李 力
(重慶市清華中學(xué) 重慶 400054)
張貴華
(重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 重慶 401320)
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簡(jiǎn)證任意閉合電流線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中所受安培力為零
李 力
(重慶市清華中學(xué)重慶400054)
張貴華
(重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)重慶401320)
在中學(xué)物理教學(xué)中,常見如下問題:如圖1所示,求垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)放置的三角形a或圓形b電流線圈所受的安培力.根據(jù)矢量求和以及對(duì)稱性,不難求出安培力的合力為零.有學(xué)生和教師進(jìn)一步問及:如圖1,任意形狀的平面通電線圈c,所受安培力是否為零?如果仍然為零,怎樣證明?
圖1
在大學(xué)普通物理教學(xué)中對(duì)此問題也有論述.例如在文獻(xiàn)[1]中,先對(duì)矩形線圈證明了安培力為零,然后對(duì)任意形狀的平面線圈,在線圈平面與磁場(chǎng)平行的情況下(如圖2),用微元法證明了這個(gè)結(jié)論.同時(shí)文獻(xiàn)[1]還指出:“讀者可以證明,對(duì)于線圈平面與磁場(chǎng)垂直的情況,整個(gè)線圈所受的合力為零”,但沒有給出其具體證明過程,更沒有給出磁場(chǎng)與線圈平面斜交時(shí)安培力合力為零的證明.
事實(shí)上,從本文即將給出的兩個(gè)非常簡(jiǎn)明而且一般性的證明方法可以看出,此結(jié)論不但跟線圈的形狀無關(guān),還與線圈在磁場(chǎng)中放置的方位無關(guān),甚至同線圈是否為平面線圈無關(guān),僅需線圈閉合即可,可以完整地表述如下.
圖2
定理:在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的任意閉合電流線圈,無論形狀、放置方位如何,以及是否為平面線圈,其所受的安培力都等于零.
證明1:在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,線圈上線元矢量dl=(dx,dy,dz),設(shè)B=(Bx,By,Bz),則線元所受安培力
其z分量寫為
dFz=(Idl×B)z=I(Bydx-Bxdy)
沿閉合線圈L積分,注意到磁場(chǎng)處處相同,可以把常量I,By,Bx從積分號(hào)內(nèi)提取出來,所以有
Fz=∮LdFz=I∮L(Bydx-Bxdy)=
I(By·∮Ldx-Bx·∮Ldy)=
I(By·0-Bx·0)=0
倒數(shù)第二步是因?yàn)檠厝我忾]合曲線一圈,終點(diǎn)回到起點(diǎn),總有
∮Ldx=∮Ldy=0
同理可得安培力其余兩個(gè)分量
Fx=Fy=0
從而F=0.
證明2:因?yàn)镮,B都是常量,故
F=∮LdF=∮L(Idl×B)=
I(∮Ldl)×B=I·0×B=0
其中∮Ldl=0是由于線圈閉合,全部線元矢量和為零的緣故.
最后順便指出,雖然在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中閉合電流線圈所受安培力為零,但其所受安培力的力矩一般不為零;另外,如果將閉合電流線圈置于非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,它所受的安培力一般也是不等于零的.
1趙凱華,陳熙謀.新概念物理教程·電磁學(xué)(第2版).北京:高等教育出版社,2006.136,137
2016-04-22)