☉浙江臨安天目高級中學(xué) 趙國勝

實施概念教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生概念理解
——基于“函數(shù)的概念”的教學(xué)策略研究

☉浙江臨安天目高級中學(xué) 趙國勝

中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員李邦河院士曾指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，正確的概念是科學(xué)抽象的結(jié)果.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點，是學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有重要地位.

一、問題的提出

例1（2015年浙江卷·理7）存在函數(shù)f（x）滿足，對任意x∈R都有（）

A.f（sin2x）=sinx B.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1| D.f（x2+2x）=|x+1|

本題依托三角函數(shù)的周期性、對稱性、二次函數(shù)的對稱性，以具體函數(shù)考查抽象的函數(shù)概念.試題言簡意賅，符號表述內(nèi)涵豐富.然而對于這樣一道本來是運(yùn)用最基本、最熟悉的函數(shù)概念解決的問題，學(xué)生卻如墜云霧，不知其然，更不知其所以然，真的是有勁使不出.本題出現(xiàn)了兩個量詞：一個是存在，即只要有就可以；一個是任意，即所有的.由此將本題加以重新闡述就是“存在函數(shù)f（x）滿足，對任意x∈R都有且僅有唯一的實數(shù)值與其對應(yīng)”，這不就是函數(shù)的概念嗎？考慮到直接判斷難度較大，采用特殊值法加以驗證，比如取x=，x=代入A選項，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=時，當(dāng)x=時，結(jié)合“一對多”可知A選項不正確，同理判斷B、C錯誤.

函數(shù)是整個高中學(xué)習(xí)的核心概念，函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一.因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革中，理解函數(shù)思想，把握函數(shù)本質(zhì)，處理好函數(shù)的教學(xué)是很重要的.函數(shù)概念本身就不好理解，又是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中第一次遇到的一般意義的抽象概念，學(xué)生對其理解有困難是不言而喻的.

二、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性

數(shù)學(xué)概念（mathematical concepts）是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ).正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提.“只有圍繞數(shù)學(xué)概念的核心展開教學(xué)，在概念的本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想方法的理解上給予點撥、講解，讓學(xué)生在理解概念及其反映的數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)上，對細(xì)節(jié)問題、變化的問題進(jìn)行深入思考，這樣才能實現(xiàn)有效教學(xué).因為概念的核心、思想方法是不容易把握的，這是教師發(fā)揮主導(dǎo)作用的重點所在；具體細(xì)節(jié)正好是鍛煉學(xué)生應(yīng)用概念解決問題的機(jī)會，是促進(jìn)學(xué)生理解概念的平臺.”

1.課標(biāo)對概念教學(xué)的要求

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過程和本質(zhì)，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài).”

2.高考對概念理解的關(guān)注

概念的教學(xué)不是簡單的告訴，而是一種經(jīng)歷，一種體驗，一種感悟，一種深化，一種升華.有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、教材邏輯結(jié)構(gòu)、教師教學(xué)方法三者的有機(jī)統(tǒng)一.

例2（2013年浙江卷·理16）在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點，若sin∠BAM=，則sin∠BAC=_______.

本題考查的是三角函數(shù)的理解和靈活運(yùn)用，切入點就是三角函數(shù)的概念.正弦函數(shù)值的直觀意義：角的終邊與單位圓交點的縱坐標(biāo)，把三角形放入單位圓中，由于角C是直角，所以實際上就是求正弦線BC的長.根據(jù)單位圓中的三角函數(shù)線以及直角三角形中的關(guān)系可以很快求解.

圖1

3.概念教學(xué)是學(xué)習(xí)能力的教學(xué)

在學(xué)生熟悉的背景下，從具體事例中，通過“歸納—演繹”而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，關(guān)鍵是讓學(xué)生獲得理解概念本質(zhì)所需要的親身體驗，這種體驗構(gòu)筑了理解抽象概念的背景和根基，也是學(xué)生能掌控自身學(xué)習(xí)過程的必要條件.

數(shù)學(xué)教育使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理，使學(xué)生具有實事求是的態(tài)度，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識世界.因此，在一個完整的教學(xué)過程中，將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維活動打開，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同的本質(zhì)屬性，使數(shù)學(xué)概念被“發(fā)現(xiàn)”得更自然、更合理.

4.概念教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維能力

任何新思維、新觀念的產(chǎn)生，都是建立在已有的科學(xué)知識基礎(chǔ)上，并且是一個相對的過程.概念的生成是一個艱難的解構(gòu)、分析、比較、概括的過程，在這個過程中有大量的數(shù)學(xué)思維，必然會涉及到數(shù)學(xué)思想方法.概念教學(xué)是建立數(shù)學(xué)公式的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，概念是思維的細(xì)胞，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，概念不清就無法進(jìn)一步開展其他的教學(xué)活動，學(xué)生對概念的理解和應(yīng)用也是衡量教學(xué)質(zhì)量高低的重要標(biāo)志之一，數(shù)學(xué)課堂教好概念是教好數(shù)學(xué)的內(nèi)在要求.

三、目前概念教學(xué)的現(xiàn)狀分析

概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念.然而目前在教學(xué)實踐中往往對于概念教學(xué)存在許多的偏頗.

1.直奔主題，輕視發(fā)展過程

教師則往往喜歡直奔主題，不愿意將時間花在研究概念的形成發(fā)展過程和思想方法上，導(dǎo)致概念的生成生硬不自然，以致學(xué)生難以建立宏觀視野，難以實現(xiàn)學(xué)生思維過程的“理性重建”.

例3《函數(shù)的概念》引入1.

（1）復(fù)習(xí)初中對函數(shù)的定義：在一個變化過程中，有兩個變量x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，此時y是x的函數(shù)，x是自變量，y是因變量.

（2）討論：以下三個實例存在哪些變量？變量的變化范圍分別是什么？兩個變量之間存在著怎樣的對應(yīng)關(guān)系？三個實例有什么共同點？

例題一枚炮彈發(fā)射，經(jīng)26秒后落地?fù)糁心繕?biāo)，射高為845米，且炮彈距地面高度h（米）與時間t（秒）的變化規(guī)律是h= 130t-5t2.近幾十年，大氣層中臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)臭氧層空洞問題，圖中曲線是南極上空臭氧層空洞面積的變化情況.國際上常用恩格爾系數(shù)（食物支出金額÷總支出金額）反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低.“八五”計劃以來我們城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)如下表.對應(yīng)關(guān)系h=130t-5t2.定義域A=｛t |0≤t≤26｝ A=｛t|1979≤t≤2001｝ A=｛1997，1998，1999，2000，2001｝年份 1997 1998 1999 2000 2001恩格爾系數(shù)% 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9197919811983198519871989199119931995199719992001t/年南極臭氧層空洞的面積30 26 25 20 15 10 50 s/103km3值域B=｛h|0≤h≤845｝ B=｛s|0≤s≤26｝ B=｛46.4，44.5，41.9，39.2，37.9｝

在探究的過程中，教師試圖通過以表格的形式來刻畫關(guān)系式和圖表中體現(xiàn)的對應(yīng)關(guān)系，從而引入函數(shù)的概念，然而課后調(diào)查反饋，超過一半以上的學(xué)生不知道老師講的是什么？這里并不是說具體實例不好，而是如何用好，教師在教學(xué)中更多的是放電影一般，在學(xué)生頭腦中一閃而過，未能起到歸納函數(shù)的概念的作用.

2.以解題代替概念教學(xué)，顧此失彼

教師講解概念，完全是直接告訴式的，“一個定義，三項注意”，不提供概念的問題背景，不給學(xué)生概括、理解的機(jī)會，匆匆忙忙給出概念，把更多的時間花費在解題上面，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法，結(jié)果可能是學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費大量時間、精力，卻對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少.導(dǎo)致學(xué)生對概念理解的先天不足，嚴(yán)重制約解題能力.

四、函數(shù)概念教學(xué)的策略

“數(shù)學(xué)是自然的”，數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程也應(yīng)合乎情理，在情感上能被學(xué)生所接受.每一個數(shù)學(xué)概念，從它產(chǎn)生的背景、形成過程、應(yīng)用以及與其他概念的聯(lián)系，都是水到渠成的，不僅合情合理，而且富有人情味.然而受教材篇幅限制，教材中數(shù)學(xué)概念就以冰冷的學(xué)術(shù)狀態(tài)的形式呈現(xiàn).為此教師在教學(xué)過程中有必要對教材進(jìn)行深入研究，吃透摸準(zhǔn)，把握學(xué)情，分析教情，教師自己準(zhǔn)確理解所教內(nèi)容.

1.研究教材，有的放矢

與以往教科書比較，函數(shù)概念的處理方式從“先講映射后講函數(shù)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤跋戎v函數(shù)后講映射”.這樣做的目的是使學(xué)生在一個豐富的具體背景上理解抽象的函數(shù)概念.在定義域、值域問題上，教科書只對最基本的函數(shù)提出要求，教學(xué)中也不要做拓展.應(yīng)當(dāng)把主要精力放在使學(xué)生理解函數(shù)的基本概念和函數(shù)思想上.

2.融入數(shù)學(xué)史，了解概念生成

數(shù)學(xué)概念不是數(shù)學(xué)家隨意建造的空中樓閣，數(shù)學(xué)概念的起源有著豐富的社會歷史背景.函數(shù)概念又是微積分的中心概念，它的形成和發(fā)展與微積分緊密相連.正如其他數(shù)學(xué)概念一樣，函數(shù)概念伴隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷地改進(jìn)，不斷地精確化，其經(jīng)歷的漫長過程，體現(xiàn)了人們認(rèn)識世界，追求真理的科學(xué)探索精神.

教材安排了“閱讀與思考：函數(shù)概念的發(fā)展歷程”，簡要介紹了函數(shù)的概念的產(chǎn)生、形成與發(fā)展經(jīng)歷的數(shù)學(xué)史，使學(xué)生在追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡的過程中，能夠看到數(shù)學(xué)知識形成的過程和發(fā)展的趨勢，觸摸到知識的來龍去脈，了解概念的生成背景.幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.

教材還給出了“實習(xí)作業(yè)”，要求學(xué)生根據(jù)某個主題，收集一些對數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物的有關(guān)資料，了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程.

3.溫故知新，概念自清

概念教學(xué)以對數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確理解、數(shù)學(xué)概念的教學(xué)解析和對學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)的把握為前提，確定教學(xué)目標(biāo)，以使教學(xué)目標(biāo)處于學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi).高中階段的函數(shù)概念教學(xué)，應(yīng)從初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)出發(fā)，反思和提煉它們各自的抽象過程，并歸納它們的共性，從而形成一般函數(shù)概念的認(rèn)識基礎(chǔ).

例4《函數(shù)的概念》引入2.

（1）我們學(xué)過哪些函數(shù)？你能畫出它們的圖像嗎？

（2）名稱上為什么不叫一次直線，二次拋物線，反比例曲線而都叫某某函數(shù)？它們有什么共同的性質(zhì)特點？

（3）判斷下例哪些圖像與上題中的圖像有共同的特點？

利用學(xué)生已有的函數(shù)知識，結(jié)合函數(shù)圖像來得到生成函數(shù)概念中的唯一性和任意性，再得出函數(shù)概念.通過這樣一個具有與已有知識參與的思維過程，學(xué)生對函數(shù)概念的理解還是比較到位的，不會覺得知識的突然和僵硬.

4.設(shè)置問題串，啟發(fā)理解

以目標(biāo)為定向，圍繞概念的核心，針對學(xué)生的理解困難，以數(shù)學(xué)知識“再發(fā)現(xiàn)”為線索，

設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考和探索，在教師或同伴幫助下主動獲取知識，這是中國“啟發(fā)式教學(xué)”傳統(tǒng)與當(dāng)代認(rèn)知主義、建構(gòu)主義教學(xué)的綜合；以“問題串”方式所提出的問題應(yīng)當(dāng)注意適切性，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和領(lǐng)悟思想方法有真正的啟發(fā)作用，達(dá)到“跳一跳摘果子”的效果.

5.變式教學(xué)，深化理解

形式化定義是科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模欢趯W(xué)生而言不易理解、不易記憶，這就要求教師例題講解基礎(chǔ)上，適當(dāng)增加變式題組，強(qiáng)化概念的辨析與理解，使學(xué)生在從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性的認(rèn)知過程中，逐步養(yǎng)成由表及里的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、理解思維能力等.重點概念采取“問題驅(qū)動”，在解決問題中獲取概念.在理解概念的基礎(chǔ)上，通過變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握概念應(yīng)用的基本技能，促進(jìn)學(xué)生記憶知識.

例5（必修1第25頁習(xí)題1.2B組第2題）畫出定義域為｛x|-3≤x≤8，且x≠5｝，值域為｛y|-1≤y≤2，y≠0｝的一個函數(shù)的圖像.（1）如果平面直角坐標(biāo)系中點P（x，y）的坐標(biāo)滿足-3≤x≤8，-1≤y≤2，那么其中哪些點不能在圖像上？（2）將你的圖像和其他同學(xué)的比較，有什么差別嗎？

變式：若函數(shù)y=f（x）的定義域為｛x|-3≤x≤8，x≠5｝，值域為｛y|-1≤y≤2，y≠0｝，則y=f（x）的圖像可能是（）.

解：根據(jù)函數(shù)的概念，任意一個x只能有唯一的y值和它對應(yīng)，故排除C；由定義域為｛x|-3≤x≤8，x≠5｝排除A、D，選B.

教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過設(shè)置各種具體的例子和習(xí)題的分析幫助學(xué)生理解函數(shù)概念.概念的理解不到位，制約解題能力的提升；反之，解題過程有助于概念的深化理解.

6.互聯(lián)網(wǎng)+，輔助理解

全面、準(zhǔn)確地理解概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.概念從直觀到形式化，教師需要讓學(xué)生充分體驗概念的非形式化過程.現(xiàn)代化信息技術(shù)可視化的特點使得數(shù)、式、圖、表等形式能直觀、動態(tài)、相關(guān)聯(lián)地得以呈現(xiàn)，為概念的認(rèn)知提供了有力的支撐，為概念非形式化教學(xué)過程提供了傳統(tǒng)教具與手段難以比擬的優(yōu)勢，相對于嚴(yán)謹(jǐn)推理的枯燥，技術(shù)的輔助不僅可以引起學(xué)生的興趣，而且還可以揭示問題的本質(zhì).

7.居高臨下，拓寬理解

在不脫離中學(xué)數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的前提下，教師可以對重要的概念做必要的拓寬.教師倘若能站在高等數(shù)學(xué)的角度，溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，居高臨下地去釋疑，將會更有利于學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的精髓及其后續(xù)發(fā)展.

例6（2009年浙江卷·理10）對于正實數(shù)α，記M為滿足下述條件的函數(shù)（fx）構(gòu)成的集合：?x1，x2∈R且x2＞x1，有-α（x2-x1）＜（fx2）-（fx1）＜α（x2-x1）.下列結(jié)論正確的是（）.

A.若（fx）∈Mα1，g（x）∈Mα2，則（fx）·g（x）∈Mα·1α2

B.若（fx）∈Mα，g（x）∈Mα且g（x）≠0，則

12

C.若（fx）∈Mα1，g（x）∈Mα2，則（fx）+g（x）∈Mα1+α2

D.若（fx）∈Mα1，g（x）∈Mα2，且α1＞α2，則（fx）-g（x）∈Mα1-α2

利普希茨連續(xù)條件（Lipschitz continuity）是以德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颉だ障４拿?，是一個比一致連續(xù)更強(qiáng)的光滑性條件.若存在常數(shù)K，使得對定義域D的任意兩個不同的實數(shù)x1、x2均有：|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨條件.直觀上，符合利普希茨條件的函數(shù)的斜率，必小于一個利普希茨常數(shù)的實數(shù).問題中正實數(shù)α就是這個常數(shù)，該常數(shù)依函數(shù)而定，問題中的集合就是滿足利普希茨條件的Mα的函數(shù)集合.

五、反思

1.打鐵還須自身硬

“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，以須入乎其外.”王國維先生在《人間詞話》中如是說.高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)亦是如此.教師應(yīng)重視自己的生活經(jīng)驗和對生活的感悟，將自己的學(xué)科教學(xué)與學(xué)科的歷史發(fā)展、與學(xué)生的生活實際相聯(lián)系，形成對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的系統(tǒng)思考，并潛移默化地影響學(xué)生.準(zhǔn)確的概念教學(xué)目標(biāo)定位，來自于教師的廣泛閱讀、仔細(xì)分析，來自于教師對概念的深刻領(lǐng)會，深入的理解，更源自于教師的學(xué)習(xí)和研究，概念教學(xué)目標(biāo)定位策略的形成過程也是教師教學(xué)境界的提升過程，境界高遠(yuǎn)才能視野開闊.用教師的視野去引領(lǐng)學(xué)生，就不會只是在抱怨學(xué)生一代不如一代中而無所作為.

2.路漫漫其修遠(yuǎn)兮

學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展是一個連續(xù)不斷地建構(gòu)與平衡過程，呈螺旋狀地不斷上升，每一種已達(dá)到相對平衡狀態(tài)的建構(gòu)，都將為新的平衡提供條件與可能，認(rèn)知螺旋的建構(gòu)過程及其質(zhì)量決定了學(xué)生的學(xué)習(xí)水平.學(xué)生對數(shù)學(xué)概念及其思想方法的認(rèn)識和理解，不是“直線式”地發(fā)展，而是“螺旋式”地上升，可謂“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索.”

布魯納在《教育的過程》中說“他所學(xué)習(xí)的概念越基礎(chǔ)或越基本，幾乎由定義構(gòu)成，它應(yīng)用于新問題的廣度就越大.”數(shù)學(xué)教學(xué)要有核心概念，最好能整理出每章的核心概念是什么，這樣每堂課的教學(xué)就有一條準(zhǔn)線，不會偏離太遠(yuǎn).學(xué)生概念的建構(gòu)需要教師的指導(dǎo)與幫助；教師概念的正確理解是概念教學(xué)的基礎(chǔ).

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書：A版數(shù)學(xué)1［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.劉亞平.蘇教版高中數(shù)學(xué)“數(shù)列的概念”教材研讀與認(rèn)識［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（3）.

4.曹鳳山，陳朝陽.年年新氣象 歲歲求本真——2015年浙江高考試題評析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（8）.