呂小敏，魏公明

（上海理工大學理學院，上?！?00093）

各項異性橢圓方程基本解的存在性

呂小敏，魏公明

（上海理工大學理學院，上海200093）

證明了右端可測的各項異性橢圓方程基本解的存在性，其中應用了各項異性Sobolev空間和Lebesgue空間.首先得到近似方程的解，然后通過對這些解的子列取極限，得到原方程的解.關鍵是要有一個近似函數空間以及近似方程的先驗估計.最后運用Vitali定理證明了原方程基本解的存在性，推廣和改進了已有方程.

各項異性方程；弱解；格林函數；Vitali定理；基本解

1　引言

近年來各項異性橢圓方程得到極大的關注.以時間版本的方程構成的數學模型用來描述傳染病等傳播疾病，參見文獻［1-2］.類似的模型也出現(xiàn)在流體動力學中，介質在不同的方向有不同的傳導率，參見文獻［3-4］.

本文是受文獻［5-6］的啟發(fā).在文獻［5］中作者研究了如下問題：

其中

是→p-拉普拉斯算子，δ0是狄拉克測度，當??Rn且n≥2；0∈?時δ0=0.設

p是p1，...，pn的調和平均數，即

文獻［5］證明了基本解的存在性.自然會想到一個問題：是否可以用這種方法解如下→p-→q各項異性橢圓方程呢，

其中

問題(1)的困難之處在于當pi，qi不相等時，其基本解沒有明顯的一個公式.

文獻［6］研究了如下各項異性非線性橢圓系統(tǒng)：

其中方程右端μ=(μ1，...，μm)?是一個給定的向量，值為有限集?上的Radon測度.

受以上兩篇文章的啟發(fā)，在(3)式中取

本文考慮如下各項異性橢圓方程系統(tǒng)：

假設：

(i)→p：=(p1，...，pn)；→q：=(q1，...，qn)；qi＜pi；1＜p1≤p2≤...≤pn＜∝；

(ii)p是p1，...，pn的調和函數，即并且p＜n；

q是q1，...，qn的調和函數，即

(iii)

(iv)是文獻 ［6］中的注 3.1.受參考文獻 ［7-9］)的啟發(fā)本文證明了問題 (4)的基本解的存在性.首先得到近似方程的解，然后通過對這些解的子列以及解的偏導數取極限，得到在弱 Lebesgue空間的先驗估計，然后得出原方程的解.用各項異性 Sobolev不等式證明弱Lebesgue空間估計[10].用Vitali定理通過近似方程的弱解得到問題(2)的非負弱解.

存在性結果的方法，在很大程度上得益于Dolzmann，Hungerb¨uhler和M¨uller解各項同性p-調和系統(tǒng)[11]： .

論文的計劃如下：第二節(jié)，定義了各項異性Sobolev空間，Sobolev不等式和弱Lebesgue空間以及給出本文要證明的幾個定理.第三節(jié)，近似方程的解.第四節(jié)，弱Lebesgue空間中的先驗估計.第五節(jié)，用Vitali證明原方程基本解的存在性.

2　預備知識和主要結論

本節(jié)介紹合適的各項異性空間和弱Lebesgue空間.

2.1各項異性 Sobolev空間

設u是?上的一個實值函數.→p：=(p1，...，pn)；n是一個實數.p是p1，...，pn的調和平均數，

即

稱滿足的所有函數u組成的空間為各項異性Sobolev空間，記作W.該空間是一個Banach空間有如下范數：

由Troisi(見文獻［10］定理1.2)得出如下的各項異性Sobolev不等式：

定理2.1.1設

存在一個常數

使得

2.2弱 Lebesgue空間

u：?→R是一個可測函數；λu是u的分布函數定義如下：

分布函數γ→λu(γ)是一個減函數.對0＜r＜∞，弱Lebesgue空間Mr(?)定義如下：

空間Mr(?)是一個Banach空間其范數為：

注 2.2.1弱M∞(?)空間由通常的L∞(?)空間定義.因此假設本節(jié)0＜r＜∞.Lr(?)空間是所有在?上可測的使|u|r可積的實值函數.該空間函數u∈Lr(?)的范數為：

對任意的0＜r0＜r＜∞和?有界.則有Lr(?)?Mr(?)?Lr0(?).即對任意的u∈Lr(?)，有第二個不等號證明如下：

即

第一個不等號證明如下：對任意的u∈Mr(?)，由H¨older不等式得出：

所以有∥u∥Lr0(?)≤∥u∥Mr(?).本論文將多次使用(6)式中的不等式.詳細見文獻［12］.

2.3截斷函數

對任意的γ＞0.定義截斷函數Tγu：?→R，

1E表示可測集E?Rn上的特征函數.

2.4主要結論定義2.4.1對各項異性橢圓方程(4)，如果

即-?→pu-?→qu=δ0，則稱u：?→R是(4)的弱解也是-?→pu-?→qu=0的基本解.

注 2.4.1由稠密性知對任意的φ∈W1，→p0(?)，(8)式仍成立.

定理 2.4.1在假設(i)(ii)(iii)的條件下，(4)式存在非負的基本解Φ∈W1，→p0(?).

3　近似方程的解

本小節(jié)將證明近似方程弱解的存在性.

其中

引理 3.1對任意的ε∈(0，ε0］固定.其中ε0∈(0，1).則(9)式存在非負弱解

使得

證明定義

下面證明〈Aεu，φ〉=Bεφ.

強制性：

半連續(xù)性：算子Aε的增長性條件意味著Aε的半連續(xù)形.即，映射h→〈Aε(u+hv)，w〉，?u，v，w∈W(?ε)，在實軸上是連續(xù)的.

然后，運用單調算子定理 (見文獻 ［13］)，Aε是一個雙射算子.所以 Aε的滿射證明了Φε∈W(?ε)的存在性，使得AεΦε=Bε也證明了存在函數列(Φε)0＜ε≤ε0?W(?ε)其中每個函數都滿足(10)式.此外，由文獻Fuso-Sbordone[14]得到Φε∈L(?ε).

下面給出用反證法證明Φε≥0 a.e.x∈?ε.其中a.e.表示幾乎處處.記Nε：={x∈?ε：Φε＜0}如果meas(Nε)/=0，取Φε1Nε為(10)式的測試函數，得：

即Φε=0 a.e.x∈Nε.這與當x∈Nε；Φε＜0矛盾.那么Φε≥0a.e.x∈?ε.從而，引理3.1得證.

4　弱Lebesgue空間中的重要估計

本小節(jié)給出在弱Lebesgue空間中的重要估計.

引理 4.1對每一個γ＞0，ε∈(0，ε0］任意.(9)式的解Φε滿足

證明取TγΦε=min{Φε，γ}∈W1，→p0(?ε)為(10)式的測試函數，得

(11)式得證.

證明證明的方法與文獻［9］類似，記p?=np/(n-p)，p＜n，由

定理2.1.1和注2.1.2.存在常數c(n，→p)使得

即

為了得到∥Φε∥Mp?-1(?ε)≤C，取γ的指數為零.

∥Φε∥Mp?-1(?ε)≤C 得證.

下面給出

所以有

也有

證明由(i)，(ii)，(iii)，知W01，→p(?)?W01，→q(?)，與引理3.2的證明類似. 記q?=nq/(n-q)和q＜p＜n，由

定理2.1.1和注2.1.2.存在一個常數c(n，→q)使得

即

為了證出∥Φε∥Mq?-1(?ε)≤C，取γ的指數為零.因此有

即

∥Φε∥Mq?-1(?ε)≤C 得證.

下面證明

在引理4.1的(11)式中取γ=γq

q?i，得

所以有

即

得證.

注4.1由(13)式和(14)式，知

引理 4.4取(0，ε0］中的子列(εk)k∈N，使得當k→∞時εk→0.E為?中的任意緊子集.對每一個k∈N，設ε0＞0值很小使得E∈?εk.取滿足引理3.1的Φεk.定義在Rn?εk上有Φεk=0.

則對每個i=1，2，...，n，存在可測函數Φ：?→R使得，對于子列有當k→∞時.

證明首先證明Φεk的子列(Φεk)k是一個Cauchy序列而且在E上依測度收斂.取(0，∞)上的任意值μ，ρ和γ固定

下證(17)式的第一部分

由TγΦε=min{Φε，γ}∈W(?ε)?W(?ε)，?iTγΦεk=1{Φεk}?iΦεk，a.e.x∈?.

對任意的R＞0固定，(TγΦεk)k在W(BR(0))中一致有界，由于緊嵌入存在子列 TγΦεk在 Lr(BR(0))中收斂.由 (TγΦεk)k在 L(Rn)，1≤ r＜ ∞ 中一致有界，以及L1(BR(0))和 L∞(BR(0))的插值.得到存在子列(TγΦεk)k對任意的 1≤r＜∞在Lr(BR(0))中收斂.又R＞0任意，得出：(TγΦεk)k在L(Rn)中收斂，1≤r＜∞.所以(TγΦεk)k是一個在E上依測度收斂的Cauchy序列.因此，(18)式成立.

(17)式中，由注4.4和式(18)式，我們知(Φεk)k是一個在E上依測度收斂的Cauchy序列.因此，有子列(Φεk)k在E上依測度收斂到可測函數Φ：E→R.由Riesz定理，得到依然用Φεk表示的子列，使得Φεk→Φ幾乎處處在E中.

同樣，證明 ?iΦεk的子列 (?iΦεk)k是一個在 E上依測度收斂的 Cauchy列.μ，ρ和 γ 為(0，∞)上任意固定的值.

當γ→∞，由注4.4和(17)式，

下證當γ→∞

在引理3.1的(10)式中取截斷函數T1/γ(Φεk′-Φεk)，得

而且，對任意的s，t∈(-γ，γ)存在與γ無關的常數C，使得

由(22)式和(23)式，i=1，2，...，n.有

所以(20)式得證.

此外，由 (19)和 (20)式，?iΦεk的子列 (?iΦεk)k是一個在 E上依測度收斂的 Cauchy 列.而且，對于子列(?iΦεk)k在E上依測度收斂到一個可測函數Ψi：E→R.i=1，2，...，n. 由Riesz定理，得存在子列依然用εk表示，使得當k→∞時，

下面證明Ψi=?iΦ，i=1，2，...，n.γ＞0和R＞0為任意固定的值. 由(11)式得

(?iTγΦεk)k在Lpi(Rn)中一致收斂，所以，存在子列

對任意的 1≤r＜∞ 由 (TγΦεk)k在 L(Rn)中收斂，以及 Φεk→Φ幾乎處處在 E中收斂，當k→∞，有

取r=p1由緊嵌入W1，p10(BR(0))→→Lp1(BR(0)).得TγΦ∈W1，p1(BR(0)).由(25)式存在子列使得：

因此得出Ψi，γ=?iTγΦ，存在子列有，

由(27)式和(24)式得出 ?iTγΦεk=1{Φεk＜γ}?iΦεk→1｛Φ＜γ｝Ψi，a.e.x∈?.再由(26)式推出對每一個R＞0有 ?iTγΦ=1｛Φ＜γ｝Ψi，a.e.在?∩BR(0)中.因此?iΦ=Ψi，a.e.x在?上i=1，2，...，n.引理4.5得證.

5　Vitali收斂定理:定理 2.4.1的證明

在證明定理2.4.3之前，先給出Vitali定理.

Vitali定理fn是Lp(?)空間中的函數列，f是Lp(?)空間中的一個函數.設

(1)fn→f a.e.x∈?；

則有在Lp(?)中fn→f.

證明見文獻［15］

定理 2.4.1的證明記r0=pi-1，r=pi(p?-1)/p?，其中p?滿足引理4.2.由(6)式，對k∈N γ＞0，有

化簡為

由引理4.3，得

又由qi＜pi得

需要證明當?εk→?，εk→0，k→∞時，

即?k，(εk)k∈N∈(0，ε0］，當εk→0，k→∞.，需要給出

(28)式的右端，當εk→0，k→∞.

E??εk，?k，E??為有界閉集.應用Vitali定理，取fn=?iΦεk和f=?iΦ，i=1，2，...，n.

∫E|?iΦεk|pi-1dx和∫E|?iΦεk|qi-1dx關于k一致收斂到零.于是得，

又得

存在子列依然用εk表示，有當k→∞時

由(29)式和(30)式，得

因此，Φ是原方程(4)的基本解.

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2010 MSC：35b20

The existence of fundamental solution for anisotropic elliptic equation

Lu¨ Xiaomin，Wei Gongming
（College of Sciences，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai200093，China）

This paper proves the existence of fundamental solution for anisotropic equation-Δ?pu-Δ?qu=δ0with measure valued right hand-side.Anisotropic Sobolev space and weak Lebesgue space are involved in the functional setting.First，we get the solutions of approximate equations.Then by taking limit of the sequence of these solutions，we get the solution of the original equation.The point is to have a approximate function space and do a priori estimate for the approximate equations.Final，the Vitali’s theorem is applied for the existence of fundamental solution for anisotropic equation-Δ?pu-Δ?qu=δ0.Extend and improve the existing equation-Δ?pu=δ0.

anisotropic equations，weak solution，Green’s function，Vitali’s convergence theorem，fundamental solution

O178

A

1008-5513(2016)04-0362-18

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.04.005

2016-05-19.

滬江基金(B14005).

呂小敏(1990-)，碩士生，研究方向：偏微分方程.