李 力

(重慶市清華中學(xué)　重慶　400054)

張貴華

(重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)　重慶　401320)

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簡(jiǎn)證任意閉合電流線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中所受安培力為零

李 力

(重慶市清華中學(xué)重慶400054)

張貴華

(重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)重慶401320)

在中學(xué)物理教學(xué)中，常見如下問題：如圖1所示，求垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)放置的三角形a或圓形b電流線圈所受的安培力.根據(jù)矢量求和以及對(duì)稱性，不難求出安培力的合力為零.有學(xué)生和教師進(jìn)一步問及：如圖1，任意形狀的平面通電線圈c，所受安培力是否為零？如果仍然為零，怎樣證明？

圖1

在大學(xué)普通物理教學(xué)中對(duì)此問題也有論述.例如在文獻(xiàn)[1]中，先對(duì)矩形線圈證明了安培力為零，然后對(duì)任意形狀的平面線圈，在線圈平面與磁場(chǎng)平行的情況下(如圖2)，用微元法證明了這個(gè)結(jié)論.同時(shí)文獻(xiàn)[1]還指出：“讀者可以證明，對(duì)于線圈平面與磁場(chǎng)垂直的情況，整個(gè)線圈所受的合力為零”，但沒有給出其具體證明過程，更沒有給出磁場(chǎng)與線圈平面斜交時(shí)安培力合力為零的證明.

事實(shí)上，從本文即將給出的兩個(gè)非常簡(jiǎn)明而且一般性的證明方法可以看出，此結(jié)論不但跟線圈的形狀無關(guān)，還與線圈在磁場(chǎng)中放置的方位無關(guān)，甚至同線圈是否為平面線圈無關(guān)，僅需線圈閉合即可，可以完整地表述如下.

圖2

定理：在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的任意閉合電流線圈，無論形狀、放置方位如何，以及是否為平面線圈，其所受的安培力都等于零.

證明1：在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，線圈上線元矢量dl=(dx,dy,dz)，設(shè)B=(Bx,By,Bz)，則線元所受安培力

其z分量寫為

dFz=(Idl×B)z=I(Bydx-Bxdy)

沿閉合線圈L積分，注意到磁場(chǎng)處處相同，可以把常量I,By,Bx從積分號(hào)內(nèi)提取出來，所以有

Fz=∮LdFz=I∮L(Bydx-Bxdy)=

I(By·∮Ldx-Bx·∮Ldy)=

I(By·0-Bx·0)=0

倒數(shù)第二步是因?yàn)檠厝我忾]合曲線一圈，終點(diǎn)回到起點(diǎn)，總有

∮Ldx=∮Ldy=0

同理可得安培力其余兩個(gè)分量

Fx=Fy=0

從而F=0.

證明2：因?yàn)镮,B都是常量，故

F=∮LdF=∮L(Idl×B)=

I(∮Ldl)×B=I·0×B=0

其中∮Ldl=0是由于線圈閉合，全部線元矢量和為零的緣故.

最后順便指出，雖然在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中閉合電流線圈所受安培力為零，但其所受安培力的力矩一般不為零；另外，如果將閉合電流線圈置于非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，它所受的安培力一般也是不等于零的.

1趙凱華,陳熙謀.新概念物理教程·電磁學(xué)(第2版).北京：高等教育出版社,2006.136,137

2016-04-22)