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        簡證任意閉合電流線圈在勻強磁場中所受安培力為零

        2016-09-18 01:43:50
        物理通報 2016年8期
        關(guān)鍵詞:強磁場安培力矢量

        李 力

        (重慶市清華中學 重慶 400054)

        張貴華

        (重慶市實驗中學 重慶 401320)

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        簡證任意閉合電流線圈在勻強磁場中所受安培力為零

        李 力

        (重慶市清華中學重慶400054)

        張貴華

        (重慶市實驗中學重慶401320)

        在中學物理教學中,常見如下問題:如圖1所示,求垂直勻強磁場放置的三角形a或圓形b電流線圈所受的安培力.根據(jù)矢量求和以及對稱性,不難求出安培力的合力為零.有學生和教師進一步問及:如圖1,任意形狀的平面通電線圈c,所受安培力是否為零?如果仍然為零,怎樣證明?

        圖1

        在大學普通物理教學中對此問題也有論述.例如在文獻[1]中,先對矩形線圈證明了安培力為零,然后對任意形狀的平面線圈,在線圈平面與磁場平行的情況下(如圖2),用微元法證明了這個結(jié)論.同時文獻[1]還指出:“讀者可以證明,對于線圈平面與磁場垂直的情況,整個線圈所受的合力為零”,但沒有給出其具體證明過程,更沒有給出磁場與線圈平面斜交時安培力合力為零的證明.

        事實上,從本文即將給出的兩個非常簡明而且一般性的證明方法可以看出,此結(jié)論不但跟線圈的形狀無關(guān),還與線圈在磁場中放置的方位無關(guān),甚至同線圈是否為平面線圈無關(guān),僅需線圈閉合即可,可以完整地表述如下.

        圖2

        定理:在勻強磁場中的任意閉合電流線圈,無論形狀、放置方位如何,以及是否為平面線圈,其所受的安培力都等于零.

        證明1:在空間直角坐標系O-xyz中,線圈上線元矢量dl=(dx,dy,dz),設(shè)B=(Bx,By,Bz),則線元所受安培力

        其z分量寫為

        dFz=(Idl×B)z=I(Bydx-Bxdy)

        沿閉合線圈L積分,注意到磁場處處相同,可以把常量I,By,Bx從積分號內(nèi)提取出來,所以有

        Fz=∮LdFz=I∮L(Bydx-Bxdy)=

        I(By·∮Ldx-Bx·∮Ldy)=

        I(By·0-Bx·0)=0

        倒數(shù)第二步是因為沿任意閉合曲線一圈,終點回到起點,總有

        ∮Ldx=∮Ldy=0

        同理可得安培力其余兩個分量

        Fx=Fy=0

        從而F=0.

        證明2:因為I,B都是常量,故

        F=∮LdF=∮L(Idl×B)=

        I(∮Ldl)×B=I·0×B=0

        其中∮Ldl=0是由于線圈閉合,全部線元矢量和為零的緣故.

        最后順便指出,雖然在勻強磁場中閉合電流線圈所受安培力為零,但其所受安培力的力矩一般不為零;另外,如果將閉合電流線圈置于非勻強磁場中,它所受的安培力一般也是不等于零的.

        1趙凱華,陳熙謀.新概念物理教程·電磁學(第2版).北京:高等教育出版社,2006.136,137

        2016-04-22)

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