嚴(yán)政建

在教學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”這一課時(shí)，很多教師會(huì)把圓的概念、半徑、直徑及其關(guān)系作為教學(xué)的重點(diǎn)，會(huì)選擇折一折、比一比、量一量的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)，用告訴、發(fā)現(xiàn)的方式讓學(xué)生認(rèn)識(shí)這些概念；在教學(xué)用圓規(guī)畫圓時(shí)會(huì)總結(jié)詳細(xì)的畫圓步驟，讓每位學(xué)生掌握畫圓的方法；在滲透數(shù)學(xué)文化時(shí)，會(huì)非常重視數(shù)學(xué)知識(shí)的人文背景，向?qū)W生充分展示圓的文化內(nèi)涵，但在基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力方面，學(xué)生沒有達(dá)到數(shù)學(xué)的理性與概括。綜觀這樣的獲得知識(shí)，除了豐富學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、搭建必要的認(rèn)知臺(tái)階外，并沒有為學(xué)生數(shù)學(xué)思考力的提升作出貢獻(xiàn)。因此，對(duì)圓概念的本質(zhì)理解是不深入的，學(xué)生心中呈現(xiàn)的仍然是一個(gè)靜態(tài)的圓。如何讓學(xué)生心中的圓動(dòng)態(tài)化，筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)圓這個(gè)概念時(shí)不應(yīng)該只是為了定義而教學(xué)，而應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷定義化過程。于是筆者進(jìn)行了以下幾個(gè)教學(xué)片段的嘗試，收到了較好的效果。

一、從“圓規(guī)”到“直尺”——突破畫圓工具，理解圓的內(nèi)涵

學(xué)生對(duì)圓既熟悉又陌生，一方面學(xué)生已經(jīng)知道了圓的形狀特征（半徑、直徑及關(guān)系等），另一方面對(duì)圓的圖形性質(zhì)（到定點(diǎn)距離等于定長）又知之甚少。用圓規(guī)畫圓是為了讓學(xué)生掌握?qǐng)A的一些基本知識(shí)，通過動(dòng)手操作讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的特征之間的關(guān)系，同時(shí)也歸納出畫圓的方法的兩個(gè)要點(diǎn)：定點(diǎn)和定長。但是在這個(gè)操作活動(dòng)中思辨活動(dòng)比較少，也就是說畫圓為什么要定點(diǎn)、定長，這個(gè)概念學(xué)生是模糊的。因此在學(xué)生掌握了用圓規(guī)畫圓后再提出一個(gè)思維挑戰(zhàn)：用直尺畫圓。用直尺畫圓，先讓學(xué)生定點(diǎn)，然后思考定長。怎么定長是考驗(yàn)學(xué)生的關(guān)鍵問題，學(xué)生必定會(huì)思考怎么才能使從定點(diǎn)出發(fā)的線段相等。通過實(shí)踐學(xué)生想出了五種方法，讓學(xué)生在思辨中感悟到圓的本質(zhì)屬性——到定點(diǎn)距離等于定長。因此，用概念的本質(zhì)去解決畫圓的方法才是解決一切問題的法寶。

師：你能用圓規(guī)畫圓嗎？請(qǐng)你試著畫一個(gè)圓，畫圓時(shí)想一想要注意什么呢？（生畫圓）

師：說一說畫圓時(shí)要注意什么。

生：圓規(guī)兩腳分開。

生：圓規(guī)兩腳之間的高度要一樣。

生：畫圓的過程中圓規(guī)要稍微傾斜30度左右，使畫出的圓的線條流暢，畫圓過程中帶有針的一端不能移動(dòng)。

生：圓規(guī)兩腳的距離不能改變。

師：圓規(guī)兩腳的距離為什么不能動(dòng)？

生：動(dòng)了就是一個(gè)腳到圓心的距離不相等了。

生：動(dòng)了半徑就不一樣了。

……

師：聽了剛才同學(xué)們說的注意點(diǎn)，我認(rèn)為有兩點(diǎn)很重要：（1）找一個(gè)合適的地方，定點(diǎn)；（2）圓規(guī)兩腳之間要有一定的距離，定長。

師：按照同學(xué)們說的，老師也來畫一個(gè)（邊說邊畫），先定點(diǎn)，再定長。

師：請(qǐng)你把剛才畫的圓修正一下，或重畫一個(gè)。

……

師：剛才我們用了圓規(guī)，先定點(diǎn)再定長畫了一個(gè)圓，你能不能用直尺，利用定點(diǎn)、定長這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)畫一個(gè)圓呢？你打算怎么畫？小組討論下。

方法一：

生：我們組的辦法是先在紙上定一個(gè)點(diǎn)，然后從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)畫3cm長的線段，畫得越多越好，然后把各條線段的另一端點(diǎn)用曲線連起來。

師：畫得越多越好是什么意思？

生：因?yàn)閳A的半徑都相等的，其實(shí)這些線段就是圓的半徑，半徑可以畫無數(shù)條，畫得越多曲線就容易連起來。

方法二：

生：我們跟他們不一樣。先畫一條10cm的線段，取一個(gè)中點(diǎn)，再通過中點(diǎn)畫20條10cm的線段，并且這個(gè)點(diǎn)都是這些線段的中點(diǎn)。然后把這些線段的端點(diǎn)用曲線連接起來。

師：你的定點(diǎn)、定長在哪里？

生：定點(diǎn)其實(shí)是這個(gè)中點(diǎn)，定長是10cm線段的一半5cm。

師：為什么要畫20條這樣的線段呢？

生：線段畫得越多越好，曲線就容易連接起來，不一定要20條，30條、40條都可以。

方法三：

生：先畫一個(gè)十字架，每條線段定一個(gè)點(diǎn)到中點(diǎn)的距離相等，然后把4個(gè)點(diǎn)用曲線連接起來。

師：……

方法四：

生：用一把直尺量取一段長度作為圓的直徑，記錄下這條線段的中點(diǎn)，把這個(gè)中點(diǎn)作為圓的圓心，把直徑作為邊長作一個(gè)正方形，然后作這樣無數(shù)個(gè)正方形，這樣正方形的頂點(diǎn)就會(huì)構(gòu)成一個(gè)圓的圖形，這個(gè)我是在一本書上看到的。

方法五：

生：畫一個(gè)正六邊形，然后把多邊形的頂點(diǎn)用弧線連起來。

……

師：你們的方法太好了，用直尺也能畫圓。那讓我們一起來用直尺畫圓吧。

二、從“小”到“大”——突破空間的局限，體驗(yàn)圓的特征

如果說用圓規(guī)畫小圓、等圓是讓學(xué)生感受畫大小不同的圓是跟定長有關(guān)，那么讓學(xué)生在操場(chǎng)上思考怎樣畫大圓是為了進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)，畫圓不一定要用圓規(guī)，只要有定點(diǎn)與定長就可以，這也是對(duì)用直尺畫圓的突破。因此，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)有學(xué)生用“十字坐標(biāo)”法畫圓，這種方法其實(shí)是對(duì)直尺畫圓的一種遷移。而學(xué)生想到了用釘子與繩子畫圓的方法是一種對(duì)圓定義的突破。只要將與圓心距離處處相等的點(diǎn)連起來就成圓了，可以進(jìn)一步體會(huì)到圓的特征。因此，這樣教學(xué)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取，不是被動(dòng)地接受，而是一種自我建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程。

師：剛才我們用圓規(guī)、直尺在紙上畫圓。老師這里有一個(gè)半徑為4cm的圓，你能跟我畫一個(gè)同樣大的圓嗎？想一想應(yīng)該怎么畫？

生：只要我畫的圓半徑定在4cm就行了。

生：……

師：請(qǐng)你在紙上畫一個(gè)與老師的圓一樣大的圓。（生畫圓）

師：剛才我們都是在紙上畫一些小圓，如果要在我們的操場(chǎng)上畫一個(gè)半徑為2.5米的大圓，你有沒有好方法？（生思考）

師（啟發(fā)）：我們的圓規(guī)比較小、直尺比較短，籃球場(chǎng)上畫大圓還能用它們來畫嗎？

生：不行。

師：那我們的定點(diǎn)、定長怎么辦呢？

生：我們可以用一根2.5米長的繩子，固定一端，然后以另一端繞著這個(gè)端點(diǎn)轉(zhuǎn)一周就成了一個(gè)大圓。

生：還可以先在操場(chǎng)上畫十字坐標(biāo)，以十字坐標(biāo)的交叉點(diǎn)為圓心，定好上下和左右的半徑，畫出一個(gè)正方形。然后再連接它們的對(duì)角線，采用切割的方法，先把正方形切成正8邊形，再切成正16邊形，再切成正32邊形。然后把各個(gè)點(diǎn)連接起來就成圓了。

三、從“方”到“圓”——突破思維限制，感悟圓的本質(zhì)

“一中同長”是圓和其他平面圖形的本質(zhì)特征得以凸顯與內(nèi)化的重要屬性，而“曲線圖形”“沒有角”等特點(diǎn)是圓的非本質(zhì)屬性。從中心到圖形上相等的線段條數(shù)的對(duì)比教學(xué)，一方面深化了學(xué)生對(duì)多邊形特征的認(rèn)識(shí)，另一方面更是在比較辨析中促成了學(xué)生對(duì)圓的半徑有無數(shù)條、所有的半徑都相等的深層次認(rèn)同。從正六邊形一直到正800邊形，更是架起了多邊形與圓之間的橋梁，讓學(xué)生有了直與曲圖形辯證統(tǒng)一、有限與無限、量變與質(zhì)變等的思考。

師：同學(xué)們，我們以前認(rèn)識(shí)圖形特征就是從邊和角兩個(gè)方面來研究的，圓確實(shí)具有大家說的這些特點(diǎn)。知道古人是怎么說圓的特征嗎？

師：古人說圓是“一中同長”，明白這句話的意思嗎？

生：一個(gè)中心點(diǎn)！

師（笑著）：什么是“同長”？

生：半徑一樣長，直徑的長度也一樣長。

師（反問）：圓，有這個(gè)特征嗎？

生（齊聲）：是的。

師：在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形中“一中不同長”嗎？（如下圖）

生：如果把線連到三角形的邊上，那么它們線段的長度就是不一樣的。

師：連在各頂點(diǎn)上的長度是相等的，但連接邊上的長度與連接頂點(diǎn)長度就不一樣了（出示課件），但是圓呢？

生：都一樣。

師：是的，圓上的點(diǎn)到圓心的距離都是相等的，而且正三角形內(nèi)，中心到頂點(diǎn)有3條線段相等，正方形有4條，正五邊形有5條……圓呢？

生：有無數(shù)條。

師：為什么是無數(shù)條？

生：因?yàn)閳A上面有無數(shù)個(gè)點(diǎn)。

師：那誰來說說，半徑是一條怎樣的線段？

生：一端在圓心，一端是圓上任意的一個(gè)點(diǎn)。

師：其實(shí)，圓出于方。（課件演示正多邊形邊數(shù)不斷增多，最后轉(zhuǎn)變成圓的動(dòng)態(tài)過程）

生（驚奇）：成一個(gè)圓了！

師：現(xiàn)在是正800邊形！

師：看到這里你有什么想法？

生：圓是正多邊形變成的。

生：我認(rèn)為圓是一個(gè)正無數(shù)邊形。

生：圓可以想象成正無數(shù)邊形。

師：你們說得太好了?，F(xiàn)在請(qǐng)你閉眼想一想，當(dāng)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)越來越多的時(shí)候，這個(gè)正多邊形會(huì)接近什么圖形？

生：圓。

師：用老子的話來說就是“大方無隅”。大方就是指最大最大的方，“無隅”猜一猜，“隅”是什么意思？

生：角。

師：這樣一來，圓是不是“一中同長”。

生：是的。

師：是的，圓“一中同長”才是它的本質(zhì)特征，在我國古代的時(shí)候墨子就發(fā)現(xiàn)了，比西方早了1000多年……

通過三個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)圓概念特征的體驗(yàn)，學(xué)生以思辨的形式對(duì)“圓為什么會(huì)圓”這個(gè)問題進(jìn)行了反復(fù)理解，使其明白了“圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡”真正的意義。因此，對(duì)圓概念的教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷定義的過程。

（浙江省杭州市大關(guān)苑第一小學(xué) 310014）