☉江蘇省無錫市東亭中學(xué)許麗芳

前測備課自主探究感悟收獲
——“配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式”思考與感悟

☉江蘇省無錫市東亭中學(xué)許麗芳

一、理論與背景

布盧姆的建構(gòu)主義理論對有效教學(xué)曾經(jīng)提過三個經(jīng)典的問題：教師準(zhǔn)備把學(xué)生帶到哪里去？教師通過怎樣的手段帶學(xué)生走過去？你的學(xué)生已經(jīng)到指定位置了嗎？這三個問題抽象出來就是：（1）這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是什么；（2）教學(xué)過程與方法如何設(shè)計(jì)；（3）學(xué)習(xí)結(jié)果如何進(jìn)行有效評估.以皮亞杰為代表的建構(gòu)主義也認(rèn)為，在設(shè)定目標(biāo)的前提下，學(xué)習(xí)的有效性建立在學(xué)生主動參與的前提下，即學(xué)生進(jìn)行自主探究和合作為中心的學(xué)習(xí)是最好的學(xué)習(xí)方式，有助于發(fā)揮出學(xué)生的主動性和創(chuàng)造性.基于以上認(rèn)識，筆者以“配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式”一課為例，在進(jìn)行教學(xué)前測以后，調(diào)整教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生自主進(jìn)行探究，直至收獲課堂的精彩.

二、內(nèi)容剖析與前測

求根公式的推導(dǎo)是引出根的判別式、進(jìn)一步討論一元二次方程的實(shí)數(shù)根的存在性的前提，同時也為推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系及今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)等有關(guān)內(nèi)容奠定基礎(chǔ).由于公式的推導(dǎo)均為字母間的運(yùn)算，為了讓學(xué)生能夠親自參與推演求根公式的過程，設(shè)計(jì)了4個活動，逐步由數(shù)字系數(shù)的一元二次方程過渡到含三個字母系數(shù)的一元二次方程，學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的研究過程.本節(jié)課之前，筆者對自己所任教的九年級兩個班共計(jì)72位同學(xué)做了一次調(diào)查，用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0），正確率僅約為4.17%，于是進(jìn)行了簡單分析.

錯誤類型錯誤人數(shù)錯誤率配方法運(yùn)用錯誤9 12.5%未對b2-4ac進(jìn)行分類討論69 95.8%異分母的加法：b24aa計(jì)算錯誤17 23.6%二次根式b2-4ac 4a 2-c√的化簡錯誤16 22.2% 2

同時，設(shè)置了問題：在運(yùn)用公式法解一元二次方程時，你有哪些困惑？有些學(xué)生認(rèn)為公式的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不便于記憶，主要靠死記硬背，套公式解一元二次方程，而不知公式從何而來.基于以上分析和調(diào)查，筆者認(rèn)為雖然課標(biāo)中并未對用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式提出具體要求，但推導(dǎo)過程本身的價值在于通過讓學(xué)生親歷公式的推演，幫助學(xué)生理解一元二次方程的根是由系數(shù)a、b、c決定的.由于公式的推導(dǎo)過程均為字母間的運(yùn)算，對學(xué)生來說困難較大，因此本節(jié)課的難點(diǎn)是：一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

為了達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，筆者把教學(xué)過程設(shè)計(jì)為以下五個階段：

【活動1】請每組同學(xué)編一道一元二次方程，并用配方法求方程的解，填寫以下表格：

所編方程文字表述步驟每步依據(jù)

同組的同學(xué)互相檢查、糾錯.數(shù)字系數(shù)的一元二次方程在求解過程中，由于計(jì)算原因不易發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)對根的影響，因此，我們可以嘗試著將方程中的系數(shù)一般化，用字母代替.一起看下面的表格：下面我們主要研究方程中僅含有一個字母系數(shù)的情況.在解之前，我們能否預(yù)想一下這三個方程哪一個最容易解，哪一個又是最不容易解的？

abcax2+bx+c=0（a≠0）

a11ax2+x+1=0

1b1x2+bx+1=0

11cx2+x+c=0

1bcx2+bx+c=0

a1cax2+x+c=0

ab1ax2+bx+1=0

【活動2】每組同學(xué)在以下方程中任選一個用配方法求解：

（1）x2+x+c=0；（2）ax2+x+1=0（a≠0）.

交流：配方后的結(jié)果是含有字母的代數(shù)式，首先要保證該代數(shù)式的值是非負(fù)的，因此要注意分類討論.以（2）為例，學(xué)生進(jìn)行討論分析，讓學(xué)生進(jìn)行板演等活動，發(fā)揮學(xué)生的主體性，選取其中一位學(xué)生的解題過程.

解：由于a≠0，所以方程兩邊同時除以a，得：

所以當(dāng)1-4a≥0時，原方程的根為：

當(dāng)1-4a＜0時，原方程無實(shí)數(shù)根.

在此，教師進(jìn)行歸納并指出：對于以上兩個方程，如果我們?nèi)我饨o出相應(yīng)字母的值，就可以省去配方的過程，首先判斷方程是否有實(shí)數(shù)根，如果有，直接代入根的表達(dá)式即可求出.對于任意的一元二次方程，要想知道方程的根與系數(shù)的關(guān)系，需要我們研究更為一般的形式，即形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程.

【活動3】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）.

由a≠0，得a2≠0，則可判斷a2＞0，故4a2＞0.

因此只需當(dāng)b2-4ac≥0時，開平方，得：

原方程的解為：

當(dāng)b2-4ac＜0時，原方程無實(shí)數(shù)根.

通過前面的探索，我們得到了一元二次方程ax2+bx+ c=0（a≠0）的求根公式：

總結(jié)：用求根公式解一元二次方程的流程圖：

所有的一元二次方程都可以用配方法求解，所以這是一個通法，有規(guī)律可循.如果我們不抽象、概括出一個數(shù)學(xué)模型，那么每次都要做重復(fù)性的工作.抽象、概括正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)留給我們的思維品質(zhì)；同時，一元二次方程的求根公式向我們揭示了方程的根與各項(xiàng)系數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.下面從公式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析：從運(yùn)算的角度看，公式包容了初中階段所學(xué)過的全部六種代數(shù)運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開方，體現(xiàn)了和諧統(tǒng)一.通過運(yùn)算可以完美地解決根的存在性、根的個數(shù)、根的求法三個問題，可以說是“萬能”求根公式.它向我們展示了抽象性、一般性和簡潔性等數(shù)學(xué)的美和魅力.如果一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，這兩個根之間只有細(xì)微的差別，我們在以后的學(xué)習(xí)中會繼續(xù)探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

【活動4】感悟與收獲（以問題形式給出）.

問題：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么知識？有何作用？運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)知識解決問題時要注意些什么？這節(jié)課我們學(xué)到了解決數(shù)學(xué)問題的哪些方法？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？

四、體驗(yàn)與感悟

本課嘗試進(jìn)行了教學(xué)前測診斷，通過診斷指導(dǎo)教學(xué)過程，意在使學(xué)生通過配方，感知一元二次方程中系數(shù)與根之間的聯(lián)系.另外，分式運(yùn)算、二次根式化簡也是學(xué)生感到困難的地方.

1.結(jié)合診斷分析，合理設(shè)計(jì)教學(xué)

在講授這節(jié)課之前，筆者首先對已經(jīng)學(xué)習(xí)求根公式的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生不會用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式，對學(xué)習(xí)求根公式的意義不理解.只覺得背求根公式麻煩，容易記混淆，因此在解題時部分學(xué)生不愿意用求根公式解題.于是筆者在調(diào)研的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了詳細(xì)地分析，發(fā)現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的主要問題，同時對所任教班級學(xué)生的基礎(chǔ)知識、思維特點(diǎn)、探究意識等方面進(jìn)行了認(rèn)真地分析，根據(jù)學(xué)生的具體情況和教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)合理設(shè)計(jì)教學(xué).學(xué)生動腦、動手，感受學(xué)習(xí)求根公式的意義，讓學(xué)生知道“為什么學(xué)”.教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)及教學(xué)問題的提出符合學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律，符合因材施教原則.

2.抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本是公理化和程序化，本節(jié)課是將一元二次方程的求解過程程序化.教學(xué)中吳老師引導(dǎo)學(xué)生不斷將一元二次方程的系數(shù)一般化.首先讓學(xué)生自己編寫一個數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，小組合作確定求解，然后小組展示交流，讓學(xué)生體會編寫題目的系數(shù)不同，求解的結(jié)果就不同，甚至有的題目無解，感受方程系數(shù)直接影響方程根的情況，然后帶領(lǐng)學(xué)生把方程的系數(shù)逐步一般化，使方程中出現(xiàn)一個字母系數(shù)、兩個字母系數(shù)直至三個字母系數(shù)的情況.讓學(xué)生自由選擇用配方法解題，使不同層次的學(xué)生都能獲得成功的喜悅，同時也為方程中含有a、b、c三個字母的一般方程配方推導(dǎo)作好鋪墊.可見，教師不斷引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到程序化的優(yōu)勢，減少做重復(fù)性的工作，使學(xué)生逐步認(rèn)識學(xué)習(xí)求根公式的必要性和價值，抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維品質(zhì).

3.注重自主探究，體現(xiàn)學(xué)生主體

這節(jié)課整體感覺是教師在不斷與學(xué)生溝通交流中完成教學(xué)任務(wù)的.在尊重學(xué)生人格的基礎(chǔ)上更加尊重學(xué)生的思維，小組合作學(xué)習(xí)落到實(shí)處，為了使每個同學(xué)都積極地、有效地參與到學(xué)習(xí)中去，使本來枯燥乏味的教學(xué)內(nèi)容變得有趣，教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)了學(xué)生自己編題與小組為單位自主選題，然后展示、交流相結(jié)合，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，發(fā)揮學(xué)生的主體作用.總之，這節(jié)課的設(shè)計(jì)基于建構(gòu)主義理論，關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，調(diào)動了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性，讓學(xué)生充分地參與課堂教學(xué)，真正把課堂還給學(xué)生，注重求根公式的推導(dǎo)過程.從學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)入手，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，問題設(shè)計(jì)由簡到繁、由易到難、由具體到抽象，使不同學(xué)生在數(shù)學(xué)上都能有不同程度的進(jìn)步.Z