張　晨，謝　潔

(南京電子技術(shù)研究所，　南京 210039)

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·信號處理·

基于矩陣優(yōu)化理論的自適應(yīng)數(shù)字波束形成算法研究

張晨，謝潔

(南京電子技術(shù)研究所，南京 210039)

自適應(yīng)數(shù)字波束形成作為天線技術(shù)和數(shù)字信號處理融合的產(chǎn)物，近年來成為跨領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，并且廣泛應(yīng)用到新一代的相控陣?yán)走_(dá)和移動(dòng)通信中。文中提出一種基于矩陣流形理論的自適應(yīng)波束形成算法。不同于傳統(tǒng)的波束形成算法，該算法將波束形成問題轉(zhuǎn)化為高維優(yōu)化問題，并引入矩陣流形優(yōu)化理論，在Stiefel流形上求解該問題。由于降低了求解問題的維度，限制了最優(yōu)解的范圍，該算法相比于傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成算法，具有收斂速度快、運(yùn)算量小、魯棒性好的優(yōu)點(diǎn)。

自適應(yīng)波束形成；矩陣優(yōu)化；相控陣?yán)走_(dá)；流形

0　引　言

隨著數(shù)字信號處理以及天線技術(shù)的日新月異，自適應(yīng)數(shù)字波束形成[1]作為二者融合產(chǎn)生的一種新型的技術(shù)，越來越多地應(yīng)用到新一代的相控陣?yán)走_(dá)[2]及通信系統(tǒng)中；在第四代移動(dòng)通信系統(tǒng)(LTE-A)中，更是將其命名為智能天線技術(shù)[3]。自適應(yīng)數(shù)字波束形成是陣列天線用于復(fù)雜信號環(huán)境的一種波控技術(shù)。其基本思想是將多元陣列的各陣元輸出加權(quán)求和，根據(jù)相應(yīng)的最優(yōu)化準(zhǔn)則，通過自適應(yīng)算法，使陣列的輸出對不同空間方向的信號產(chǎn)生不同的響應(yīng)，實(shí)現(xiàn)陣列波束指向控制和干擾、旁瓣對消，從而獲得比較高的信干噪比[4]。

自適應(yīng)波束形成的概念由Van Atta于1959年提出，但因?yàn)橛布l件的限制，早期的研究拘泥于自適應(yīng)波束的控制；近年來，由于數(shù)字信號處理和微處理器技術(shù)的飛速發(fā)展，自適應(yīng)數(shù)字波束形成技術(shù)也隨之成熟，應(yīng)用范圍從相控陣?yán)走_(dá)，擴(kuò)展到通信系統(tǒng)。因此，如何設(shè)計(jì)一種收斂速度快、運(yùn)算量小，且魯棒性優(yōu)越的自適應(yīng)波束形成算法，便成為該領(lǐng)域研究的核心。

傳統(tǒng)的幾種自適應(yīng)波束形成算法各有其優(yōu)劣性：最小均方(LMS)算法基于梯度運(yùn)算[5]，易于實(shí)現(xiàn)，但是收斂速度受協(xié)方差矩陣的特征值分布影響，當(dāng)特征值范圍較大時(shí)，收斂速度很慢。矩陣求逆(SMI)算法收斂速度較快[6]，但是運(yùn)算量太大，硬件實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，尤其當(dāng)采樣數(shù)較少時(shí)，會(huì)影響波束的副瓣性能，不能有效抑制干擾，嚴(yán)重時(shí)會(huì)引起自適應(yīng)主波束的畸變。遞歸算法(RLS)由于避免了直接求逆[7]，在一定程度上克服了SMI算法運(yùn)算量大的缺點(diǎn)，但該算法收斂速度慢于SMI算法，且數(shù)值不穩(wěn)定，容易收斂到奇異點(diǎn)。

1　自適應(yīng)波束形成原理與模型

1.1自適應(yīng)波束形成原理

自適應(yīng)波束形成是一種控制反饋的波控技術(shù)，且發(fā)射和接收端均可應(yīng)用。它根據(jù)一定的準(zhǔn)則，采用數(shù)字信號處理技術(shù)，計(jì)算天線陣列的加權(quán)矢量，通過對信號進(jìn)行加權(quán)合并，在有用信號方向上形成主波束，而在干擾方向上形成零陷，從而提高信號的輸出信干噪比。

1.2自適應(yīng)置零

自適應(yīng)置零作為適應(yīng)波束形成的一個(gè)典型應(yīng)用，從本質(zhì)上說就是空間上的自適應(yīng)濾波：通過自適應(yīng)的波束控制器，來不斷調(diào)整輔助天線的加權(quán)系數(shù)，使得天線方向圖波束在干擾方向呈現(xiàn)阻態(tài)特性，從而在保持主瓣特性的同時(shí)，使得從天線副瓣進(jìn)來的干擾衰減到最小。

如圖1所示，自適應(yīng)置零的基本流程如下：

圖1　自適應(yīng)置零原理框圖

(1)對輔助天線進(jìn)行干擾采樣，計(jì)算出各輔助天線的干擾協(xié)方差矩陣R

(1)

式中：[]H代表共軛轉(zhuǎn)置；xm(k)代表第m個(gè)輔助通道k時(shí)刻的采樣點(diǎn)。

(2)計(jì)算主副天線的干擾相關(guān)矩陣P(m)

(2)

式中：p(k)為主天線k時(shí)刻的采樣點(diǎn)。

(3)最優(yōu)相消準(zhǔn)則

存在一組最優(yōu)的輔助天線的權(quán)值W=[w1,w2,…,wn]T，[]T代表轉(zhuǎn)置，使得R-MW盡可能地接近于0。

為了方便矩陣計(jì)算，對于最優(yōu)準(zhǔn)則，等價(jià)變換為式(3)的凸優(yōu)化問題，求解使得目標(biāo)函數(shù)f最小的W

(3)

式中：‖‖為矩陣的范數(shù)；I為歸一化矩陣，設(shè)置WHW=I的條件是為了保證W為滿秩矩陣，避免出現(xiàn)某一個(gè)或多個(gè)權(quán)值等于零的無意義解。

2　矩陣優(yōu)化理論與算法

2.1矩陣流形優(yōu)化理論

矩陣優(yōu)化理論廣泛應(yīng)用于通信和控制領(lǐng)域，尤其對于求解高維度的矩陣問題，矩陣優(yōu)化算法具有良好的收斂特性。

矩陣流形是內(nèi)嵌在一個(gè)更高維度的歐幾里得空間中的集合[8]。進(jìn)一步可以定義為歐氏空間中滿足一定映射關(guān)系或者條件的矩陣子集合。Stiefel流形內(nèi)嵌在n乘以p維度的高維復(fù)數(shù)空間里，可以定義為滿足以下條件的矩陣的集合

St(n,p)={X∈￡n×p：XHX=I}

(4)

式中：￡n×p代表n×p維度的復(fù)數(shù)空間。Stiefel流形是一個(gè)緊湊的流形，Stiefel流形的維度為

(5)

從式(5)可以看出，相比傳統(tǒng)的LMS，SMI算法的n×p維度的解空間，Stiefel流形已經(jīng)降低了解空間的維度；更重要的是，如果將目標(biāo)函數(shù)式(3)在Stiefel流形上重組，就會(huì)去掉約束條件WHW=I的束縛，將原本有約束的問題轉(zhuǎn)化為無約束的問題。

眾所周知，對于一個(gè)可微目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，最直接有效的方法，就是在該問題的約束集內(nèi)，沿著梯度方向，按照合適的步長，移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)的測試點(diǎn)，直到梯度為零，或目標(biāo)函數(shù)到達(dá)極值；這意味著該優(yōu)化問題得到了局部或者全局最優(yōu)點(diǎn)。矩陣流形的優(yōu)化，雖然與之類似[8]，但是也有三個(gè)難題：首先，為了定義流形上的算法，以上描述的優(yōu)化步驟必須映射成矩陣流形上對應(yīng)的操作；其次，如何得到合適的收斂步長也是決定收斂速度的關(guān)鍵因素；最后，目標(biāo)函數(shù)迭代收斂后，必須保證最優(yōu)解處在流形內(nèi)。以下分別對這三點(diǎn)進(jìn)行推導(dǎo)和論述。

由于目標(biāo)函數(shù)式(3)是一個(gè)從多維復(fù)數(shù)空間到一維實(shí)數(shù)空間的映射，并且是可微函數(shù)，因此可以通過推導(dǎo)Stiefel流形上的梯度表達(dá)式，最終得出Stiefel流形上的梯度算法來達(dá)到自適應(yīng)波束形成。由文獻(xiàn)[8]可推導(dǎo)出Stiefel流形的梯度方向的表達(dá)式為

(6)

式中：DX是目標(biāo)函數(shù)f在X處的一階導(dǎo)數(shù)，可分別對X的實(shí)部和虛部求一階Jacobian矩陣得到。Stiefel流形里任意一個(gè)矩陣X的梯度方向Z是該矩陣的切空間內(nèi)的元素[8]。Stiefel流形里矩陣X的切空間TX(n,p)定義為

TX(n,p)={Z∈￡n×p：Z=XA+X⊥B,A+AH=I}

(7)

式中：X⊥定義為矩陣X滿足[XX⊥]H[XX⊥]=I的正交補(bǔ)集；A和B為滿秩矩陣。

推導(dǎo)出Stiefel流形的梯度表達(dá)式之后，本文基于Armijo Step Rule[9]來設(shè)計(jì)自適應(yīng)的線性步長選擇機(jī)制，作為目標(biāo)函數(shù)沿Stiefel流形的梯度方向移動(dòng)時(shí)的步長選擇法則。Armijo步長法則要求步長α必須滿足如下兩個(gè)不等式

(8)

f(X)-f(X+2α·Z)<α·

(9)

式中：表示矩陣Z的內(nèi)積。式(8)保證了所選擇的步長能夠盡可能大幅度地減小目標(biāo)函數(shù)，而式(9)主要證明該情況下二倍的步長不是最優(yōu)的選擇，從而間接保證了收斂步長不至于過大而錯(cuò)過了最優(yōu)點(diǎn)。

圖2　Stiefel流形切空間及投影

2.2自適應(yīng)波束形成算法

總結(jié)以上的推導(dǎo)，可以得出基于矩陣優(yōu)化理論的自適應(yīng)波束形成的程序化迭代算法[11]。

迭代初始化：隨機(jī)生成W=[w1,w2,…,wn]的復(fù)數(shù)加權(quán)矩陣。

(1) 計(jì)算Jacobian偏導(dǎo)矩陣[9]：分別計(jì)算目標(biāo)函數(shù)式(3)中的f對W的實(shí)部和虛部的Jacobian偏導(dǎo)矩陣DR和DI，得到一階微分為DW=DR+j·DI。

(3)計(jì)算A=W+2αZ：

如果f(W)-f(A)≥α·，則令α=2α，重復(fù)步驟(3)。

(4)計(jì)算B=W+αZ：

(5)重復(fù)迭代，直到f(W)收斂到幾乎接近于零的值。

(6)投影W=π(W+αZ)，求得最優(yōu)權(quán)值解W。

從上面的算法流程可以看出，步驟(4)和步驟(5)應(yīng)用了Armijo步長法則，尋找合適的收斂步進(jìn)；而迭代過程中流形投影的操作，使得每次迭代的結(jié)果都被約束在流形內(nèi)。

3　仿真與分析

上節(jié)闡述了基于矩陣流形優(yōu)化的自適應(yīng)波束算法，本節(jié)將結(jié)合自適應(yīng)置零的系統(tǒng)模型，對該算法進(jìn)行蒙特卡洛仿真，同時(shí)對比傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成算法，進(jìn)行理論分析。

仿真條件：如圖1所示，本文選取10個(gè)輔助天線n=10，干擾信號xm(k)為連續(xù)波干擾信號，信號采樣點(diǎn)數(shù)k等于1 024。則干擾協(xié)方差矩陣R為n×n=10×10維度的矩陣，主副天線的干擾相關(guān)矩陣P為n×1=10×1的列向量，最優(yōu)的輔助天線的權(quán)值W=[w1,w2,…,wn]T為n×1=10×1的列向量。

仿真方法：本文進(jìn)行了100次蒙特卡洛仿真，每次仿真算法迭代300次，并將每次迭代的結(jié)果對100次蒙特卡洛仿真取平均值。

仿真對比：設(shè)置同樣的仿真條件和目標(biāo)函數(shù)對最小均方算法和遞歸算法進(jìn)行迭代計(jì)算。

歸一化：為了方便計(jì)算和對比結(jié)果，以下仿真數(shù)值均顯示目標(biāo)函數(shù)歸一化之后的計(jì)算結(jié)果。實(shí)際目標(biāo)函數(shù)的具體數(shù)值由信噪比的大小決定。

從圖3可以看出基于Stiefel流形(ST算法)的自適應(yīng)波束算法的收斂性能要遠(yuǎn)好于最小均方算法和遞歸算法。

圖3　目標(biāo)函數(shù)迭代結(jié)果

將迭代結(jié)果帶入自適應(yīng)置零的準(zhǔn)則中，求得自適應(yīng)置零后的信噪比，如圖4所示。從圖中可以看出，由于ST算法計(jì)算得到的天線權(quán)值向量更接近最優(yōu)解，所以其信噪比更高，自適應(yīng)置零的效果更好。

圖4　自適應(yīng)置零后的信噪比

仿真結(jié)果分析：

(1)如前文闡述，由于矩陣流形優(yōu)化實(shí)際是一種降維運(yùn)算；尤其當(dāng)輔助天線個(gè)數(shù)很多或者干擾源較多時(shí)，流形優(yōu)化算法的求解空間維度要遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的高維矩陣算法，如式(5)所示，所以該算法的收斂速度更快。

(2)由于Stiefel流形實(shí)際上限制了最優(yōu)解的范圍WHW=I，避免出現(xiàn)某一個(gè)或多個(gè)權(quán)值等于零的無意義解，使得該算法的魯棒性較好。對比SMI算法，在同樣條件的仿真下，由于SMI算法自身的缺陷，有數(shù)次仿真迭代到奇異點(diǎn)，并沒有收斂[12]。這也從另一方面證明了基于Stiefel流形算法魯棒性上的優(yōu)勢。

(3)相比于SMI算法需要對干擾信號進(jìn)行平穩(wěn)采樣，以及LMS算法的收斂速度受協(xié)方差矩陣的特征值分布影響[13]，基于Stiefel流形的算法對干擾信號的特征并無特殊要求。這也是該算法的另一個(gè)優(yōu)勢。

4　結(jié)束語

本文研究并設(shè)計(jì)了一種基于矩陣流形理論的自適應(yīng)波束形成算法。相比于傳統(tǒng)的波束形成算法，該算法將波束形成問題轉(zhuǎn)化為高維優(yōu)化問題，并引入矩陣流形優(yōu)化理論，在Stiefel流形上求解該問題，從而降低了求解問題的維度，限制了最優(yōu)解的范圍。通過蒙特卡洛數(shù)值仿真和理論分析，表明該算法相比于傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成算法，具有收斂速度快，運(yùn)算量小，魯棒性好的優(yōu)點(diǎn)。

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張晨男，1985年生，博士。研究方向?yàn)槔走_(dá)總體技術(shù)與信號處理。

謝潔女， 1979年生，高級工程師。研究方向?yàn)槔走_(dá)總體技術(shù)與信號處理。

A Study on Adaptive Digital Beamforming Algorithm Based on Matrix Optimization Theory

ZHANG Chen，XIE Jie

(Nanjing Research Institute of Electronics Technology,Nanjing 210039, China)

Adaptive digital beam forming is a fusion of antenna technology and digital signal processing, which has become a hot research topic in the cross domain, and widely used in the new generation of phased array radar and mobile communication. In this paper, an adaptive beamforming algorithm based on matrix manifold theory is proposed. Different from the traditional beamforming algorithms, this algorithm transforms the beamforming problem into a high dimensional optimization problem, and introduces the theory of the optimization of the matrix to solve the problem on the Stiefel manifold. Because the dimension of solving problem is reduced and the range of the optimal solution is limited, compared with the traditional adaptive beamforming algorithms, the proposed algorithm has the advantages of fast convergence speed, small computation quantity and good robustness.

adaptive digital beamforming; matrix optimization; phased array radar; manifold

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.08.009

張晨Email：ideawith@qq.com

2016-05-03

2016-07-03

TN957

A

1004-7859(2016)08-0039-04