江蘇省張家港市教育局教研室　丁祖元

問題設(shè)計凸現(xiàn)智慧與藝術(shù)課堂演繹呈現(xiàn)精彩并高效──初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)問題設(shè)計的案例剖析與思考

自古以來,教育家們無不注重"問題設(shè)計"的作用.美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯(H.P.Halmos)認(rèn)為,問題是數(shù)學(xué)的心臟,數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解;亞里士多德曾說過"思維從對問題的驚訝開始";孔子也提出了"以疑激思,以疑引思"的觀點.實踐表明,問題設(shè)計的優(yōu)劣直接影響著數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量.

數(shù)學(xué)教學(xué)是指數(shù)學(xué)活動的教學(xué),數(shù)學(xué)活動是指思維活動,而課堂提問是驅(qū)動學(xué)生思維活動的方式,恰當(dāng)?shù)奶釂柡秃侠淼膯栴}在構(gòu)建知識的過程中占有十分重要的地位.要提問題比較容易,教材給我們提供了系統(tǒng)的教學(xué)過程、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)參考.但是好的問題的設(shè)置不僅取決于教學(xué)上的考慮,還與教學(xué)班級學(xué)生的認(rèn)知水平密切相關(guān),而教材是重要知識點的精華與濃縮,往往言簡意賅,或者限于篇幅,有些過程未能加以詳細說明,教師作為教材與學(xué)生之間的協(xié)調(diào)者,有必要對簡約的內(nèi)容進行適當(dāng)?shù)匮a充和必要地拓展,因此,我們除了要充分利用好教材提供的素材,還要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)環(huán)境、教學(xué)對象創(chuàng)造性地進行問題設(shè)計,把比較抽象的數(shù)學(xué)概念、法則、定理、技能、方法轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于掌握的、較為具體的、熟悉的數(shù)學(xué)知識,達到對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)領(lǐng)悟,以實現(xiàn)數(shù)學(xué)的知識形態(tài)向教育形態(tài)轉(zhuǎn)化.

一、緊扣教學(xué)目標(biāo),在重點、難點處設(shè)計問題,體現(xiàn)一個"準(zhǔn)"字

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動的出發(fā)點,又是課堂教學(xué)的歸宿,貫穿于教學(xué)活動的全過程,對整個教學(xué)活動具有很強的引領(lǐng)性和規(guī)范性,影響著數(shù)學(xué)教學(xué)活動的可控性和有效性.因此,教師在進行教學(xué)設(shè)計前,應(yīng)認(rèn)真研讀教材,分析每一個知識要點,領(lǐng)會編者的意圖,厘清重點、難點,準(zhǔn)確把握好教學(xué)的起點,設(shè)計好教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動的各個環(huán)節(jié),特別要在重點、難點處設(shè)計緊緊圍繞教學(xué)內(nèi)容、具有指導(dǎo)性的問題,力求做到既科學(xué)、合理地利用好教材,適度地拓寬教學(xué)內(nèi)容,又能化難為易,啟迪學(xué)生的思維,引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的思考方法,以達到深刻理解知識之目的,充分體現(xiàn)課堂教學(xué)的精準(zhǔn)度.

案例1:"合并同類項"教學(xué)片段.

……

師:通過前面的學(xué)習(xí),我們知道,同類項必須具備兩個"相同":一是所含字母相同;二是相同字母的指數(shù)也相同.下面請大家思考以下幾個問題.

問題1:請你寫出幾個同類項的式子.

生1:ab與-2ab.

師:能不能再寫一個式子與生1寫的兩個式子是同類項呢?

生2:10ab.

師:還有嗎?有多少個?

眾生:還有無數(shù)個!

師:很好,實質(zhì)上同類項是兩個或多個單項式之間的一種關(guān)系,并且同類項與它們的系數(shù)無關(guān).

問題2:請你寫出兩個看似是同類項,卻不是同類項的式子,并說明理由.

師:非常好,理由也很充分,還能寫出其他式子嗎?

生4:x2y與5x2z,它們所含字母不相同.

師(追問):x2y與5x2yz是不是同類項呢?

生4:也不是,它們所含字母也不相同.

師:要判別兩個(或多個)式子是不是同類項,我們必須緊緊抓住定義中的兩個"相同".

問題3:請你寫出2個看似不是同類項,卻是同類項的式子,并說明理由.

生5:2xy與-2yx,因為利用乘法交換律-2yx=-2xy,所以2xy與-2yx所含字母相同,相同字母的指數(shù)也相同.

師:生5告訴我們一個結(jié)論:同類項與字母的順序無關(guān).

師:我們知道圓的面積公式為πr2,那么,πr2與4r2是不是同類項呢?

生6:不是的,它們所含字母不相同.

生7:π不是字母,是一個數(shù),所以πr2與4r2是同類項.

師:是的,π是一個特定的數(shù),因此,πr2與4r2是同類項.并且,我們還規(guī)定所有的常數(shù)都是同類項.例如,5、-2、2π等都是同類項.

……

教學(xué)思考:"數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)"指出:"教學(xué)中注重結(jié)合具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容.設(shè)計有效的數(shù)學(xué)探究活動,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程,是學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要途徑."上述教學(xué)片斷中,通過三個問題的探討,學(xué)生對同類項的概念有了非常深刻的理解,既突破了重點,又解決了難點,在參與舉例、觀察、類比等數(shù)學(xué)活動中,激發(fā)了學(xué)生的思維靈感,記錄了學(xué)生思維的過程,展示了學(xué)生思維的結(jié)果,完善了學(xué)生的思維品質(zhì),學(xué)生從方法與過程等角度整體掌握了知識,為合并同類項教學(xué)的展開奠定了堅實的基礎(chǔ).

二、選準(zhǔn)合適時機,在新舊知識銜接處設(shè)計問題,體現(xiàn)一個"簡"字

我們知道,許多新的知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展是以原有知識為基礎(chǔ)的,原有知識的穩(wěn)定性、清晰性、與新知識的可聯(lián)系性,是制約學(xué)生能否獲得清晰、穩(wěn)定、精確化的新知識的重要條件.因此,在原有知識向新知識過渡的時候,教師應(yīng)當(dāng)致力于使新知識與學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的知識、經(jīng)驗建立實質(zhì)性聯(lián)系,在新知識與原有知識的銜接處設(shè)計適當(dāng)?shù)匿亯|性問題,引導(dǎo)學(xué)生進行知識的遷移,達到原有知識向新知識過渡的目的,優(yōu)化和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),充分體現(xiàn)課堂教學(xué)的簡潔性,使課堂教學(xué)深入到數(shù)學(xué)教育過程的核心.

案例2:"勾股定理"教學(xué)片段.

師(出示圖1):請你閱讀以下問題,并思考解答方案.

問題1:如圖1,在8X8的正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長為1,你能求出四邊形ABCD的面積嗎?

生1:將四邊形ABCD的面積看作是總面積與4個直角三角形面積之差.

圖1

師:正確.生1應(yīng)用了"割補法"來求面積,將求不規(guī)則的圖形面積問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的規(guī)則圖形面積之差(和).值得我們關(guān)注的是這樣的"基本圖形"中規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形之間的組合與分解.

(出示問題2,等待學(xué)生思考)

問題2:如圖2,先任意畫一個正方形EFGH,在四邊上順次截取AE=BF=CG=DH=a,連接AB、BC、CD、DA,并設(shè)EB=b.你能判斷出四邊形ABCD的形狀嗎?

生2:在正方形EFGH中, HE=EF=FG=GH,由AE=BF=CG= DH=a,得HA=EB=FC=GD.所以Rt△AEB≌Rt△BFC≌Rt△CGD≌Rt△DHA,從而可以判斷四邊形ABCD是正方形.

(板書證明過程略)

師:四邊形ABCD是正方形,那么這個"基本圖形"是規(guī)則圖形與規(guī)則圖形之間的組合.如果我們設(shè)小正方形ABCD的邊長為c,請你思考問題3.

問題3:如圖3,在問題2的條件下,若設(shè)AB=c,你能求出a、b、c之間的關(guān)系嗎?

圖2

圖3

生3:利用與問題1相同的解法,得c2=(a+b)2-4Xab,化簡得c2=a2+b2.

師:我們觀察Rt△AEB,這個結(jié)論意味著什么呢?

生4:在直角三角形中,斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.

師:歸納得很好,這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容---勾股定理.

……

教學(xué)思考:"勾股定理"的教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)基本圖形,發(fā)現(xiàn)勾股定理,發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明方法,而難點是如何讓這三個發(fā)現(xiàn)自然發(fā)生,演繹過程水到渠成."問題串"的設(shè)計從學(xué)生最熟悉的"算"面積入手,由具體的數(shù)開始,再過渡到字母運算,讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從猜想到證明的過程,實現(xiàn)了定理的"發(fā)現(xiàn)""證明"都由"計算"演變而來.這樣的設(shè)計"起點低、觀點高","畫圖""計算""推理"巧妙銜接,更符合學(xué)生的認(rèn)識,簡潔而自然.

三、關(guān)注學(xué)情反饋,在學(xué)生思維阻滯處設(shè)計問題,體現(xiàn)一個"活"字

課堂教學(xué)中,教師要時刻關(guān)注教學(xué)的進程,關(guān)心每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài),切實提高課堂效率.有研究表明,學(xué)生對問題產(chǎn)生困惑并產(chǎn)生求解問題的強烈愿望,或者學(xué)生遭到理智的挑戰(zhàn),這個時候是給學(xué)生答疑解疑的最佳時機.教師要及時在學(xué)生思維容易阻塞的地方巧妙設(shè)疑,創(chuàng)設(shè)"憤""悱"情境,給學(xué)生提供合作交流的機會,集思廣益,開拓思路,釋疑解疑.同時,還應(yīng)根據(jù)學(xué)生在課堂中反饋的情況,進行必要地點撥、歸納、提煉,并適度地對所涉及知識和方法進行變式訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,發(fā)展其創(chuàng)造力.

圖4

案例3:"勾股定理專題復(fù)習(xí)---翻折問題"教學(xué)片段.

如圖4,在矩形ABCD中, AB=6,AD=10,將矩形ABCD沿對角線AC折疊,使點D落在點F處, AF與BC交于點E,求線段CE的長.

生1:假設(shè)CE=x,則BE=10-x.

在Rt△EFC中,只知道CE=x,CF=6;

在Rt△ABE中,只知道BE=10-x,AB=6.

因此,我無法利用勾股定理來列方程.

師:好的.在這個問題中,我們暫時還沒有找到一個直角三角形,它的三邊要么是已知量,要么是用同一個未知量來表示的,正如生1所說,無法利用勾股定理來列方程.

師:請仔細觀察圖形,回答如下問題.

問題1:除了Rt△ABC≌Rt△CDA,圖中是否還存在全等三角形?說說你的理由.

生2:因為CF=AB,∠CEF=∠AEB,∠F=∠B=90°,所以△CEF≌△AEB.

師(追問):非常好,利用△CEF≌△AEB,我們能得到什么?

生3:AE=CE=x,在Rt△ABE中,BE=10-x,AB=6,AE= x,利用勾股定理列方程就能解決問題了.

師:全等三角形的相關(guān)知識是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),通過三角形的全等可證得線段的相等、角度的相等.全等三角形是幾何知識之間聯(lián)系的紐帶.

問題2:除了利用全等三角形證明CE=AE,你還有其他方法說明CE=AE嗎?

生4:因為AD//BC,所以∠DAC=∠BCA,由翻折可知∠DAC=∠FAC,所以∠FAC=∠BCA,所以AE=CE.

師:利用角的相等來證明線段的相等也是幾何推理中最常用、最快捷的方法,我們應(yīng)當(dāng)予以重視.

……

教學(xué)思考:綜觀上述教學(xué)過程,當(dāng)學(xué)生解題思路受阻時,教師不妨設(shè)置一些簡單的問題作為鋪墊,將需要解決的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的問題,進而解決問題.有時,教師還要引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)去探索解決問題所需要的條件,讓結(jié)論與條件之間有雙向溝通,逐步積累搜集信息、分析信息、加工信息、應(yīng)用信息的能力.有時,教師還要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去看待同一個問題,靈活運用不同的方法(知識)去解決同一個問題,積累解題經(jīng)驗,優(yōu)化解題方法,形成數(shù)學(xué)思想,生成學(xué)習(xí)智慧.

四、注重內(nèi)在關(guān)聯(lián),在構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)處設(shè)計問題,體現(xiàn)一個"實"字

數(shù)學(xué)知識是一個整體,不同的數(shù)學(xué)知識之間存在著重要的聯(lián)系.學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)理解的同時,應(yīng)當(dāng)了解、溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.但是在編制教材時,教學(xué)內(nèi)容是以課時為單位來設(shè)計的,前后知識雖然有一定的聯(lián)系,但其呈現(xiàn)形式還是相對獨立的.加上受到初中學(xué)生認(rèn)知水平、認(rèn)知發(fā)展的限制,在沒有教師引導(dǎo)的情況下,大多數(shù)學(xué)生往往不容易發(fā)現(xiàn)知識之間的關(guān)聯(lián).因此,在教學(xué)中,教師要在適當(dāng)?shù)臅r機,利用適當(dāng)?shù)男问胶头椒ㄒ龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.特別是在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中,例題與習(xí)題的選擇,既要重視章節(jié)知識的鞏固、整理、歸納、提升,又要兼顧到前后知識的聯(lián)系與綜合,在構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)處設(shè)計問題,使各部分知識之間有機地聯(lián)系起來,形成一個條理化、有序化和網(wǎng)絡(luò)化的數(shù)學(xué)知識整體.蘇聯(lián)教育家烏申斯基指出"智慧不是別的,而是組織良好的知識體系".只有數(shù)學(xué)知識之間上下溝通、左右逢源了,學(xué)生的頭腦中才會建立起一個完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu),數(shù)學(xué)課堂教學(xué)才能扎實、有效、有智慧.

案例4:"反比例函數(shù)復(fù)習(xí)課"教學(xué)片段(初三中考復(fù)習(xí)).

圖5

生1:利用OA的垂直平分線交OC于B,得OB=AB,所以△ABC的周長=AB+BC+CA=OC+CA.

師:很好,生1將求△ABC的周長問題轉(zhuǎn)化成了求兩條線段長之和了.

問題1:請說說OC、CA的幾何意義是什么.

生2:OC、CA的長分別是點A的橫、縱坐標(biāo)的值.

問題2:若設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,y)(x>0,y>0),那么△ABC的周長等于多少?

生2:x+y.

師:求△ABC的周長是一個幾何問題,我們將它轉(zhuǎn)化成了代數(shù)式x+y的求值問題.利用代數(shù)方法解決幾何問題是一種非常好的解題策略.(展示解答過程)

解:易知OB=AB,所以△ABC的周長等于OC+AC.

若設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,y)(x>0,y>0),那么△ABC的周長等于x+y.

教學(xué)思考:著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾經(jīng)說過:復(fù)雜的問題要善于"退","退"到原始而不失重要性的地方.本例中△ABC的周長從"AB+BC+CA"到"OC+AC",再到"x+y",實質(zhì)上是一個以"形"想"數(shù)"的過程,這樣的思維訓(xùn)練對學(xué)生發(fā)散思維能力的提升有所裨益.幾何問題→代數(shù)問題→解決問題,這是一種關(guān)于解題的很流行的觀點,雖然這種方法不是萬能的,但它所體現(xiàn)的化歸思想確實是非常有價值的.點A的坐標(biāo)是求解本題的中間量──已知與未知之間的橋梁,設(shè)而不求、整體代入、簡化運算的求解方法是學(xué)生必須掌握的基本方法之一.

在數(shù)學(xué)教學(xué)問題設(shè)計中,設(shè)計問題的目的無非是想讓學(xué)生在真實的情景中自然生成教材中相應(yīng)的觀點和原理,或者通過設(shè)制鋪墊幫助學(xué)生解決疑難問題,以保證學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性、系統(tǒng)性、有效性和持久性.因此,對于問題的設(shè)計,教師要盡可能縝密思考、懸于教材、兼顧學(xué)情、科學(xué)合理,讓學(xué)生從教師的問題設(shè)計中發(fā)現(xiàn)新知、激發(fā)情趣、啟迪思維.同時在問題的教學(xué)過程中,教師還應(yīng)注意自身的情感滲透,使問題在學(xué)生心靈中產(chǎn)生最大的吸引力,從而實現(xiàn)問題設(shè)計凸顯教師智慧與藝術(shù),課堂演繹呈現(xiàn)學(xué)生精彩并高效的目的.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

2.陳光林."巧設(shè)問題"打造"有效課堂"[J].中學(xué)物理,2014(3).

3.賴虎強.面積問題串算推一線牽---讓勾股定理及其證明自然發(fā)生[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中), 2015(10).