與相關命題思考，提供研討，掛一漏萬，還望各位專家同行雅正.

一、模考題及思路簡述

?？碱}1（2016年4月貴州省某地?？碱}）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+ mx+n，過點A（0，4）和C（8，0）.

（1）求m、n的值.

圖1

（2）若P（t，0）是x軸正半軸上的一個動點，M是線段AP的中點，將線段MP繞點P順時針旋轉90°得線段PB.過點B作x軸的垂線，過點A作y軸的垂線，兩直線相交于點D.

①小南同學經過分析發(fā)現(xiàn)：點D可以落在拋物線上.你覺得可能嗎？如果可能，請求出t的值；如果不可能，請說明理由.

②當以點A、B、D為頂點的三角形與△AOP相似時，求此時t的值.

思路簡述：（1）用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，從而得到m、n的值分別為、4.

（2）①利用△AOP∽△PEB，用含t的式子表示出點D的坐標為（t+2，4），當點D落在拋物線上時，有-（t+2）2+（t+2）+4=4，解得t=3或t=-2，再結合t＞0，故當t=3時，點D落在拋物線上.

②需要根據(jù)相似三角形的對應關系分類討論，當點P在線段OC上和點C的右側兩種情況，也就是分別考慮當0＜t＜8時或當t＞8時兩種情況，當0＜t＜8時，若△POA∽△ADB，則，即，整理得t2+16=0，此時t無解，若△POA∽△BDA，同理，解得t=-2+2.當 t＞8時，若△POA∽△ADB，則，即，

圖2

?？碱}2（2016年4月福州市某地?？碱}）如圖2，拋物線y=a（x-2）2-1過點C（4，3），交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側）.

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點M的坐標；

（2）連接OC，CM，求tan∠OCM的值；

（3）若點P在拋物線的對稱軸上，連接BP，CP，BM，當∠CPB=∠PMB時，求點P的坐標.

思路突破：（1）根據(jù)待定系數(shù)法容易求出y=（x-2）2-1，頂點坐標為（2，1）.

（2）如圖3，連接OM，構造直角三角形利用勾股定理（或者兩點之間距離公式）求出OC、OM、CM的長，從而利用勾股定理逆定理發(fā)現(xiàn)△COM是直角三角形，于是可以利用正切函數(shù)的定義求出tan∠OCM的值為.

圖3

（3）這一問思路較難獲取，首先草圖分析，分離“偽裝拋物線”（如圖4），進一步“目標解析”（如圖5），確認∠BMP=45°，也就是要找一點P，滿足∠BPC=45°，于是想到構造所謂的“一線三等角”，從而構造出圖6所示的問題模式，獲得重要進展.可以利用△PCQ∽△BPM分析PM的長，從而貫通思路，注意點P有兩解，即（2，2+）或（2，2-√5）.

圖4

圖5

圖6

二、對模考題的商榷與改編

學生是學習的主體，我們在習題命制時，應該注重學生的思維連續(xù)性，確保每個設問都并非是孤立的問題，借助于設問之間的聯(lián)系，將學生原有的知識和解決數(shù)學問題的方法連貫起來，借助于問題的解決過程內化學生認知，發(fā)散學生思維，提升學生的解題能力.從上面的思路突破來看，兩個?？碱}的最后一問基本與前面的題干沒有多大關系，特別是與拋物線基本沒有聯(lián)系，這種讓大題干提前“枯萎”的設問方式值得商榷.知易行難，以下我們對模考題2提出變式改編，提供研討：

?？碱}2的第（3）問變式改編：設直線x=a分別交拋物線、x軸于點P、H.當時，求a的值.

改編意圖：可以發(fā)現(xiàn)，我們改編的意圖主要是讓設問保持與題干中拋物線發(fā)生關聯(lián)，而不是離開拋物線另外設問.

三、函數(shù)綜合題命題的進一步思考

一個現(xiàn)實是，目前各級初三?？蓟蛘咧锌荚嚲碇?，函數(shù)為載體的（特別是二次函數(shù)）綜合題出現(xiàn)的幾率極高，然而由于初中階段對函數(shù)包括二次函數(shù)的研究還比較局限，并沒有涉及更多高中階段中的解析幾何的性質，所以很多函數(shù)綜合題往往不能深入探討函數(shù)的圖像與性質，這時不少命題者選擇將函數(shù)圖像與幾何性質相結合，生成一些人為制造的“平面直角坐標系搭臺，平面幾何難題構造來唱戲”的試題，由于這類試題較容易編制，也就在各類中考分類匯編、教輔資料中“流行”起來，甚至細化出很多考題分類，比如，拋物線與三角形綜合題，拋物線與圓綜合題，一次函數(shù)與平行四邊形翻折綜合題，二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，以及一些動點問題等，“應試”“備考”之風在這些資料的“引領”下扎實開展.筆者根據(jù)命題經驗初步思考后認為，關于函數(shù)綜合題的命題，應該有如下追求：

1.函數(shù)綜合題應以函數(shù)為主干，注意內容效度

從上面兩個?？碱}來看，雖然題干中都是以拋物線為載體，但是當?shù)冢?）問明確函數(shù)關系式之后，后續(xù)的設問與拋物線基本沒有多少聯(lián)系，設問或考查的難點卻是幾何模式圖形的識別與構造，這樣的考題與其說是函數(shù)綜合題，不如說是稍有難度的平面幾何題，而且是“超標”的幾何題.從命題的相關指標來看，試題的內容效度難有保證.

2.函數(shù)綜合題應聚焦核心概念，注意上下關聯(lián)

函數(shù)綜合題如何聚焦核心概念，我們認為，應該特別體現(xiàn)函數(shù)本質的對應思想、增減性、數(shù)形結合等內容.此外，對于綜合題來說，往往安排2～3個小問，這幾個小問既要注意“遞進”式設計，同時又需要注意設問的“距離”，即不同小問之間追求內在關聯(lián)，從形式上看是并列式問題、互不干擾，但求解的思想方法、突破策略，卻可以互為啟發(fā)，這也是我們在上文提供不同?？碱}的變式改編的主要追求.

3.函數(shù)綜合題應關注學生思維，注意經驗積累

研究解答函數(shù)綜合題不僅僅是為了考試多得分、得到分，反思解題過程，形成經驗積累，也是數(shù)學學習中不可或缺的核心內容.解題活動的核心價值是掌握數(shù)學，解題是一種最貼近數(shù)學思維的實質性活動，是掌握數(shù)學、學會“數(shù)學地思維”的關鍵途徑.函數(shù)綜合題要關注學生數(shù)學思維的形成，要使學生學會分析，將原有的認知和解題經驗遷移過來；學會思考，反思現(xiàn)有問題與原有經驗的差異性，發(fā)散思維，避免思維定勢；學會解題，在同化和順應的過程中選擇最佳的破解難題的方法和途徑，在成功的體驗中發(fā)展能力.唯有如此，我們的習題教學才能充分發(fā)揮學生的主觀能動性，使學生的解題能力與智力、思維、能力的發(fā)展同行.

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2.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數(shù)學教學，2003（1，2，3）.

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