☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)平望中學 吳建琴

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☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)平望中學 吳建琴

數(shù)學問題千變?nèi)f化、無窮無盡，但細想一下數(shù)學成績好壞的本質(zhì)不正是能否解決問題嗎？這讓筆者想起了美國著名數(shù)學家波利亞的一句名言：“數(shù)學的最核心部分就是問題，它就如人體的心臟一般重要”，“掌握數(shù)學意味著什么？那就是善于解題.”學生的學習技能并沒有很大的提高，邏輯推理分析思維能力及幾何中的推理論證能力下降，解題技巧大大變?nèi)?，這些問題都是從解題中來，那么就應(yīng)該想辦法更好地應(yīng)用到解題中去，使得我們的學生解題時得心應(yīng)手，做題時處之泰然、逆轉(zhuǎn)厭學心理，創(chuàng)造出從成功到成功的學習體驗.

解決數(shù)學問題是數(shù)學學習的一個很重要核心，學好數(shù)學就意味著解好數(shù)學問題.無可否認，解題能力標志著學生的數(shù)學水平高低的一個很重要因素.但是如何去解好數(shù)學問題？如何理解抽象的數(shù)學知識？如何站在系統(tǒng)的高度認識問題反映的數(shù)學本質(zhì)呢？筆者認為能否提高數(shù)學能力，與學習中是否清晰地理清上述關(guān)系、認知問題的循序漸進有很直接的關(guān)系.當下的數(shù)學教學，尤其是以問題的解決為重心的應(yīng)試教學中，學生應(yīng)該積極更新學習觀念、改進學習法、創(chuàng)新學習方式、努力實踐、提高數(shù)學學習的能力.

一、知識理解中的“庖丁解?！?/h2>

數(shù)學知識的理解是課堂教學的關(guān)鍵，很多中學數(shù)學知識隨著難度的深入，無法形成一步到位的理解，這就需要教師在教學中加強課堂知識如何用非形式化手段進行演繹的本領(lǐng)和能力.筆者以大家熟知的函數(shù)概念為例，這是上百年才形成的數(shù)學抽象概念，教師如何在短短的四十五分鐘之內(nèi)讓學生做淺顯的了解呢？以往傳統(tǒng)的做法是將函數(shù)概念首先簡單介紹一下，然后用特殊的例題介紹，然后對函數(shù)概念進行解讀，這樣的教學一直堅持了很多年.但是我們也發(fā)現(xiàn)，學生對于函數(shù)概念的本質(zhì)依舊沒能完全理解和掌握，比如在解決很多挖掘概念問題的時候，其并沒有理解函數(shù)概念，說明我們的教學指向性依舊很有問題.來看下面的問題：存在函數(shù)滿足，對任意x∈R都有______________.

這是筆者給學生做的函數(shù)本質(zhì)挖掘題，但是幾乎沒有學生可以看透問題背后的本質(zhì)：函數(shù)是一種一對一或多對一的對應(yīng)關(guān)系，只要取x=0和x=-4就能驗證（1），其余問題類似可以驗證，得（1）是正確的選項.這也凸顯了教學中學生并未理解知識.如何來實施函數(shù)概念教學呢？筆者認為，應(yīng)該庖丁解牛的方式分為三個層次來教學：

案例1函數(shù)概念教學的庖丁解牛.

層次1：用生活實例引入教學，筆者是這樣引入介紹的：黃豆是加工任何豆制品的原料，通過不同的材料加工機，我們發(fā)現(xiàn)黃豆被加工成各種生成品，比如豆腐、豆腐花、千張結(jié)、腐竹等等一系列產(chǎn)品.請同學們思考一下，這與我們今天要講的函數(shù)有什么類似嗎？（目的：讓學生明白，函數(shù)中自變量x相當于是情境中的黃豆，使用不同加工機相當于每一個不同函數(shù)的對應(yīng)法則，可以得到不同的函數(shù)值，這是非形式化手段對形式化概念較好的使用體現(xiàn)）

層次2：給出一系列函數(shù)概念對應(yīng)圖形（圖略），對比加深概念的理解和認知.這里的圖形可以是集合形態(tài)的、函數(shù)圖像形態(tài)的等等，主要目的是掌握函數(shù)所表示的兩種特殊的對應(yīng)：一對一和多對一.

層次3：給出具備函數(shù)概念特征的問題，進一步加深函數(shù)的概念.首先給出文中問題1，請學生從函數(shù)是特殊的對應(yīng)的角度加深對函數(shù)概念的理解，其次是研究一些簡單的抽象函數(shù)，看學生是否對于函數(shù)概念以及相關(guān)的三要素有深刻的認知，將函數(shù)概念分步教學，層層深入、循序漸進、螺旋式上升，從特殊形態(tài)到一般形態(tài)，從而達到抽象認知的層面.總之，對于抽象性的概念采用庖丁解牛式的分解教學，有助于學生對新知從里到外、逐步理解，使其對知識的掌握程度有了長足的進步.

二、解題教學中的“庖丁解?！?/h2>

知識的理解是問題解決的前提，但是僅僅有知識理解還是遠遠不夠的，學生對于知識最終的表象依舊是從數(shù)學問題的解決中體現(xiàn)出來，因此如何在解題教學中掌控才是最關(guān)鍵的.我們知道，單一的數(shù)學知識運用問題往往只出現(xiàn)在高一、高二新知教學階段，這種孤立的、不連續(xù)的知識使用對于學生而言往往是輕松的，隨著教學難度的加深和知識綜合性運用程度的提升，數(shù)學問題變得愈來愈復(fù)雜，知識運用的多重性也表露出來，此時如何在解題教學中更上一層樓成為教師教學的關(guān)鍵.筆者以高三復(fù)習教學《函數(shù)的奇偶性》為例，層層深入地給出復(fù)習教學中對于奇偶性函數(shù)判斷的設(shè)計：

層次1：①f（x）=2x2+1，x∈R；②f（x）=2x2+1，x∈［-2，2］；③f（x）=2x2+1，x∈［-2，2）；④f（x）=2x2+1，x∈（0，+∞）.

說明：概念層面的回顧，定義域能否關(guān)于原點對稱是判斷的第一準則.

層次2：①（fx）=0，x∈［-6，-2］∪［2，6］；②f（x）=|x-2|+|x+2|；③（fx）=|x-2|-|x+2|；④（fx）=lg（+x）.

說明：對于定義域有意義的前提下，鞏固如何判斷奇偶函數(shù)的主要方式方法.

層次3：①f（x）=g（4+x）+g（4-x）（x∈R）；

說明：抽象函數(shù)和分段函數(shù)的奇偶性如何處理，是奇偶性復(fù)習教學的難點，如何解決這一內(nèi)容成為奇偶性復(fù)習教學的關(guān)鍵.對于層次3，首先先驗證函數(shù)定義域的對稱性，再考察（f-x）是否等于（fx）或-（fx）.

①它具有對稱性，因為（f-x）=g（4-x）+g（4+x）=（fx），所以（fx）是偶函數(shù)，不是奇函數(shù).

綜上可知，在（-∞，0）∪（0，+∞），g（x）是奇函數(shù).

三、問題反思中的“庖丁解牛”

數(shù)學學習不能只理解知識、只學會做題，還需要學會反思.反思才是教學最啟發(fā)學生思維、最觸及學生心靈的教學.筆者認為，數(shù)學問題還需在反思環(huán)節(jié)做一些庖丁解牛.一般來說，學生對于數(shù)學問題的思考僅限于“這題我做對了沒有？”“為什么錯了？”“這個知識的使用是否不熟練？”“下次要記??！”等等非常淺顯的表面思考.教師教學正是在此基礎(chǔ)上的挖掘，要幫助學生認識到為什么錯？這還不夠，還需要引導學生反思為什么考這樣的問題？基于什么目的？這一錯誤的背后往往還有哪些常見的考法？鼓勵其不斷地積累總結(jié)，才能有助于數(shù)學學習的不斷進步.

案例2設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，集合A=｛x|f（x）= x｝，且f（x）在區(qū)間［-2，2］上的最大值與最小值分別為fmax和fmin.若A=｛1｝，且a≥1，則min（fmax-fmin）的值__________.

本題作為測試中的稍難題，有很多學生不理解問題的含義，根本無從下手.問題的表述較為抽象，學生也不能理解和接受，因此筆者認為這樣的問題值得教師思考和引導學生做庖丁解牛：

分析：本題求最值的前提條件是找出二次函數(shù)的三個系數(shù)間的關(guān)系.深入挖掘函數(shù)零點的實質(zhì)：“方程f（x）= 0有實根?函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點?函數(shù)y=f（x）有零點”.故二次函數(shù)f（x）-x=a（x-1）2，利用兩個函數(shù)相等對應(yīng)系數(shù)相等即可得到a，b，c的關(guān)系，進而討論函數(shù)f（x）的最值，這是反思的第一層次，其次是抽象符號語言的認識，min（fmax-fmin）所表達的含義是函數(shù)f（x）最大值與最小值用a表示出來，進而求解以a為自變量有關(guān)的最小值，這是反思問題抽象性表述的第二層次.

反思類題（2）：已知函數(shù)（fx）=2x2+bx+c（b，c∈R）的定義域是［0，2］，記|（fx）|的最大值為M，則M的最小值是__________（.答案：1，解決過程同上）

反思類題（3）：已知函數(shù)（fx）=-x2+2bx+c，設(shè)函數(shù)g（x）=|（fx）|在區(qū)間［-1，1］上的最大值為M.若M≥k對任意的b，c恒成立，試求出k的最大值（.答案：，解決過程同上）

反思類題（4）：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的零點為x1，x2（x1＜x2），函數(shù)f（x）的最小值為y0，且y0∈［x1，x2），則函數(shù)y=f（f（x））的零點個數(shù)是____________.

分析：函數(shù)y=f（x）有兩個零點x1，x2（x1＜x2），則可利用二次函數(shù)f（x）的零點式將其轉(zhuǎn)化為f（x）=a（x-x1）（x-x2），（a＞0），要求y=f（f（x））=a（f（x）-x1）（f（x）-x2）的零點個數(shù)，實際就是求a（f（x）-x1）（f（x）-x2）=0（a＞0）的根的個數(shù)，因此f（x）=x1或f（x）=x2，結(jié)合條件y0∈［x1，x2），利用數(shù)形結(jié)合思想解決即可.

總之，當下數(shù)學教學需要層層遞進的設(shè)計，這種設(shè)計是符合學生認知心理學的，也能讓學生對于問題做到“庖丁解?！钡膩砜矗沟媒虒W簡潔有效.筆者建議，教師要做精細的思考、多角度的設(shè)計、形象與抽象的結(jié)合、具體與一般的穿插，讓數(shù)學教學來得更為通俗易懂，使更多學生做到理解數(shù)學、掌握知識.

1.宋衛(wèi)東.從生“動”到生動，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學數(shù)學月刊，2013（5）.

2.方石.數(shù)學教學詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學通訊，2014（4）.

3.柴賢亭.數(shù)學教學中的函數(shù)問題設(shè)計［J］.教學與管理，2012（10）.