華青

一、比的認識

“比”是數學中的一個重要概念，其概念實質是對兩個數量進行比較，表示兩個數量間的倍數關系。這兩個數可以是同類量，也可以是不同類量?！氨取笨梢员硎緸閮蓚€同類量的比，表示的是它們之間的倍數關系，比如，一面紅旗長15cm，寬10cm，我們可以說長和寬的比是15比10，即15∶10，也可以說寬和長的比是10比15，即10∶15。比還可以表示兩個不同類量的比，表示的是第三種量，比如，90分鐘繞地球42252km，也可以用“比”來表示路程與時間的關系，表示單位時間所行的路程（即速度）。

比和除法、分數有著密切的聯系，但又不完全等同，“比”更強調的是量與量之間的倍比關系的直接描述，有時并不關注具體比值是多少，而除法、分數更多的是強調兩個量之間的一種運算關系，通常也會關注運算的結果。此外，我們用“比”可以同時表示兩個、三個甚至更多的量之間的倍比關系，而除法、分數一般只能表示兩個量之間的倍比關系?！氨取辈粌H表示相除，更是一種關系！因此，現行新教材將“比”從分數除法單元脫離，獨立成為一個單元，以突出量與量之間的關系。

比，也是對“平均分”方法的延伸和發(fā)展，例如，把12張畫按2∶1分給兩位同學，實際上就是把總量平均分成（2+1）份，而如果按1∶1分配，就是平均分。在解決的過程中，可以實際操作，列表解決，按每次2張1張分發(fā)；也可以畫圖后，按整數問題來解決，先求每份是多少，再求各自的幾份；當然按照分數問題來解決，把總數看成“整體”，先求各自占整體的幾分之幾，再求是多少也是可以的。

“比”是小學數學中的一個重要概念，讓學生真正理解比的意義，具有一定難度。

1. 透過份數理解比

如“按1∶4的比配制一瓶500 mL的稀釋液”，指的就是“濃縮液體積有1份，水的體積有4份，稀釋液的體積有5份”；“每個橡皮艇上有1名救生員和7名游客”，也就是說“救生員和游客的人數比是1∶7”，將兩個數量關系用比的形式加以抽象概括。由此可以明白，透過份數來學習“比”這一概念，為解決問題積淀了豐富的表象，為正確解答按比分配問題提供清晰的解題思路。

2. 分數轉化理解“比”

“女生人數是男生的1倍”，即女生人數是男生人數的，發(fā)現男、女生人數的比是4∶5。借助分數的意義，進一步認清兩個量之間的關系，將分數靈活轉化為比。

二、學生已有經驗的分析

目前，教材把“比”的內容放在六年級，在對“比”進行系統(tǒng)學習前，學生已經有了除法、分數除法的學習基礎。那么，六年級學生對“比”有哪些認識呢？

（一）生活中關于“比”經驗的積累

談起“比”學生并不覺得陌生，因為生活中常常遇到。比如在前測中學生提到的：

A. 吹泡泡的液體中，水和洗潔精的比是2∶3。

B. 社團的男、女生之間的人數比是24∶25。

C. 沖泡燕麥片時，燕麥和水之間量的最佳比是1∶6。

D. 金龍魚調和油中大豆油、玉米油、菜籽油的比是1∶1∶1。

E.足球賽中，甲、乙兩隊的進球分之比為2∶3。

以上事例中，學生都提及了“比”，可見生活中學生有不斷接觸“比”的機會，至少學生清楚“比”的外在表征形式，事例A、B、C、D都是對“比”的正確感知。當然，生活語言時常還沖擊著數學表達，學生頭腦中生活中的籃球比分，如事例E，雖然形式上雷同，但是意義上卻截然不同，學生無法從本質上區(qū)分，容易被生活語言“負遷移”。

（二）知識學習過程中積累的比經驗

本單元內容是在學生學習分數乘除法的基礎上安排的，從學習的具體內容來看，學生已經掌握了除法的意義、分數與除法的關系、分數乘除法的計算以及解答有關分數乘除法的實際問題等知識，這些是學習“比”不可缺少的知識基礎。

1. 份數經驗

通過低段對倍數的學習，讓學生“按黃球是紅球的3倍取球”，學生能夠輕松羅列出各種方法，如取紅球1份黃球3份，取紅球2份黃球6份，取紅球3份黃球9份……從份數的角度來思考，發(fā)現不管怎么取，只要符合黃球、紅球個數比為3∶1，滿足這樣的倍數關系即可。又如，“班級女生人數是男生人數的倍”，從理解的簡潔性上考慮，我們常常默認男生人數為4份，女生人數為3份，在這樣轉化理解的過程中，也開始隱約滲透“比”的意義。

2. 除法概念經驗

比與除法、分數有著密切的聯系，所以應當充分利用學生原有的知識基礎，引導學生聯系相關知識進行類比和推理。例如，“2本本子8元，3本本子12元，4本本子16元……”我們可以利用“總價÷數量=單價”中的商不變性質研究總價與數量之間的關系。在這樣的變化中，什么沒有變？是總價與數量的比，都是4∶1，也可以說成數量與總價的比沒有發(fā)生變化，都是1∶4。當然“比”也可以與分數建立這樣的聯系。

比的前項、后項、比值與除法中的被除數、除數、商以及分數的分子、分母、分數值形成對應關系等，通過學生自己的思考、分析、解答，這不僅有利于加深對比的意義的理解，也能加深對除法與分數概念的理解，促進比與除法、分數的知識之間的融會貫通。

三、前測的意圖及習題

從上述的分析來看，學生對于“比”的生活感觸還是較為寬廣的，但是就每個個體而言，對生活中的“比”是否人人都有這樣的數學直覺，他們當中存在著怎樣的差異呢？為了更好地幫助學生學習并掌握“比”的概念及聯系轉化的方法，我們試圖通過前測了解學生以下幾方面的現實起點，從而為教學提供有利資源和借鑒。

第一，學生能否正確聯想到生活中的比？

第二，學生能否由倍數、除法、分數聯想到比的意義？

第三，學生是否理解比的意義中所包含的兩個量的倍比對應關系？

第四，面對生活情境，學生是否能真正區(qū)分相差關系與倍比關系？

基于這樣的意圖，又為了便于操作，我們設計了如下三個習題及相應的問題。

測試題1：

（1）生活中，你聽說過或者看到過幾比幾嗎？請舉例說明。

（2）調制一杯糖水，里面有比嗎？如果有，會是誰和誰的比呢？

（測試意圖：檢測學生對“比”的直覺，即了解學生對生活中的各個“比”的認知度，主要看學生能否在生活中回憶尋找到“比”，在這些“比”之中，球場的比分，數學意義的比又占多大比例。）

測試題2：

（1）這一杯飲料中糖與水的比是1∶10。你知道它的意思嗎？能不能用我們學過的知識來解釋一下？

（2）如果我放3勺糖，應該放多少水？如果再加1勺糖呢？應該放多少水？

（3）上面的飲料中，糖與水的具體數量不斷地在變，什么沒有變？

[測試意圖：（1）了解學生能否對“比”有正確的意義理解，能否嘗試通過已經習得的知識來解決新問題。（2）能否解決具體數量不斷地在變而引起另一個量變化的問題。（3）了解學生能否深入思考，發(fā)現在變化的過程中不變的量。]

測試題3：下圖中這兩個1∶10表示的意義一樣嗎？有什么區(qū)別？

（測試意圖：以賽場的比分沖擊對“比”的認識，從學生真實的想法中，洞察學生能否區(qū)分相差關系與倍比關系，從數學“比”的本質出發(fā)，避免生活經驗的負遷移。）

四、測試要求和數據統(tǒng)計

（一）測試的對象

六年級學生100人，在六年級第一學期，學生學習該內容前一周。（為了對比研究，也可以選五年級第二學期末的學生進行檢測）

（二）測試的方法

測試題均采用筆試，逐題測試，對于第3題部分學生采用面試方式進行，要求學生到場操作，并做好摘錄。

（三）數據統(tǒng)計

每個測試題需要統(tǒng)計的數據：

測試題1：①列舉比賽比分的人數及比例；②列舉數學意義比的人數及比例；③正確理解糖水中比的人數及比例。

測試題2：①能正確理解比的人數及比例；②能正確解答實際問題的人數和比例；③能正確理解倍比對應關系的人數及比例。

測試題3：正確區(qū)分比的本質的人數及比例。

五、測試結果分析和教學建議

（一）測試結果

我們選擇了城區(qū)優(yōu)秀學校，隨機抽樣100名學生進行筆試，結果如下。

第1題：

（1）列舉生活中的比。

（2）糖水中的比。

在正確表述的94名學生中，能正確理解糖和水的比的有53人，占53%，正確理解糖和糖水比的有6人，占6%，能正確理解兩者關系的有35人，占35%。

第2題：

（1）用學過的知識來解釋糖∶水為1∶10。

在知其然知其所以然的93名學生中，大多采取了份數理解策略，能表達清楚兩者之間倍比對應關系。

（2）放3勺糖，對應放多少水？如果再加1勺糖呢？應該放多少水？

在錯誤解答的同學中，對糖的數量改變引起水的數量變化之間關系理解錯誤的有28位，占28%；有15位同學表示解答具體問題有困難。

（3）糖與水的具體數量不斷地在變，什么沒有變？

參與調查的同學中，有93人，占93%，提到了糖占糖水的比重未變。

第3題：糖與水的比1∶10和賽場比分1∶10，表示的意義一樣嗎？

（二）測試結果分析

根據檢測結果可以得出如下幾點結論。

第一，六年級的學生絕大多數有了“比”的潛意識，碰到生活中（ ）∶（ ）這樣的表征形式，能首先聯想到比。學生的爭論焦點就是賽場比分是否符合數學研究的比，這也是本節(jié)課需要達成的目標，即學生能從數學的角度，從比的意義出發(fā)重新定義比。（建議保留學生的困惑與爭論）

第二，在研究糖與糖水“比”的過程中，學生會從字面上聯想，比較自然地聯想到“糖與水”“糖與糖水”的比，而“水與糖水”的比，對學生來說是比較難考慮到的，建議增加追問環(huán)節(jié)，還可以有不一樣的比嗎？突破這一思考的盲區(qū)。

第三，從對“比”的實際意義理解、解答實際問題來看，學生對于比表征的倍比對應關系還是有著相對清晰認識的。有85%的學生已經掌握了將糖看作1份，根據水是糖的10倍，糖擴大3倍，水應該擴大30倍的邏輯思維來分析具體問題，說明學生能聯系倍數、商不變性質來解決實際問題。通過對錯誤解答學生的采訪，發(fā)現不少學生審題不清“如果再加1勺糖呢”，到底最終有多少勺糖？建議題目可以更加開放一些，如“如果（ ），需要加多少水？”

第四，面對數學意義的“比”和賽場上的“比分”，有96%的學生都能正確辨析數學意義中的比，其中85%的學生還能站在數學的角度解釋判斷依據，說明六年級學生已有一定的思辨能力。從學生的思辨過程看，學生會聯想到倍數關系、對應關系、部分占整體的分數意義等方面，這樣對比的正確區(qū)分有很大幫助。這也剛好修正測試題1中學生的想法，從疑問出發(fā)進行研究，解決疑問并產生新的疑問，在學習中逐步理解、建構概念，辨析本質含義。

（三）教學建議

根據前測數據分析，我們對“比”一課的教學提出如下幾條建議。

1. 理解“比”的現實背景，逐步抽象“比”

雖然學生對“比”并不陌生，但是對于“比”產生的必要性，學生體會不夠深入。教學時，可以從學生的生活經驗和學習經驗入手，理解“比”的現實背景，通過具體情境來引發(fā)學生的思考討論，并逐步抽象出“比”的概念，理解“比”的意義。安排情境時，建議由同類量的“比”逐步比較不同類量的“比”，結合各自情境理解實際意義。

2. 自主學習類比推理，抽象概括“比”

在教學時，應充分利用學生原有的學習基礎，開展觀察、實驗、猜想、驗證等活動，引導學生用“相當于”一詞來說明比、除法、分數的聯系，進行類比和推理，促使原有知識的重新建構，加強知識之間的聯系。

3. 交流討論數學思辨，深刻理解“比”

學生有豐富的“比”的生活經驗、知識基礎，也具備一定的數學辨析能力，可以采用學生自主交流討論的形式來突破教學難點，增加辨析賽場比分的機會，讓學生聯系生活實際用舉例子的方法來證明自己的觀點，透過現象看本質，為提煉“比”的意義做準備。還可以在遷移學習的過程中，組織學生對“比的各部分與除法、分數之間各部分間的關系”和“比的后項可以是0嗎”展開討論，幫助學生進一步明確比與分數、除法之間的關系，使學生對“比”的認識更加透徹，認識結構得以進一步完善。

4. 對比拓展，實現有意義遷移

在后繼的學習中，可以補充更多現實意義的場景，比如電子表的顯示時刻，同樣無法表示兩個數相除的關系，在不斷對比中，加深對“比”的認識；練習中可以適當滲透用“比”來描述三個量之間關系的情況，拓寬對“比”意義的理解。

同時，“比”來源于生活，也應該應用于生活，生活中令人賞心悅目的“黃金比”，可以作為對“比”的意義深入理解的輔助，“黃金比”圖片欣賞，也為學生積累了豐富的數學經驗，拓展知識面，提高學生的數學思考能力。

（浙江省杭州市學軍小學 310012）