王　力，何丙發(fā)，孫慶鋒

(南京電子技術(shù)研究所，　南京 210039)

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·天饋伺系統(tǒng)·

一種陣列天線快速波束賦形方法

王力，何丙發(fā)，孫慶鋒

(南京電子技術(shù)研究所，南京 210039)

介紹了一種陣列天線快速賦形方法，該方法基于Orchard綜合，采用遺傳算法對Schelkunoff單位圓零點(diǎn)的位置移動(dòng)實(shí)現(xiàn)波束賦形。波束賦形分為兩個(gè)步驟：1)根據(jù)副瓣電平采用解析法確定初始零點(diǎn)位置；2)以賦形區(qū)域內(nèi)零點(diǎn)徑向位移作為自由度，用遺傳算法進(jìn)行賦形區(qū)域單目標(biāo)尋優(yōu)。相對常見以陣元的幅度相位作為自由度編碼的遺傳算法賦形，該方法不僅有效避免了副瓣和賦形區(qū)的多目標(biāo)均衡問題，而且算法自由度大幅減少，收斂速度快，能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)較低副瓣電平和賦形區(qū)精度要求。通過余割平方賦形和扇形波束兩個(gè)實(shí)例說明該方法的有效性，可以應(yīng)用于陣列天線快速賦形設(shè)計(jì)。

波束賦形；Orchard綜合；遺傳算法

0　引　言

在雷達(dá)、通信等領(lǐng)域中，往往需要特殊形狀的天線波束賦形。根據(jù)波束形狀求解陣列天線單元間距、激勵(lì)的幅度和相位稱為天線綜合。這是天線設(shè)計(jì)過程中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)。

實(shí)現(xiàn)波束賦形常見方法為解析法和各類搜素算法。解析法包括傅里葉變換法和Woodward綜合法等[1]。傅里葉變換法是綜合方向圖最直接的方法，但是這種方法需要獲得目標(biāo)方向圖的解析表達(dá)式，求解困難。Woodward綜合法也被稱作零點(diǎn)填充法，在賦形區(qū)域能較好逼近預(yù)期方向圖，但在非賦形區(qū)域卻不能控制副瓣電平。

除了解析法，各類搜索算法也逐漸被天線設(shè)計(jì)所采用。Powell算法[2]等直接搜索算法思路簡單、計(jì)算速度快，然而屬于局部尋優(yōu)算法，尋優(yōu)能力受限。除此以外，智能搜索算法由于其全局搜索特性得到廣泛應(yīng)用，典型的搜索算法包括遺傳算法[3]和粒子群算法[4]以及基于上述算法的改進(jìn)[5-6]。

遺傳算法是20世紀(jì)60、70年代由Holland等人提出的一種全局優(yōu)化算法，通過模擬生物進(jìn)化過程尋找最優(yōu)解，本質(zhì)上是一種高度并行、隨機(jī)、自適應(yīng)全局搜索方法。遺傳算法簡單通用、穩(wěn)健性強(qiáng)，適用于處理傳統(tǒng)搜索方法難于解決的復(fù)雜和非線性問題，近年來，在天線陣列的設(shè)計(jì)中有較多應(yīng)用。

采用遺傳算法實(shí)現(xiàn)天線波束賦形時(shí)，通常采用所有陣元的激勵(lì)幅度和相位作為自由度進(jìn)行編碼，方向圖中賦形與副瓣等區(qū)域需要分別滿足誤差與副瓣電平等多個(gè)目標(biāo)。因此，存在如下問題：(1)變量自由度為陣元數(shù)目的2倍，當(dāng)陣元數(shù)目較多時(shí)，計(jì)算速度明顯減慢；(2)多目標(biāo)優(yōu)化容易陷入局部收斂，造成單目標(biāo)占優(yōu)；(3)低副瓣難以控制，當(dāng)副瓣低于-30dB時(shí)，實(shí)際副瓣電平小于主瓣電平的1/1 000，陣元的幅相微小擾動(dòng)就會(huì)造成副瓣較大起伏，因此副瓣進(jìn)一步降低的程度有限。

為了解決上述問題，本文提出了一種新的零點(diǎn)優(yōu)化算法。該方法基于Schelkunoff單位圓零點(diǎn)以及Or-chard綜合[7]，以滿足副瓣要求零點(diǎn)分布作為初始值，賦形區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)沿單位圓徑向位置變化作為自由度，采用遺傳算法進(jìn)行賦形優(yōu)化。本方法有如下優(yōu)勢：副瓣目標(biāo)由初始值實(shí)現(xiàn)，自由度顯著減少，多目標(biāo)函數(shù)簡化為僅僅賦形區(qū)域單目標(biāo)函數(shù)，求解空間縮小，收斂速度加快，賦形精度明顯提高，可廣泛應(yīng)用于各類賦形天線設(shè)計(jì)中。

1　優(yōu)化方法

1.1Schelkunoff單位圓

Schelkunoff方法是天線陣列方向圖綜合中的一種經(jīng)典方法，可以在方向圖的指定位置產(chǎn)生零深。相比于其他綜合方法，這是一種更深入實(shí)質(zhì)的波束方向圖綜合技術(shù)。

由N個(gè)陣元均勻分布構(gòu)成的一維天線陣列陣因子可以寫成

(1)

式中：In為第n個(gè)陣元的電流激勵(lì)系數(shù)，具有復(fù)數(shù)形式；k=2π/λ為波束。在式中作變換u=sinθ，z=exp(jkdsinθ)，于是，陣列多項(xiàng)式可以寫為

(2)

以上多項(xiàng)式有N-1個(gè)復(fù)數(shù)根，通過因式分解得到

(3)

不妨令I(lǐng)N=1，并不影響方向圖特性，因此陣列因子的幅值可以簡化為

(4)

式中：zn=exp(jkdsinθn)，限制在單元圓上的復(fù)平面上的點(diǎn)，決定了方向圖中零點(diǎn)的位置。陣列因子的幅度等于單位圓上的點(diǎn)z=x+jy與各零點(diǎn)zn直線線段長度的乘積，如圖1a)所示。通過控制單位圓上的零點(diǎn)位置，增加主瓣寬度，降低副瓣電平。

Orchard等人提出了一種新的方向圖綜合技術(shù)，增加了零點(diǎn)位置的自由度，由單位圓擴(kuò)展到了單元外(內(nèi))，零點(diǎn)還可以沿單位圓徑向自由移動(dòng)，自由度由θn增加為(θπ, rn)，此時(shí)，zn=rnexp(jkdsinθn)，將式(4)展開后求得系數(shù)即為陣元的電流激勵(lì)。Orchard零點(diǎn)控制的優(yōu)勢在于能夠靈活控制每個(gè)起伏電平或者副瓣電平。

圖1b)為將副瓣區(qū)域內(nèi)任意兩個(gè)零點(diǎn)移至單位圓外后的方向圖。從圖中可以看出，增加零點(diǎn)自由度后，不僅可以改變副瓣電平，而且可以任意改變主瓣或者副瓣的形狀，由此方向圖可以分為賦形區(qū)和副瓣區(qū)兩個(gè)部分：副瓣區(qū)域N1個(gè)零點(diǎn)被限制在單位圓上，賦形區(qū)域N2個(gè)零點(diǎn)自由移動(dòng)，方向圖由N1+2N2個(gè)變量決定，通過各類算法即可求得最優(yōu)方向圖和零點(diǎn)位置，最終將多項(xiàng)式展開得到每個(gè)陣元的幅相分布。

圖1　單位圓零點(diǎn)位置及方向圖綜合

1.2遺傳算法

遺傳算法中包含了如下四個(gè)基本要素，如圖2所示。

圖2　遺傳算法流程

1)編碼：通過編碼將各種解表示成遺傳空間可以直接進(jìn)行算子操作的基因型串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)。方向圖綜合問題中包括每個(gè)陣元的電流幅度和相位兩個(gè)變量，通常采用級聯(lián)方式進(jìn)行編碼。若N個(gè)陣元的天線陣列第k個(gè)天線單元激勵(lì)電流的幅度和相位分別為Ik和φk，采用級聯(lián)編碼后，每組數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可以表示成(I1,I2,…,IN, φ1,φ2,…,φN)的形式。

2)初始群體：為遺傳操作準(zhǔn)備的由若干初始解組成的初始群體。

3)適應(yīng)度函數(shù)：遺傳算法在搜索進(jìn)化過程中用適應(yīng)度函數(shù)值來評估個(gè)體或解的優(yōu)劣，并作為以后遺傳操作的依據(jù)，通常取函數(shù)最大值或者最小值。

方向圖賦形綜合是一個(gè)多目標(biāo)多參數(shù)的非線性優(yōu)化問題，除了在賦形區(qū)需要逼近目標(biāo)方向圖外，在非賦形區(qū)還要盡可能地抑制副瓣電平。因此，適應(yīng)度函數(shù)要包括這兩個(gè)子目標(biāo)函數(shù)。通常采用權(quán)系數(shù)法，把這兩個(gè)子目標(biāo)函數(shù)按一定的權(quán)值相加，使之轉(zhuǎn)變成單目標(biāo)優(yōu)化問題。

設(shè)目標(biāo)方向圖為F0(θ)，綜合后實(shí)際方向圖為F(θ)，允許的最大誤差電平為eth；目標(biāo)最大副瓣電平為SLL0，實(shí)際最大副瓣電平為SLL；上述賦形主瓣與副瓣區(qū)域的目標(biāo)函數(shù)可以分別表達(dá)成

(5)

(6)

對兩個(gè)子目標(biāo)賦予不同的權(quán)重w1和w2，則適應(yīng)度函數(shù)可以寫成

(7)

通過計(jì)算適應(yīng)度函數(shù)的最小值，即可求得最優(yōu)化方向圖。

4)遺傳操作設(shè)計(jì)，包括選擇、交叉和變異：

(1) 選擇：從群體中選擇優(yōu)勝個(gè)體，把優(yōu)化的解直接遺傳到下一代。個(gè)體適應(yīng)度越高，其被選擇的機(jī)會(huì)就越多。

(2) 交叉：把兩個(gè)父代個(gè)體的部分結(jié)構(gòu)互相交換重組，生成新的個(gè)體。

(3) 變異：對群體中的個(gè)體串的某些位置上的基因值作變動(dòng)。

在實(shí)際方向圖綜合中發(fā)現(xiàn)，如果以陣元電流幅度和相位作為自由度，采用遺傳算法直接求解存在如下三個(gè)問題：

1) 自由度較多，每個(gè)陣元都包含幅度和相位兩個(gè)自由度，全陣列共有2N個(gè)自由度，隨著陣元的增加，計(jì)算量將急劇增加，收斂速度明顯變慢；

2) 需要同時(shí)兼顧賦形區(qū)域與副瓣區(qū)域兩個(gè)目標(biāo)，很難選擇合適的權(quán)系數(shù)w1和w2來平衡這兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，容易使某一種模式占優(yōu)，導(dǎo)致另外一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)難以實(shí)現(xiàn)，優(yōu)化效果有限；

3) 初始值不確定，搜索范圍較大，容易陷入局部最優(yōu)。

1.3優(yōu)化零點(diǎn)算法

為了解決以上問題，結(jié)合Orchard綜合靈活直觀的優(yōu)點(diǎn)，本文提出了基于Schelkunoff單位圓以及Orchard綜合的遺傳算法波束賦形，如圖3所示。由于陣元的電流幅相分布與方向圖零點(diǎn)位置存在對應(yīng)關(guān)系，因此可以將求解電流幅相Ik，φk分布等價(jià)為求解零點(diǎn)位置θk，rk。通過詳細(xì)分析賦形區(qū)域和副瓣區(qū)域零點(diǎn)位置變化對方向圖的影響，還可以發(fā)現(xiàn)：

(1)賦形區(qū)域內(nèi)零點(diǎn)位置的變化對副瓣區(qū)域電平的影響較小(第一副瓣零點(diǎn)除外)，因此，副瓣優(yōu)化可以在各種優(yōu)化算法前直接由解析方法計(jì)算完成；

(2)常見賦形如余割賦形等可以由僅僅移動(dòng)賦形區(qū)域內(nèi)零點(diǎn)徑向位置rR來實(shí)現(xiàn)，因此，自由度由Orchard綜合的N1+2N2個(gè)進(jìn)一步減少為N2個(gè)。

基于上述特點(diǎn)，本文提出的優(yōu)化零點(diǎn)算法流程分為兩個(gè)步驟：求解初值和賦形優(yōu)化。首先，根據(jù)副瓣電平，通過解析法求得所有零點(diǎn)位置，將前述零點(diǎn)位置作為初始值；然后，將賦形區(qū)域零點(diǎn)徑向位置rk作為變量，通過遺傳算法求得最優(yōu)解下的零點(diǎn)位置；最后，根據(jù)式(4)展開求得陣元幅相分布。

圖3　優(yōu)化算法流程

相比于直接求陣元幅相分布的算法，本方法有如下兩個(gè)優(yōu)勢：

1)副瓣約束已經(jīng)由初始值通過解析法確定，適應(yīng)度函數(shù)簡化為賦形區(qū)域的單目標(biāo)函數(shù)，避免了多目標(biāo)下權(quán)重的難以分配和單目標(biāo)占優(yōu)的問題；

2)對零點(diǎn)的移動(dòng)方向加以限制，僅僅允許賦形區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)沿徑向移動(dòng)，算法自由度大幅減少，計(jì)算速度加快。同時(shí)，避免了二維空間搜索易陷入局部最優(yōu)的問題。

2　計(jì)算實(shí)例

2.1程序?qū)崿F(xiàn)

為了進(jìn)一步減少與期望值之間的誤差，提高計(jì)算效率，本文還改進(jìn)了一種界面化操作方案，可以自由移動(dòng)零點(diǎn)位置，并實(shí)時(shí)顯示對應(yīng)的方向圖。程序采用MATLAB的GUI工具編寫，界面同時(shí)顯示零點(diǎn)位置、對應(yīng)方向圖、幅相分布以及賦形各項(xiàng)參數(shù)設(shè)置，如圖4所示。通過直接選中并移動(dòng)賦形區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)位置，將方向圖盡可能逼近期望值曲線。將此時(shí)的零點(diǎn)位置作為計(jì)算初始值，賦形區(qū)域內(nèi)零點(diǎn)的rk作為自由度進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，進(jìn)一步縮小搜索范圍，提高算法的收斂速度。應(yīng)用遺傳算法，可以快速求得最優(yōu)化的賦形。遺傳算法主要采用了MATLAB自帶優(yōu)化算法工具箱中的GA函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。

圖4　程序界面

2.2算法實(shí)例

2.2.1余割賦形

20個(gè)等間距排布的線陣，單元間距0.5個(gè)波長。優(yōu)化每個(gè)陣元的幅度和相位，使陣列的主瓣方向滿足余割平方賦形，其余空間區(qū)域副瓣電平SLL小于-25dB。目標(biāo)函數(shù)可以寫為

(8)

根據(jù)本文優(yōu)化算法，首先計(jì)算副瓣區(qū)域零點(diǎn)分布。根據(jù)副瓣目標(biāo)，不妨令線陣滿足SLL=-25dBTaylor分布，方向圖零點(diǎn)位置滿足解析表達(dá)式

(9)

以上述解析求得的零點(diǎn)位置作為初值，通過遺傳算法優(yōu)化賦形區(qū)域內(nèi)的五個(gè)零點(diǎn)徑向位置rk，以賦形區(qū)域內(nèi)與期望值的誤差均值作為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)為單目標(biāo)函數(shù)

(10)

經(jīng)過300次迭代計(jì)算，優(yōu)化后的方向圖以及幅相分布如圖5所示。作為對比，該賦形算例還采用了直接以每個(gè)陣元的Ik和φk作為自由度的遺傳算法，適應(yīng)度函數(shù)采用加權(quán)系數(shù)法，如式(7)所示。同樣經(jīng)300次計(jì)算后的方向圖和幅相分布如圖5、圖6所示。從圖中可以看出，采用本文方法優(yōu)化后的方向圖不僅在賦形區(qū)域與期望值誤差非常小，而且副瓣完全滿足甚至優(yōu)于設(shè)計(jì)要求。而采用直接幅相優(yōu)化由于需要同時(shí)兼顧賦形區(qū)域和副瓣電平，優(yōu)化效果十分有限。

圖5　優(yōu)化零點(diǎn)算法與直接幅相算法方向圖

圖6　兩種算法每個(gè)陣元激勵(lì)幅相分布比較

2.2.2扇形波束

同樣為20個(gè)等間距排布的線陣，單元間距0.5個(gè)波長。目標(biāo)函數(shù)(見圖7中點(diǎn)劃線)可以寫為

(11)

同樣采用算例1中的直接幅相遺傳算法和本文所述優(yōu)化零點(diǎn)算法分別進(jìn)行計(jì)算，方向圖和陣元的幅相分布如圖7和圖8所示。從圖7中可以看出，采用優(yōu)化零點(diǎn)算法中賦形區(qū)域內(nèi)的幅度起伏小于0.5dB，賦形區(qū)域外的副瓣小于-30dB，波束特性明顯優(yōu)于直接幅相遺傳算法。

圖7　優(yōu)化零點(diǎn)算法與直接幅相算法方向圖

圖8　兩種算法每個(gè)陣元激勵(lì)幅相分布比較

需要說明的是，由于方向圖采用dB單位表示，而采用單位1表示時(shí)，實(shí)際的副瓣電平非常小，在0附近波動(dòng)，當(dāng)副瓣要求<-25dB以下時(shí)，陣元幅相的微小擾動(dòng)都會(huì)對副瓣造成較大起伏，這也是采用直接計(jì)算幅相的遺傳算法時(shí)副瓣很難進(jìn)一步降低的原因之一。同時(shí)，多目標(biāo)優(yōu)化也容易導(dǎo)致單目標(biāo)占優(yōu)。圖9為零點(diǎn)法和直接法的收斂速度比較，由于兩種算法的適應(yīng)度函數(shù)不一致，將二者的最終收斂值進(jìn)行歸一化后在圖9中顯示。從圖中可以看出，優(yōu)化零點(diǎn)算法的收斂速度相比直接算法有了顯著提高。

圖9　兩種算法收斂速度比較

3　結(jié)束語

本文提出了一種基于Schelkunoff單位圓以及Orchard綜合的優(yōu)化零點(diǎn)算法，先通過解析方法計(jì)算零點(diǎn)位置，滿足副瓣約束，將求得的零點(diǎn)位置作為初始值，賦形區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)徑向位置變化作為自由度，進(jìn)行區(qū)域內(nèi)單目標(biāo)遺傳算法尋優(yōu)。不僅避免了直接幅相計(jì)算中多目標(biāo)均衡問題，也顯著減少了自由度，加快收斂速度。通過低副瓣平方余割波束和扇形波束兩個(gè)實(shí)例可以看出，副瓣區(qū)域和賦形區(qū)域均得到了優(yōu)化，明顯優(yōu)于直接幅相計(jì)算法所得的結(jié)果，說明這種算法具有很好的應(yīng)用價(jià)值。

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王力男，1986年生，工程師。研究方為相控陣天線技術(shù)等。

何丙發(fā)男，1963年生，研究員級高級工程師。 研究方向?yàn)橄嗫仃囂炀€技術(shù)、通信天線技術(shù)等。

孫慶鋒男，1978年生，高級工程師。研究方為相控陣天線技術(shù)、毫米波天線技術(shù)等。

Synthesis of the Shaped-beam Array Antennas Using a Fast Algorithm

WANG Li，HE Bingfa，SUN Qingfeng

(Nanjing Research Institute of Electronics Technology,Nanjing 210039, China)

Afastalgorithmforsynthesisoftheshaped-beamarrayantennasispresented.ThisalgorithmisrealizedbymovingthezeropointpositionsontheSchelkunoff'sunitcircleusinggeneticalgorithm,basedontheOrchardsynthesis.Theprocedureisdividedintotwosteps: 1)analyticallycalculatetheoriginalzeropointpositionsaccordingtothesidelobelevel; 2)thefreedomofzeropointmovementintheshapingareaisrestrictedintheradicaldirection,andfindthebestresultwithsingle-targetbygeneticalgorithm.Comparedtothenormalantennashapingusingamplitude-phasecodinginthegeneticalgorithm,thismethodcanavoidthemulti-objectivetrade-offbetweenthesidelobelevelandbeamshapingaccuracyefficiently,andthefreedomofvariableforthealgorithmisreduced,theconvergencevelocityisalsoenhanceddramatically.Besides,lowsidelobelevelandbeamshapingwithhighprecisioncanberealizedsimultaneously.Theefficiencyforthisalgorithmisverifiedbyshapedsquare-cosecandfanbeamsample,anditcanfindwideapplicationsintheareaoffastbeamshapingforthearrayantennas.

shaped-beam；Orchardsynthesis；geneticalgorithm

10.16592/j.cnki.1004-7859.2016.08.016

王力Email：wangli860420@163.com

2016-04-26

2016-07-02

TN821+.8

A

1004-7859(2016)08-0070-05