梅杰群

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)問題來源于實際生活，為解決實際生活中的問題服務(wù).隨著新課程的普及與深入開展，許多數(shù)學(xué)課堂教學(xué)向生活化發(fā)展，課堂上開展了許許多多豐富多彩的活動.“數(shù)學(xué)的生活化”已經(jīng)在新課程中得到了充分顯現(xiàn)，生活成了數(shù)學(xué)發(fā)展最肥沃的土壤.“回歸生活、關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實生活”的新課程理念是當(dāng)前數(shù)學(xué)課程改革的首要特征與發(fā)展趨勢.

數(shù)學(xué)思維具有生活的經(jīng)驗性，但有時又被實際生活的局限性困擾.下面我就兩硬幣旋轉(zhuǎn)問題談?wù)効捶?

例：（寧波市舜水杯初二數(shù)學(xué)競賽試題）將兩枚相同大小的一元硬幣A、B緊貼在一起，硬幣A固定不動，硬幣B的邊緣緊貼硬幣A并圍繞硬幣A無滑動地旋轉(zhuǎn).當(dāng)硬幣B圍繞硬幣A旋轉(zhuǎn)一周回到原來位置時，它圍繞自己的中心旋轉(zhuǎn)的角度是360度的？搖？搖？搖 ？搖倍.

對于本題的思考，我們經(jīng)常會受到生活性思維的困擾，有時對自己的結(jié)論表現(xiàn)得非?？隙ǎ踔敛幌w力地與人爭得面紅耳赤，事后又經(jīng)常反思，思維錯誤出現(xiàn)在何處？

大多數(shù)人最初的結(jié)論：一倍關(guān)系.

理由：兩硬幣的周長相等，硬幣B圍繞硬幣A旋轉(zhuǎn)一周回到原來位置時，它們的邊緣都接觸過一次，故硬幣B自轉(zhuǎn)一圈.如在生活中將硬幣B在地面上沿直線滾動一段與自己的周長相等的線段CD時，硬幣必然是旋轉(zhuǎn)了一圈.

然而最初的結(jié)論被接下來的實驗給予了強烈的反駁.如圖：當(dāng)硬幣B圍繞硬幣A旋轉(zhuǎn)一圈時，實驗中很清楚地看到硬幣B圍繞自己的中心旋轉(zhuǎn)了兩圈.

實驗后的結(jié)論：兩倍關(guān)系.

因此當(dāng)硬幣B圍繞硬幣A無滑動地旋轉(zhuǎn)一圈后，硬幣B應(yīng)該是自轉(zhuǎn)兩周.

證明如下：如圖所示，當(dāng)硬幣B旋轉(zhuǎn)到B′的位置時，設(shè)硬幣B上的點E旋轉(zhuǎn)到硬幣B′上的點F，則有弧DF=DE.（可以將硬幣B′倒退到硬幣B的位置發(fā)現(xiàn)）

進而得∠DB′F=∠DAE（等弧所對的圓心角相等）

過B′作B′E′∥BE，得∠E′B′A=∠B′AE，

可知硬幣B旋轉(zhuǎn)的角度∠E′B′F=2×∠B′AB.

結(jié)論：當(dāng)硬幣B在地面上沿直線滾動一段與自己的周長相等的線段時，硬幣是旋轉(zhuǎn)一圈，而當(dāng)硬幣B沿著一段與自己的周長相等的封閉曲線滾動時，硬幣是旋轉(zhuǎn)了兩圈.

反思：為什么大多數(shù)人最初的想法不對呢？

我們生活在現(xiàn)實中，數(shù)學(xué)思維具有生活的局限性，就像我們經(jīng)常感覺到自己居住的地球是平面的一樣，感受到太陽東升西落就好像太陽在圍繞地球旋轉(zhuǎn)一樣，當(dāng)硬幣B在地面上沿直線滾動時，我們?nèi)绾闻袛嘤矌攀欠駶L動了一周呢？我們用生活性的思維這樣判斷：當(dāng)最初的觸地點再一次觸地時，我們就判斷它滾動了一周.帶著這樣的思維我們做“硬幣B圍繞硬幣A旋轉(zhuǎn)一周”的問題時，我們很自然地會認(rèn)為，最初的接觸硬幣A邊緣的點再一次接觸硬幣A，我們就判斷它轉(zhuǎn)動了一周，這就是“生活化思維的局限性”.

受到生活化思維的局限性影響，我們很自然地會認(rèn)為答案為一周.

由此可見，數(shù)學(xué)作為一種認(rèn)識，與其他科學(xué)認(rèn)識一樣，遵循著感性具體—理性抽象—理性具體的辯證認(rèn)識過程.這就是數(shù)學(xué)認(rèn)識的一般性.