楊春艷，李小青

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西 西安　710127）

一類四階偏微分方程的對(duì)稱分析及級(jí)數(shù)解

楊春艷，李小青

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西 西安710127）

研究了一類四階偏微分方程的李對(duì)稱，構(gòu)造了方程所容許的李對(duì)稱的優(yōu)化系統(tǒng)，進(jìn)行了對(duì)稱約化，得到了精確解.進(jìn)一步，基于冪級(jí)數(shù)理論，得到了這類四階偏微分方程的冪級(jí)數(shù)解.

四階偏微分方程；李對(duì)稱；優(yōu)化系統(tǒng)；冪級(jí)數(shù)法；精確解

1　引言

四階偏微分方程在自然科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用背景，它起源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的不同方面，尤其在彈性梁及穩(wěn)定性理論中具有廣泛的應(yīng)用[1].研究非線性偏微分方程的方法有很多[2-4]，而用Lie對(duì)稱群理論來(lái)構(gòu)造微分方程的解是非線性微分方程研究中活躍的領(lǐng)域之一[5-9].本文研究這一類四階微分方程：

的對(duì)稱約化和精確解的構(gòu)造問(wèn)題，其中：α/=0，β/=0是常數(shù)，

這里我們首先對(duì)方程(1)進(jìn)行對(duì)稱群分析，應(yīng)用優(yōu)化系統(tǒng)理論，由方程(1)所容許的李點(diǎn)對(duì)稱構(gòu)造其對(duì)應(yīng)的優(yōu)化系統(tǒng)；再對(duì)方程進(jìn)行對(duì)稱約化，推出相應(yīng)于優(yōu)化系統(tǒng)中各個(gè)對(duì)稱的約化常微分方程；最后，用冪級(jí)數(shù)法對(duì)約化的常微分方程求解，得到方程(1)的冪級(jí)數(shù)解.

2　方程 (1)的李對(duì)稱群分析

本節(jié)利用經(jīng)典李群方法研究方程(1)，考慮如下單參數(shù)李變換群：

其中，ε是參數(shù)，τ(t，x，u)，ξ(t，x，u)，η(t，x，u)是光滑函數(shù).李變換群(2)的無(wú)窮小生成元為：

此時(shí)，我們需要確定向量場(chǎng)的系數(shù)函數(shù)τ(t，x，u)，ξ(t，x，u)，η(t，x，u).顯然，V必須滿足無(wú)窮小不變準(zhǔn)則：

其中?=ut+αu2ux+βuxxxx.由李對(duì)稱理論知，向量場(chǎng)（3）的四階延拓為

其中

結(jié)合方程(4)和方程(5)，我們得到了方程(4)的等價(jià)條件

將(6)式及方程(1)代入上述方程(7)，并比較u的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)，得到?jīng)Q定方程組，通過(guò)求解這個(gè)偏微分方程組，得到方程(1)的對(duì)稱群的Lie代數(shù)由如下三個(gè)向量場(chǎng)

生成[10].

由于無(wú)窮小生成子的任意線性組合也是無(wú)窮小生成子，容許非平凡李對(duì)稱的微分方程將會(huì)容許無(wú)窮多個(gè)不同的對(duì)稱子群.因此為了完全理解方程的不變解，一個(gè)重要且必須的任務(wù)就是尋找那些能夠?qū)?yīng)本質(zhì)不同的解的子群.對(duì)稱群中任意變換都能夠把一個(gè)解映射為另一個(gè)解，所以我們只需尋找那些與變換無(wú)關(guān)的解，即互相不等價(jià)的解.這樣優(yōu)化系統(tǒng)的概念應(yīng)用而生[5，11，12].優(yōu)化系統(tǒng)是使得方程的群不變解更豐富，構(gòu)造子群的優(yōu)化系統(tǒng)等價(jià)于構(gòu)造子代數(shù)的優(yōu)化系統(tǒng).對(duì)一維子代數(shù)而言，這種分類等價(jià)于伴隨表示的軌道的分類，其基本方法就是取李代數(shù)的最一般的表達(dá)形式，并用各種不同的伴隨變換作用其上，使其形式得以最大程度的簡(jiǎn)化.由交換算子［Vs，Vt］=VsVt-VtVs，得代數(shù)(8)的非零交換關(guān)系為

伴隨表示由李級(jí)數(shù)

給出，其中 ε為參數(shù).表 1給出李代數(shù) (8)的伴隨表示，其中第 i行第 j列的元素表示Ad(exp(εVi))Vj.

表1　李代數(shù)（8）的伴隨表示

下面構(gòu)造方程(1)所容許的李代數(shù)(8)的一維優(yōu)化系統(tǒng).令

我們的任務(wù)是盡可能的通過(guò)對(duì)的恰當(dāng)?shù)陌殡S映射的應(yīng)用去簡(jiǎn)化系數(shù)ai.

情形1由表1知，a3為不變量.假設(shè)a3/=0.不失一般性，令a3=1.用Ad(exp(4a2V2))作用于V上，使得V2的系數(shù)變?yōu)榱悖?/p>

再用Ad(exp(a′1V1))作用于V′上，使得V1系數(shù)變?yōu)榱悖阂虼?，由V(a3/=0)生成的一維子代數(shù)等價(jià)于子代數(shù)V3.

情形2假設(shè) a3=0，a2/=0.現(xiàn)在V=a1V1+a2V2.不失一般性，令a2=1.根據(jù)表1，用Ad(exp(εV3))作用于V上，使得

也相當(dāng)于V′=a′1eV1+V2，它取決于a′1的系數(shù)，令a′1的系數(shù)為1，-1，0.此時(shí)，由V(a3=0，a2/=0)生成的一維子代數(shù)等價(jià)于V2+V1，V2-V1，V2.

情形 3假設(shè) a3=0，a2=0，a1/=0.現(xiàn)在V=a1V1.不失一般性，令a1=1.因此，由 V(a3=0，a2=0，a1/=0)生成的一維子代數(shù)等價(jià)于V1.上述過(guò)程得到方程(1)的優(yōu)化系統(tǒng)為

3　對(duì)稱約化和精確解

方程(1)的向量場(chǎng)和優(yōu)化系統(tǒng)已得到.這節(jié)我們?cè)诘玫降膬?yōu)化系統(tǒng)的基礎(chǔ)上求方程(1)的對(duì)稱約化和群不變解.

3.1生成子 V1=?t.

對(duì)生成子V1，它對(duì)應(yīng)的群不變解為u=f(z)，其中z=x.代入方程(1)約化為常微分方程

對(duì)方程(9)積分，且令積分常數(shù)為零，得

其中

3.2生成子 V2=?x.

對(duì)生成子V2，它對(duì)應(yīng)的群不變解為u=f(t)，代入方程(1)得到約化方程f′=0.因此，方程(1)的解是u=c1x+c2，其中c1，c2是任意常數(shù).

3.3生成子 V3=t?t+x?x-u?u.

對(duì)于生成子V3，它對(duì)應(yīng)的群不變解是u=t-f(z)，其中z=t-x.將其代入方程(1)得到的常微分方程為

3.4生成子 V2±V1=?x±?t.

對(duì)于生成子V2±V1，它對(duì)應(yīng)的群不變解是u=f(z)，其中z=x±t.代入方程(1)得到的常微分方程為

對(duì)方程(12)積分，且令積分常數(shù)為零，得

4　基于冪級(jí)數(shù)法的方程的冪級(jí)數(shù)解

對(duì)常微分方程積分，通過(guò)降階來(lái)求解常微分方程，這種約化的常微分方程在某些情況下比原方程更復(fù)雜.考慮到這種情況，我們用冪級(jí)數(shù)法，它是解高階非線性或非自治常微分方程的有效工具.而且，這種冪級(jí)數(shù)解的收斂性很強(qiáng)，在理論和應(yīng)用上的計(jì)算也是方便的[13].方程(1)的約化方程已經(jīng)得到.這一部分，我們用冪級(jí)數(shù)法解方程(10)，方程(11)，方程(13)，從而得到它們的冪級(jí)數(shù)解.

4.1方程 (10)的冪級(jí)數(shù)解

現(xiàn)在，我們尋找方程(10)形式為

的冪級(jí)數(shù)解，其中cn是待定系數(shù).將(14)式代入方程(10)，得

從(14)式，比較系數(shù)，有

對(duì)所有的n=0，1，2，....

這樣，對(duì)任意的選定的常數(shù)ci(i=0，1，2)，從(16)式得到

序列{cn}∞n=0的其余各項(xiàng)都可以由方程(16)依次唯一確定.進(jìn)一步，由歸納法可得方程(10)存在由方程(16)給定的冪級(jí)數(shù)解(14)，參考文獻(xiàn)［8，14］.對(duì)于方程(10)的冪級(jí)數(shù)解(14)的收斂性證明如下：

由(16)可得，

使

和

容易看出，|cn|≤pn，n=0，1，2，...

換句話說(shuō)，級(jí)數(shù)

是冪級(jí)數(shù)解(14)的優(yōu)級(jí)數(shù).下面，只需證明冪級(jí)數(shù) μ=P(z)有正的收斂半徑.事實(shí)上，通過(guò)級(jí)數(shù)運(yùn)算有

考慮隱函數(shù)方程

顯然，F(xiàn)解析，且F(0，p0)=0，F(xiàn)′μ(0，p0)=1/=0.根據(jù)隱函數(shù)定理，可得級(jí)數(shù) μ=P(z)在點(diǎn)(0，p0)的鄰域內(nèi)解析，從而存在正的收斂半徑.

因此，方程(10)的冪級(jí)數(shù)解如下

進(jìn)而，方程(1)的冪級(jí)數(shù)解為

其中cn(n=0，1，2)是任意常數(shù)，其它的系數(shù)cn(n≥3)可以由(16)式確定.

注意到上面我們計(jì)算的各項(xiàng)的系數(shù)，可將(17)寫(xiě)成如下的近似形式

4.2方程 (11)的冪級(jí)數(shù)解

我們探索方程(11)的形式為(14)的冪級(jí)數(shù)解.將(14)式代入方程(11)，得

當(dāng)n=0時(shí)，通過(guò)比較(18)式中的系數(shù)得到

當(dāng)n≥1時(shí)，容易得到下列結(jié)果

由(19)式易得，

和其它的系數(shù)cn(n≥7).因此，方程(11)的冪級(jí)數(shù)解為

進(jìn)而，方程(1)的冪級(jí)數(shù)解為：

其中cn(n=0，1，2，3)是任意常數(shù)，其它的系數(shù)cn(n≥4)可以由(19)式確定.

注意到上面我們計(jì)算的各項(xiàng)的系數(shù)，可將(20)式寫(xiě)成如下的近似形式：

4.3方程 (13)的冪級(jí)數(shù)解

同樣，尋找方程(13)的形式為(14)的冪級(jí)數(shù)解.將(14)代入方程(10)，得

當(dāng)n=0時(shí)，

4　結(jié)果和討論

這篇論文，我們研究了一類四階非線性偏微分方程的李對(duì)稱和優(yōu)化系統(tǒng)，然后基于優(yōu)化系統(tǒng)，得到了方程的相似約化和精確解.而且，用冪級(jí)數(shù)法得到了收斂性很強(qiáng)的解.由此可見(jiàn)，李對(duì)稱分析法對(duì)研究偏微分方程的精確解而言是一個(gè)非常重要而有效的工具與方法，且冪級(jí)數(shù)法對(duì)探索非線性常微分方程的收斂?jī)缂?jí)數(shù)解也是非常重要的.

[1］Yao Q L.Existence，multiplicity and infinite solvability of positive solutions to a nonlinear fourth-order periodic boundary value problem[J］.Nonlinear Analysis，2005，63：237-246.

[2］邴厚樂(lè)，劉松潔，呂學(xué)琴.應(yīng)用RKM與ADM求解一類四階非線性微分方程[J］.哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，30（6）：37-42.

[3］Wang Q，Chen Y，ZHANG H Q.A new Riccati equation rational expansion method and its application to （2+1）-dimensional Burgers equation[J］.Chaos Solitons Fractals，2005，25：1019-1028.

[4］Wang M L，Zhou Y B，LI Z B.Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics[J］.Phys.Lett.A，1996，216：67-75.

[5］Olver P J.Application of Lie group to differential equation[M］.New York：Springer，1993.

[6］Ibragimov N H.Lie Group Analysis of Differential Equations-Symmetries，Exact Solutions and Conservation Laws[M］.Florida：CRC，1994.

[7］Bluman G W，Kumei S.Symmetries and Differential Equations[M］.NewYork：Springer，1989.

[8］Gao B，Tian H X.Symmetry reductions and exact solutions to the ill-posed Boussinesq equation[J］. International Journal of Non-Linear Mechanics，2015，72：80-83.

[9］Tu J M，Tian S F，Xu M J，et al.On Lie symmetries，optimal systems and explicit solutions to the Kudryashov-Sinelshchikov equation[J］.Applied Mathematics and Computation，2016，275：345-356.

[10］李曉東，常晶.一類廣義 Kuramoto-Sivashinsky方程的 Lie對(duì)稱分析 [J］.黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2015，32（3）：297-301.

[11］Ibragimov N H.Transformation Groups Applied to Mathematical Physics[M］.Dordrecht：Reidel，1985.

[12］Ovsiannikov L V.Group Analysis of Differential Equations[M］.New York：Academic，1982.

[13］Asmar N H.Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problems[M］.2nd ed Beijing：China Machine Press，2005.

[14］劉漢澤.基于李對(duì)稱分析的偏微分方程的精確解的研究[D］.云南：昆明理工大學(xué)數(shù)學(xué)系，2009.

2010 MSC:35J15

The symmetry and series solutions of a class of fourth-order partial differential equation

Yang Chunyan，Li Xiaoqing
（Department of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

In the paper，Lie symmetry analysis of a fourth-order partial differential equation is performed.The one dimension optimal system of the Lie symmetries admitted by the equation in consideration is constructed. In addition，all exact solutions or the reduced equations corresponding to the optimal system are presented. Furthermore，based on the power series theory，a kind of explicit power series solutions for the equation is well constructed with a detailed derivation.

fourth-order partial differential equation，Lie symmetry，optimal system，power series method，exact solutions

O175.2

A

1008-5513(2016)04-0432-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.011

2016-06-01.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201371)；陜西省自然科學(xué)基金(2012JQ1013)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金(11JK0482).

楊春艷(1990-)，碩士生，研究方向：偏微分方程.