姚黃濤　潘夢萍　馮 杰

(上海師范大學(xué)物理系　上?！?00235)

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深入淺出分析剛體摩擦力

姚黃濤潘夢萍馮 杰

(上海師范大學(xué)物理系上海200235)

以剛體在不同條件下運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為例，詳細(xì)分析了剛體所受3種不同摩擦力的產(chǎn)生機(jī)制和效果．對(duì)比了實(shí)際物體與理想剛體的區(qū)別，并討論了滾動(dòng)摩擦的本質(zhì)，最后對(duì)伽利略的斜面實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了“理想條件”的探討．

剛體摩擦力滾動(dòng)

在中學(xué)物理教學(xué)中，摩擦力一直是重點(diǎn)和難點(diǎn)，要想教會(huì)學(xué)生摩擦力的定性分析和定量運(yùn)算，教師就要對(duì)摩擦力的概念和原理掌握得很好．當(dāng)剛體涉及摩擦力時(shí)，往往使得問題變得復(fù)雜一些，譬如大學(xué)物理教程中剛體的摩擦力分析，這往往牽扯到很多的概念.

下面從5個(gè)方面來詳細(xì)討論剛體所受摩擦力，以便對(duì)力學(xué)中剛體摩擦力的教學(xué)提供參考．

1　斜面上剛體無滑滾動(dòng)

剛體力學(xué)中，我們常常會(huì)碰到求解剛性球體做無滑滾動(dòng)時(shí)的摩擦力，比較典型的是在斜面上的剛性小球的運(yùn)動(dòng)，如圖1所示．

圖1　斜面上的球體

根據(jù)球體做無滑滾動(dòng)的條件和剛體對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定理，可以得出下列方程

其中I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，aC為質(zhì)心加速度，α為角加速度．

由式(1)、(2)得

(4)

設(shè)小球沿斜面滾下了距離s后下降了高度H，質(zhì)心速度達(dá)到vC，滾動(dòng)角速度為ω，則

(5)

平動(dòng)動(dòng)能

(6)

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

(7)

總動(dòng)能

Ek總=Ek平+Ek轉(zhuǎn)=mgH=W重

(8)

以上計(jì)算表明剛體做無滑滾動(dòng)時(shí)，相對(duì)于斜面參考系，此摩擦力不做功，為靜摩擦力．

其一，因?yàn)榇嬖谶@一靜摩擦力，才使得剛體從斜面做無滑滾動(dòng)滾落下來．重力對(duì)剛體所做的正功W重等于剛體總動(dòng)能(平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和)的增加量．所以重力勢能全部轉(zhuǎn)化為平動(dòng)動(dòng)能與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；

其二，此靜摩擦力充當(dāng)了橋梁的作用，使得重力勢能可以一部分轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，如果不存在此靜摩擦力，剛體不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，只會(huì)滑下斜面，總動(dòng)能完全是平動(dòng)動(dòng)能．

由式(2)、(3)、(4)我們可以得到靜摩擦力f靜的表達(dá)式

(9)

2　水平面上剛體無滑滾動(dòng)

根據(jù)式(9)我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)斜面傾角θ等于零度時(shí)f靜=0，即當(dāng)斜面變成水平面后，除了重力、剛體與斜面之間的彈力外不考慮外界施加的力，靜摩擦力為零．換句話說就是靜摩擦力不存在．這可以分兩種情況討論：

第一種情況是剛體靜止于水平面上，此時(shí)剛體當(dāng)然不會(huì)受到摩擦力的作用，因?yàn)橹亓退矫鎸?duì)剛體的支持力正好平衡．

為了證明此種情況下剛體與水平面之間不存在摩擦力，我們再分為兩種情況討論，即假設(shè)摩擦力存在，分別為f左和f右(由于是剛體，不存在彈性形變，所以剛體與水平面的摩擦力只能沿公切面方向而平行于水平面)．

圖2

如果存在向左的摩擦力f左，則vC就要減小，剛體要滾得慢了．Mf左使得剛體相對(duì)于質(zhì)心的角速度ω增大，剛體要滾得快了，兩個(gè)結(jié)果相矛盾，所以不存在f左．

如果存在向右的摩擦力f右，則vC就要增大，剛體要滾得快了．但質(zhì)心的角速度ω卻是減小，剛體要滾得慢．這種情況同樣不會(huì)發(fā)生，所以不存在f右．

綜上，剛體在上述情況下沿水平面做無滑滾動(dòng)時(shí)，不存在靜摩擦力．當(dāng)剛體小球在水平面上達(dá)到上述的無滑滾動(dòng)狀態(tài)時(shí)，小球不受任何摩擦力的作用(在這一模型中，我們不考慮微觀分子之間的相互作用)，如圖2(b)所示，小球?qū)⒈３制溥\(yùn)動(dòng)狀態(tài)永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)下去．

3　水平面上剛體有滑滾動(dòng)

以上我們考慮了剛體處在水平面上做無滑滾動(dòng)靜摩擦力不存在的這一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．那么，剛體如何達(dá)到這樣的一種狀態(tài)呢？

我們?nèi)苑謨煞N情況討論．

其一，剛體靜止于水平面，在某一時(shí)刻受到作用于質(zhì)心的力F，在F的作用下沿水平面向右加速滾動(dòng)，顯然此時(shí)剛體與水平面的接觸點(diǎn)處的地面對(duì)剛體必然施加一向右的靜摩擦力f，此f對(duì)質(zhì)心的力矩使剛體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，我們可以方便求出f，α，aC的大小．當(dāng)F撤去的時(shí)候，剛體受力情況就達(dá)到了圖2所示的狀態(tài)，不存在靜摩擦力．即當(dāng)力F撤離的瞬間，靜摩擦力同時(shí)也消失了．此后剛體將一直以恒定速度滾動(dòng)下去，即使剛體與水平面之間是粗糙的．

其二，剛體以平動(dòng)速度vC，相對(duì)質(zhì)心的角速度為ω=0這一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)施放在粗糙的剛性水平面上．如圖3(a)所示，剛性小球放在傳送帶上與傳送帶一起向右以速度為vC運(yùn)動(dòng)，并且小球相對(duì)傳送帶靜止，我們所要考慮的是小球離開傳送帶接觸水平面后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，即分析此種情況下剛體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是如何變化到圖3(b)所示的狀態(tài)的．

圖3

剛體剛接觸水平面的瞬間，剛體與地面的接觸點(diǎn)P的速度應(yīng)為剛體的平動(dòng)速度vC0．假如在這一瞬間剛體就完成了從只有平動(dòng)到無滑滾動(dòng)的這一狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，那么P點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)線速度就必須在Δt時(shí)間內(nèi)增加到vC0．

由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理

MΔt=ΔL=L末-L初

得

(10)

根據(jù)假設(shè)，Δt很短，短到幾乎是一瞬間，即Δt→0,所以f→∞．因而除非剛體與水平面的結(jié)構(gòu)如圖4所示，使得f是一個(gè)沖力，否則靜摩擦力不可能達(dá)到碰撞級(jí)別的效果．因而剛體與水平面接觸時(shí)必然發(fā)生滑動(dòng)，此摩擦力為滑動(dòng)摩擦力．

圖4　剛性齒輪結(jié)構(gòu)

通過以上分析，我們可以定性地描述剛球接觸水平面后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化過程．一開始剛球做有滑滾動(dòng)，在滑動(dòng)摩擦力的作用下，剛球平動(dòng)速度減小而轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在增加．當(dāng)平動(dòng)速度正好等于剛球邊緣上P點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)線速度時(shí)，剛體開始做無滑滾動(dòng)，摩擦力消失．下面是定量計(jì)算：

如圖3(b)所示，設(shè)μ與f動(dòng)為鋼球與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)和滑動(dòng)摩擦力，則

f動(dòng)=μmg=maC?aC=μg

球質(zhì)心的平動(dòng)速度為

vC=vC0-μgt

(11)

又

μmgR=Iα

取球體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(12)

所以

(13)

則接觸點(diǎn)P相對(duì)于鋼球質(zhì)心的線速度

(14)

當(dāng)vC=vP時(shí)，鋼球達(dá)到無滑滾動(dòng)的條件，鋼球與水平面間不發(fā)生滑動(dòng)，此時(shí)鋼球處于圖2(b)所示的狀態(tài)，即不存在摩擦力．

由式(11)、(14)得

(15)

(16)

(17)

則鋼球邊緣在這段時(shí)間內(nèi)滾動(dòng)的弧度為

(18)

所以鋼球與水平面之間的相對(duì)滑動(dòng)距離為

(19)

因而滑動(dòng)摩擦力做功產(chǎn)生的熱量為

(20)

(21)

將式(15)代入上式，得

即

W損=Q

由上面的計(jì)算我們可以發(fā)現(xiàn)，從能量轉(zhuǎn)化的角度計(jì)算的熱量值與滑動(dòng)摩擦力做功的值相等，所以證實(shí)了此摩擦力的確是滑動(dòng)摩擦力．

4　形變物體的滾動(dòng)

運(yùn)用剛體模型，我們得出了剛體在水平面上滾動(dòng)時(shí)不存在靜摩擦力的結(jié)論，剛體會(huì)一直滾動(dòng)下去．顯然這一結(jié)論與我們?nèi)粘Ｉ钪械慕?jīng)驗(yàn)不符，在水平面上推動(dòng)圓柱形的滾子，如果不繼續(xù)推動(dòng)它，滾子不會(huì)永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)下去，而會(huì)慢慢停下來[1]．一般人們會(huì)說這是摩擦力的作用，但往往不會(huì)明確指出這究竟是什么摩擦力．

剛體是忽略一切形變的理想模型，實(shí)際物體顯然不滿足剛體這一條件，即實(shí)際物體受到力的作用總會(huì)或多或少地發(fā)生形變，形變較小的物體較硬，形變較大的物體較軟．我們考慮較硬的圓柱體置于較軟的水平面上，如圖5(a)所示．當(dāng)滾子以一定的初始速度vC在水平發(fā)生向左的滾動(dòng)時(shí)，接觸面因受力不均勻而向左端隆起，從而導(dǎo)致地面對(duì)滾子的彈力N改變?yōu)槿鐖D5(b)所示的N′，這個(gè)力N′不過滾子的質(zhì)心，因而產(chǎn)生了阻礙滾子滾動(dòng)的力矩M′，同時(shí)N′水平向右的分量保證了滾子的平動(dòng)速度減?。疄榱搜芯糠奖?，將N′正交分解為豎直方向的FN和水平方向的Ff，F(xiàn)f大致與滾子與地面的公切面平行，而FN近似與公切面垂直，可看作地面對(duì)滾子的彈性支持力．

圖5

將力FN平移至滾子的質(zhì)心O，并附加一力偶矩，如圖5(c)所示，作用于質(zhì)心O點(diǎn)的力FN與重力平衡，而附加力偶矩起阻礙滾動(dòng)的作用，稱滾動(dòng)摩擦力偶矩[1],將其大小記為M滾，用δ表示O點(diǎn)到FN的力臂如圖5(d)所示，則

M滾=FNδ

至此我們可以看到阻礙滾子滾動(dòng)正是這個(gè)滾動(dòng)摩擦力偶矩的作用．現(xiàn)在，我們通過剛體平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律來計(jì)算N′的水平分力Ff．

Ff=maC

由于是無滑滾動(dòng)

aC=Rα

M滾-FfR=Iα

(25)

對(duì)于圓柱體滾子

代入上式，得

其中

(26)

我們可以發(fā)現(xiàn)式(26)具有摩擦力的表達(dá)形式．

盡管Ff是形變地面對(duì)滾子支持力的水平分力，但我們可以將Ff看成是滾子在水平面上滾動(dòng)時(shí)受到的滾動(dòng)摩擦力，μ′稱為滾動(dòng)摩擦因子．根據(jù)

我們不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)滾子的半徑越大，滾動(dòng)摩擦力越?。访嬖接?，形變越小，δ就越小，所以滾動(dòng)摩擦力也就越?。虼嗽谒绍浀穆访嫔向T車比在水泥路面上費(fèi)力．火車采用鋼軌作為軌道也是減小滾動(dòng)摩擦的原因．許多機(jī)器采用的滾動(dòng)軸承，其滾軸中有許多球體或柱體在內(nèi)外環(huán)間滾動(dòng)，在制造上要求滾動(dòng)體和環(huán)都有很高的硬度，其目的在于減小滾動(dòng)摩擦．由于δ?R，查閱相關(guān)技術(shù)手冊[1]后發(fā)現(xiàn)μ′的數(shù)量級(jí)處在10-2，比滑動(dòng)摩擦因子小一個(gè)數(shù)量級(jí)．這就是大家常說的滾動(dòng)摩擦比滑動(dòng)摩擦小的原因．至此有一點(diǎn)值得一提，上面討論的滾動(dòng)摩擦力Ff不是像滑動(dòng)摩擦力一樣實(shí)際存在的摩擦力，而是為了方便比較而將N′的水平分力根據(jù)效果而命名的，本質(zhì)上還是彈力．

當(dāng)我們討論滾動(dòng)時(shí)，要知道滾動(dòng)摩擦這一效果是由滾動(dòng)摩擦力偶矩M摩，而不是Ff作用而產(chǎn)生的．因?yàn)榇嬖谛巫?，所以研究?duì)象不再是剛體這一理想模型．

5　伽利略的理想斜面實(shí)驗(yàn)

伽利略通過科學(xué)推理認(rèn)為，如果一切接觸面都是光滑的，一個(gè)鋼球從斜面的某一高度A處靜止?jié)L下，由于只受重力，沒有阻力產(chǎn)生能量損耗，那么它必定達(dá)到另一斜面的同一高度C，如果把斜面放平緩一些，也會(huì)出現(xiàn)同樣的情況，如D，E的高度，如果斜面變成水平面，則鋼珠找不到同一高度而會(huì)一直保持一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，永不停止的運(yùn)動(dòng)下去，如圖6所示[2]．

圖6　伽利略理想斜面實(shí)驗(yàn)

對(duì)于這個(gè)理想實(shí)驗(yàn)，存在值得討論的地方．如果一切接觸面都是光滑的，那么根據(jù)前文的分析，鋼球是不可能滾動(dòng)下來的，而只會(huì)沿斜面向下滑．要使鋼球做無滑滾動(dòng)滾下斜面，那么必然存在斜面對(duì)鋼球沿斜面向上的靜摩擦力，既然存在摩擦力，那么伽利略的斜面實(shí)驗(yàn)還是理想的嗎？

一方面，根據(jù)前文的分析，要使鋼球從斜面上滾動(dòng)下來，就必須存在斜面對(duì)鋼球的摩擦力．同時(shí)，這個(gè)摩擦力必須是靜摩擦力，因?yàn)橹挥徐o摩擦力才能保證鋼球的重力勢能改變量等于鋼球平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和，使得鋼球能回到另一斜面的同一高度．另一方面，要使鋼球在水平軌道上保持恒定速度永遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)下去，根據(jù)前文的分析，鋼球必須不受到滾動(dòng)摩擦力偶矩的作用，那么鋼球與軌道必須不發(fā)生形變，即剛體與軌道必須是理想的剛體模型．

因此，我們認(rèn)為伽利略的理想斜面實(shí)驗(yàn)中的“理想”二字的描述不是忽略所有摩擦力的理想狀態(tài)，而是鋼球與軌道必須是理想剛體，且鋼球與軌道之間是純靜摩擦力這一理想狀態(tài)．

當(dāng)然了，伽利略在設(shè)計(jì)這一理想實(shí)驗(yàn)時(shí)的上述不足，并不一定是伽利略的疏忽．這也許是后人在敘述這一理想實(shí)驗(yàn)時(shí)外加的，也許是伽利略的知識(shí)局限性所引起的，因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)關(guān)于摩擦的知識(shí)還比較缺乏[2]．所以我們必須站在歷史的角度看待這一理想實(shí)驗(yàn)，絲毫不否認(rèn)其在物理學(xué)發(fā)展中的巨大作用．

1漆安慎，杜嬋英.力學(xué)(第二版).北京：高等教育出版社，2005.240～242

2陶洪.物理實(shí)驗(yàn)論.南寧：廣西教育出版社，1996.49～50

2016-04-17)