馬婧藝

(江蘇省海門中學(xué)　江蘇 南通　226100)

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利用直角坐標(biāo)系分析一道力學(xué)競賽題

馬婧藝

(江蘇省海門中學(xué)江蘇 南通226100)

文獻(xiàn)[1]中有一道考查建模能力的動量和能量的競賽題，試題及解析如下.

【題目】一靜止的物塊爆炸成質(zhì)量相等的3個碎片1，2，3，設(shè)爆炸中釋放的總動能為一定值E0，但每一個碎片具有的動能有多種可能值，設(shè)他們分別為Ek1，Ek2，Ek3，現(xiàn)可以用高為E0的正三角形中的一個點(diǎn)P對三條邊所引的垂延的長度來表示Ek1，Ek2，Ek3，但并不是三角形中的每一點(diǎn)所對應(yīng)的3個動能都是物理上所允許的，物理上允許的P點(diǎn)可能存在的區(qū)域稱為運(yùn)動學(xué)允許區(qū)，試求此允許區(qū)的范圍．

解析：如圖1所示，以正三角形△ABC的中心O點(diǎn)為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系.

圖1

(1)

(2)

由cos2θ≤1可得

(E1+E2-E3)2≤4E1E2

(3)

現(xiàn)在用極坐標(biāo)來表示3個能量

(4)

(5)

(6)

將式(4)、(5)、(6)代入式(3)

化簡可得

評析：從試題內(nèi)容可以看出這是一道能夠有效考查學(xué)生提取有效信息、運(yùn)用物理原理分析問題、建立數(shù)學(xué)模型等綜合能力的試題，難度很大；試題解析運(yùn)用極坐標(biāo)系、三角函數(shù)、不等式等知識對問題進(jìn)行了巧妙的分析，但是，若考慮到高中生的運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的實(shí)際能力，用極坐標(biāo)系分析本題不易讓學(xué)生理解和掌握，為了更好地符合高中生的認(rèn)知能力，下面在直角坐標(biāo)系中對本題進(jìn)行分析求解．

直角坐標(biāo)系中的解析：如圖2所示，以正三角形△ABC的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC邊為x軸，垂直BC邊向上為y軸，建立直角坐標(biāo)系xBy，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P(xP,yP)，只需要找到xP與yP間滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式，就可以確定P點(diǎn)對應(yīng)的區(qū)域．

圖2

由題意知正△ABC的高為E0，設(shè)正△ABC的邊長為a，則有

過P點(diǎn)到正△ABC三邊的垂線段長度分別為Ek1，Ek2，Ek3，利用正三角形的面積

S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC

即

可以證明

Ek1+Ek2+Ek3=E0

(7)

在圖2中，有如下幾何關(guān)系成立

Ek3=yP

β=60°-α

得出

再結(jié)合式(7)得出

分析出Ek1，Ek2，Ek3與P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系為

Ek3=yP

(8)

(9)

將式(8)代入式(9)得

化簡整理得

小結(jié)：通過對比以上兩種坐標(biāo)系中試題解析可以看出，直角坐標(biāo)系中的解析較為通俗易懂，更加符合高中生的認(rèn)知能力，便于學(xué)生理解和掌握，應(yīng)該作為本試題的基礎(chǔ)解法，極坐標(biāo)系中的解析適合作為補(bǔ)充解法，兩種研究思路相結(jié)合可以起到提升思維能力、拓寬研究視野的效果．

1張大同.通向金牌之路——高中物理競賽輔導(dǎo)講義.杭州：浙江大學(xué)出版社，130～131

2016-05-03)