☉江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉東升

推陳出新求簡潔，自然生長思關(guān)聯(lián)

☉江蘇省海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué)劉東升

在近期教學(xué)實(shí)踐中，筆者將一些敘述較為繁冗的“陳題”（這里的“陳題”是指在各級考題中反復(fù)出現(xiàn)，且在網(wǎng)絡(luò)上百度一些關(guān)鍵詞后很快會(huì)出現(xiàn)大量這樣的雷同題），本著追求簡潔的命題取向，將其改編后提供給學(xué)生練習(xí)，取得較好的訓(xùn)練效果.本文選取三個(gè)陳題改編的題例，并附改編意圖與命題思考，提供研討.

一、陳題與改編的題例呈現(xiàn)

陳題1探究題：如圖1.

（1）△ABC為等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，若這兩點(diǎn)分別從點(diǎn)C、B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運(yùn)動(dòng)，連接AP、BD交于點(diǎn)Q，求證：AP=BD；

（2）如果把原題中的“動(dòng)點(diǎn)D在邊CA上，動(dòng)點(diǎn)P邊BC上”，改為……，其他條件不變，請你利用圖2的情形，求證：∠BQP=60°；

（3）如果把原題中的“動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上”，改為……，如圖3，則動(dòng)點(diǎn)D、P在運(yùn)動(dòng)過程中，求證：DE=PE.

圖1

圖2

圖3

簡評：該題陳述繁冗，表述不清，極容易造成誤解，不符合數(shù)學(xué)試題追求簡潔好懂、自然生長的高要求.考慮到該題在網(wǎng)絡(luò)上非常流行，故摘引時(shí)第（2）、（3）問中部分條件以“……”取代，節(jié)約版面.以下給出改編題.

改編題1如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、P分別在邊CA、BC所在的直線上，直線BP、AQ交于點(diǎn)Q，且CD=BP.

（1）若點(diǎn)D、P分別在邊CA、BC上時(shí)，求證：AP=BD；

（2）若點(diǎn)D、P在射線CA和射線BC上時(shí)，請利用圖2求∠BQP的度數(shù).

改編說明：將“陳題1”中第（2）問的變式統(tǒng)一在題干中，以條件“點(diǎn)D、P分別在邊CA、BC所在的直線上”呈現(xiàn)，這樣在第（1）問設(shè)置成特殊條件，強(qiáng)調(diào)“點(diǎn)D、P分別在邊CA、BC上”，而在第（2）問中放開到射線上進(jìn)行研究.事實(shí)上，隨著探究的深入，如果作為習(xí)題講評課，還可啟發(fā)學(xué)生深入思考：如果點(diǎn)D、P在直線CA和直線BC上時(shí)，求∠BQP的度數(shù).這樣設(shè)問，則需要學(xué)生全面討論，求解難度也將會(huì)上一個(gè)新的臺階.

陳題2如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，a），B（-b，0），且a、b滿足

（1）求證：∠OAB=∠OBA.

（2）如圖4，若BE⊥AE，求∠AEO的度數(shù).

（3）如圖5，若D是AO的中點(diǎn)，DE∥BO，點(diǎn)F在AB的延長線上，∠EOF=45°，連接EF，試探究OE和EF的數(shù)量及位置關(guān)系.

圖4

圖5

簡評：第（2）問就需要高超的構(gòu)圖能力，且表述也不清楚，并沒有明確點(diǎn)E所在位置，圖形也只是示意圖；第（3）問陷入繁雜的圖形構(gòu)造，對于限時(shí)考試來說，這樣的試題慎用為宜.基于以上商榷意見，筆者改編如下：

改編題2如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，a），B（-b，0），P（p，0），且a、b滿足連接AB，作射線AP，過點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H.

圖6

（1）當(dāng)p=-1時(shí).

①填空：線段AP為△AOB的_____；（直接填“角平分線”、“中線”或“高”）

②延長BH交y軸于點(diǎn)C，求證：BC＝AP.

（2）連接OH，求∠AHO的度數(shù).

改編說明：首先是題干中明確了點(diǎn)P，善于讀題的學(xué)生應(yīng)該清楚點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則圖6只是一個(gè)示意圖，點(diǎn)H會(huì)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化；這為第（2）問的分類討論帶來啟示.有效考查了優(yōu)秀學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)；同時(shí)對學(xué)生讀句畫圖、構(gòu)圖能力也有較好的考查.

陳題3如圖7，在四邊形ABDM中，AB＝BD，AB⊥BD，∠AMD＝60°，以AB為邊作等邊△ABC，∠ABD的平分線BE交CD于點(diǎn)E，連接ME.

（1）求∠BEC的度數(shù)；

圖7

（2）連接EA，求證：EC＝ED+EB；

（3）求∠AME的度數(shù).

簡評：主要難點(diǎn)在第（3）問，需要較強(qiáng)的構(gòu)圖能力，這里提供兩種構(gòu)造思考，如圖8、圖9都能實(shí)現(xiàn)第（3）問的思路貫通.

圖8

圖9

然而，就本題的第（2）、（3）問來看，關(guān)聯(lián)度并不緊密，且題干中的“∠AMD＝60°”在前兩問也沒有多大價(jià)值，所以改編時(shí)，筆者放棄了第（3）問，只是對前面兩問進(jìn)行生長、拓展，改編為下面這道習(xí)題.

改編題3如圖10，在△ABD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，以AB為邊作等邊△ABC，∠BAD的平分線AE交CD于點(diǎn)E.

（1）求∠AED的度數(shù)；

（2）求證：EC＝DE+AE；

圖10

（3）在射線AE上求作一點(diǎn)P，使∠ABP＝75°.（不寫作法，保留作圖痕跡）

改編說明：圍繞將“陳題3”中的∠BAD的平分線AE進(jìn)行了開發(fā)，并且在洞察了圖形中很多特殊角度（如∠EDB=30°，連接EB，有∠EBD=30°）之后，在第（3）問提出尺規(guī)作圖，使之滿足“∠ABP＝75°”，隨著學(xué)生對圖10中各個(gè)角度認(rèn)識的深度，將會(huì)有不同的作法，這里作法的繁簡與理解的深刻有直接的關(guān)系.比如，我們收集了三種典型的學(xué)生作法（圖11、圖12、圖13）.

圖11

圖12

圖13

可以發(fā)現(xiàn)，在圖11中，學(xué)生先作出一個(gè)60°角，再作60°角的平分線與AE相交于點(diǎn)P；圖12中，學(xué)生以BE為一邊，構(gòu)造一個(gè)等邊△BEP，恰好交點(diǎn)在AE上；圖13中，學(xué)生只是“一道弧”就輕松搞定.事實(shí)上，筆者在相關(guān)數(shù)學(xué)研究QQ群是展示該題之后，有熱心的同行還用幾何畫板提供了不同的“一道弧”作法（圖14～17）.

圖14

圖15

圖16

圖17

二、關(guān)于陳題改編的三點(diǎn)思考

以上選取三個(gè)陳題及改編的題例，解讀、商榷并闡釋了陳題改編的心路歷程，以下再從整體上就陳題改編提出三點(diǎn)初步思考.

1.理解陳題，有的放矢推陳出新題

何明老師在文1中將一道“雙曲線”綜合題從300多字（外加兩個(gè)坐標(biāo)系圖形）減少到100字（沒有圖形），命題打磨過程中由博返約、追求簡潔的示范意義讓筆者受益良多.然而要想追求試題的簡約呈現(xiàn)，需要我們在陳題改編之前，從不同角度貫通思路，提煉和洞察陳題的“深層結(jié)構(gòu)”（羅增儒語）.在此基礎(chǔ)上還需要理解陳題系列設(shè)問的“并列”或“遞進(jìn)”.一般來說，作為一道解答題下的系列設(shè)問建議設(shè)計(jì)成并列式問題，但體現(xiàn)遞進(jìn)式求解的策略（詳見文2）.從這個(gè)角度來看，上文中的改編題2、改編題3都“有的放矢”地舍棄了陳題2、陳題3的第（3）問，正是想追求系列設(shè)問之間的遞進(jìn)式求解策略.

2.精心構(gòu)思，題干題肢預(yù)設(shè)關(guān)聯(lián)點(diǎn)

以上文中提及的陳題3來說，題干中的“∠AMD＝60°”在前兩問都沒有得到體現(xiàn)，像這樣的題干呈現(xiàn)就不符合簡潔呈現(xiàn)的追求，可以作為第（3）問的一個(gè)強(qiáng)化條件，使得題干更趨于簡潔好懂.這樣看來，在預(yù)設(shè)一道解答題時(shí)，就需要認(rèn)真構(gòu)思題干、題肢的條件呈現(xiàn)，而不宜把所有條件都“全面鋪開”，造成一些學(xué)困生閱讀和理解障礙.以筆者教學(xué)實(shí)踐來看，有些學(xué)困生在閱讀信息量、錯(cuò)綜復(fù)雜的條件時(shí)常常容易讀漏或混淆條件，使得原本應(yīng)該解答出來的第（1）、（2）問也不能順利解出.至于有些同行提出訓(xùn)練學(xué)生從繁雜信息或條件呈現(xiàn)中“抗干擾”能力的考查要求，筆者則不敢認(rèn)同，根本上說，這不符合“好的數(shù)學(xué)題目”應(yīng)該“簡潔好懂、自然生長”（章建躍語）的價(jià)值追求.此外，就題肢之間的關(guān)系來看，不僅要追求上面提及的并列式問題與遞進(jìn)式求解的思路暗示，還要思考題干信息與題肢之間的相容、包含或者邏輯連貫.比如，“改編題1”在題干中提到的是“點(diǎn)D、P分別在邊CA、BC所在的直線上”，而兩個(gè)題肢中分別是關(guān)于線段、射線的探究；再如，“改編題2”在題肢第（3）問中設(shè)計(jì)在射線AE上作出一點(diǎn)P，則讓題干中的角平分線保持著“生命活力”，而沒有讓題干中這個(gè)重要條件“提前死去”.

3.易進(jìn)難出，把關(guān)設(shè)問引向更遠(yuǎn)處

一般來說，解答題特別是作為全卷最后一題的把關(guān)題來說，應(yīng)該努力追求易進(jìn)難出，起點(diǎn)要低，吸引更多的學(xué)生參與.但是，作為最后一問又要使得問題具有必要的區(qū)分功能，就需要設(shè)計(jì)易錯(cuò)點(diǎn)、障礙處加大難度，通過恰當(dāng)?shù)陌殃P(guān)設(shè)問把學(xué)生的思考引向深入、走向遠(yuǎn)處.比如，改編題1的第（3）問考查的是“點(diǎn)D、P在射線CA和射線BC上”，優(yōu)秀學(xué)生在考后仍然可以思考“點(diǎn)D、P在射線AC和射線CB上”的情形；再如，改編題2的第（3）問“求∠AHO的度數(shù)”，如果學(xué)生只得到45°時(shí)，則說明思維還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，缺少考慮點(diǎn)P在x軸正半軸的討論，教師在講評時(shí)可以從點(diǎn)P坐標(biāo)特征的角度引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”，理解坐標(biāo)軸是直線、x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等角度來突破，這樣重視“回到概念去解題”就能得到很好的落實(shí).

1.何明.由博返約，追求簡潔——一道“雙曲線”綜合題的命題過程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（11）.

2.劉東升.“并列”式問題與“遞進(jìn)”式求解——由一則解題教學(xué)案例說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（8）.

3.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.H