☉天津市南開中學(xué) 李稀琰

把握關(guān)鍵，明確目標(biāo)
——立體幾何問題求解中關(guān)鍵條件的確定

☉天津市南開中學(xué) 李稀琰

在某些立體幾何的試題中涉及距離、面積或體積，但這樣的線、面、體并沒有直接給出，需要我們來構(gòu)造確定.解題中若能準(zhǔn)確利用已知條件，明確目標(biāo)圖形，?？墒菇忸}事半功倍.下面舉例說明.

一、明確定點(diǎn)

例1 設(shè)正方體A—C1的棱長為1，P為面對角線AB1上的動點(diǎn)，Q為棱AB上的動點(diǎn)，求C1P+PQ的最小值.

解析：當(dāng)點(diǎn)P在對角線AB1上的位置固定時，要使PQ最短，只要PQ⊥AB.如圖1，由于C1P與PQ不共面，則需將等腰Rt△ABB1繞AB1旋轉(zhuǎn)落在平面DAB1C1上，得五邊形DABB1C1，如圖2所示，當(dāng)且僅當(dāng)C1、P、Q三點(diǎn)共線時，C1P+PQ的值最小.

圖1

作C1Q⊥AB于Q，交AB1于P點(diǎn)，則C1P+PQ最短.作B1E⊥C1Q 于E，得EQ=B1B=1，又C1E=B1C1· sin∠B1C1E=1·sin45°=，故C1Q=C1P+PQ=C1E+EQ=1+

圖2

評析：本題的求解關(guān)鍵是確定點(diǎn)Q的位置，將空間問題平面化后，利用三點(diǎn)共線原理明確點(diǎn)Q所在位置是問題求解的關(guān)鍵.柱、錐、臺等多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上的兩點(diǎn)間的距離最短問題，通常將其沿棱或母線展開，轉(zhuǎn)化成平面幾何中圖形性質(zhì)推理求解，即“立體圖形平面化”.

變式1 如圖3，在側(cè)棱長為2，底面邊長為1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是對角線BD1上的動點(diǎn)，則AP+CP的最小值為_______.

解析：將△ABD1與△BCD1所在平面展開為一個平面，得到圖4，則AC之長即為所求.

圖3

圖4

因?yàn)锳B=1，AA1=2，AB⊥AD1，BC⊥CD1，

所以AD1=CD1=

在Rt△AD1B中，BD1=

評析：本題不必構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)來求最值，因?yàn)镻是BD1上的動點(diǎn)，所以選對點(diǎn)P的位置，使A、P、C三點(diǎn)共線，即可使得AP+PC取得最小值，因此將有關(guān)圖形展開到一個平面內(nèi)求解，即空間問題平面化，這是解答相關(guān)立體幾何問題的一種有效策略.

二、明確定線

在立體幾何的某些試題中經(jīng)常會遇到求距離的最值問題，欲求解該最值，需要我們先確定最值取得的位置，然后再利用平面幾何的相關(guān)知識求解.

例2 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=，BC= AA1=1，點(diǎn)P為對角線AC1上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q為底面ABCD上的動點(diǎn)（點(diǎn)P，Q可以重合），則B1P+PQ的最小值為（）.

圖5

圖6

解析：如圖5所示，求B1P+PQ的最小值，易知當(dāng)點(diǎn)Q位于AC上時，PQ可取到最小值.

連接AB1，將平面AB1C旋轉(zhuǎn)至與平面ACC1在同一平面（如圖6），過點(diǎn)B1作AC的垂線，交AC于點(diǎn)Q，則B1Q即為所求最小距離.

由由題目條件知，AC⊥CC1，AB1⊥B1C1，AB1=∠CAC1=∠B1AC1=30°，所以∠AB1Q=30°，所以AQ=由勾股定理得B1Q=，即為所求.故正確選項(xiàng)為C.

評析：本題將點(diǎn)到點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，同樣利用平面化策略，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的最小值問題，點(diǎn)到面的垂線段長即為最小值.

變式2 在邊長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E 為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD上移動，且滿足B1P⊥D1E，則線段B1P的長度的最大值為（）.

解析：對于動態(tài)問題的解答要把抓住其中不變的因素，如本題中的點(diǎn)P為面ABCD內(nèi)的動點(diǎn)，但B1P⊥D1E，因此B1P在一個與D1E垂直的定面上.找到這個定面即可順利解決問題.

如圖7，取CC1的中點(diǎn)F，連接B1F并延長交BC的延長線于點(diǎn)G，連接AG交CD于點(diǎn)H，連接AB1.

易知D1E⊥AB1，D1E⊥B1F，所以D1E⊥平面AB1G，即點(diǎn)P在線段AH上.

圖7

又△GCF∽△GBB1，△GHC∽△GAB，所以，所以H為CD的中點(diǎn).在△ABH中，易求得

1B1A=2，在△B1BH中，B1H=3，所以線段B1P的長度的最大值為3，故選D.

評析：定線與動線垂直，則動線在與定線垂直的定面內(nèi)，找到這個定面即可順利求解.類似若動線與已知面平行，則動線在與已知面平行的定面內(nèi)等.只要抓住這些動態(tài)問題中的不變因素，則可找到問題的求解思路.

三、明確定面

例3 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E是棱D1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且EF∥平面A1BC1，則動點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）.

解析：因?yàn)辄c(diǎn)E為定點(diǎn)，點(diǎn)F為動點(diǎn)，EF為動線，但EF∥平面A1BC1，故EF在與平面A1BC1平行的平面內(nèi)，所以確定過點(diǎn)E且平行于平面A1BC1的定面是問題求解的關(guān)鍵所在.如圖8所示，分別取棱A1D1，A1A，AB，BC，CC1的中點(diǎn)F，G，H，I，J，易知連接各中點(diǎn)所得六邊形與平面A1BC1平行，所在點(diǎn)F在此六邊形內(nèi).

圖8

連接EG，在△EFG中，利用余弦定理，可得∠EFG= 120°，故六邊形EFGHIJ為正六邊形，易求得該正六邊形的面積為3，故正確選項(xiàng)為C.

評析：本題求解中關(guān)鍵是確定過點(diǎn)E與平面A1BC1平行的平面.另外部分同學(xué)可以作出該六邊形，但沒有經(jīng)過判定就主觀上認(rèn)為其為正六邊形.

變式3 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面BC1B1內(nèi)一點(diǎn)，若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是（）.

解析：如圖9所示，取B1C1的中點(diǎn)M，取BB1的中點(diǎn)N，連結(jié)A1M，A1N，MN，可以證明平面A1MN∥平面AEF，所以點(diǎn)P位于線段MN上，在△A1MN中，有

圖9

所以當(dāng)點(diǎn)P位于M，N時，A1P最大.

當(dāng)P位于MN中點(diǎn)O時，A1P最小，此時A1O=，所以A1O≤A1P≤A1M，即，所以線段AP長度的取值范圍

1是.故選項(xiàng)為B.

評析：點(diǎn)P是面BCC1B1內(nèi)的動點(diǎn)，但A1P∥平面AEF，故A1P應(yīng)在一個與平面AEF平行的平面內(nèi)，因此尋找確定的平面是本題求解的關(guān)鍵.

四、明確定體

例4 如圖10，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P，Q，R分別是棱A1A，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，以△PQR為底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三個頂點(diǎn)也都在該正方體的表面上，則這個正三棱柱的高h(yuǎn)=____.

解析：利用三垂線定理易判斷體對角線A1C與面PRQ垂直，故所求三棱柱的高所在的直線與A1C重合.

那么接下來的問題是如何確定該幾何體在正方體中的位置呢？我們可以轉(zhuǎn)換一下視角，既然高所以的直線與對角線重合，則該三棱柱的側(cè)棱與體對角線平行，據(jù)此了確定該正三棱柱的位置，如圖11所示，連接AC，BD相交于點(diǎn)M，連接PM，易判斷PM平行于A1C，故PM為此三棱柱的一條棱，同理可做出其他棱（略），易知A1C=，所以PM=，故所求三棱柱的高h(yuǎn)=

圖10

圖11

評析：本題只給出待求幾何體的一個底面，欲求體積需要我們直觀地構(gòu)造出正三棱錐，那么如何構(gòu)造？部分同學(xué)在解答時利用正方體的對稱性，錯誤地認(rèn)為所求三棱柱的另外一個底面在正方體的對稱位置，而三棱柱的高所在的直線與體對角線重合，因此只要求出即可，再用減2倍，即可到事實(shí)是否如此呢？作出對稱面后，易發(fā)現(xiàn)不能構(gòu)成正三棱柱.因此上述解答錯誤.

變式4 已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB= 90°，C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）.

A.36π B.64π C.144π D.256π

圖12

解析：如圖12所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于平面AOB的直徑端點(diǎn)時，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VO-ABC=VC-AOB=R2×R=，故R=6，則球O的表面積為S=4πR2=144π，故選C.

綜上所述，在相關(guān)問題的求解中，只要確定關(guān)鍵的點(diǎn)、線、面、體的位置，問題即可簡捷求解.同學(xué)們在解題中要善于找出關(guān)鍵條件的所在.