尤維明

函數(shù)概念是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著不可估量的作用.函數(shù)概念的完善經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的歷史，數(shù)學(xué)家在完善函數(shù)概念的同時(shí)，不斷賦予它新的思路，從而推動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展.

早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)

17世紀(jì)伽俐略（G.galileo，意大利，1564-

1642）在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系.笛卡爾（descartes，法，1596～1650）在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研究的.

18世紀(jì)函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)

1718年約翰·伯努利（Johann Bernoulli，瑞士，1667～1748）在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，伯努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為其在函數(shù)概念中所說(shuō)的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子.

18世紀(jì)中葉歐拉（L.Euler，瑞士，1707～1783）給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號(hào).歐拉給出的定義是：一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式.他把約翰·伯努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運(yùn)算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及變量的無(wú)理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)）.不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·伯努利的定義更普遍、更具有廣泛意義.

19世紀(jì)函數(shù)概念——對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)

1822年傅里葉（Fourier，法，1768～1830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新的層次.1823年柯西（Cauchy，法，1789～1857）從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時(shí)指出：雖然無(wú)窮級(jí)數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不一定要有解析表達(dá)式.不過(guò)他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學(xué)家狄利克雷.

1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805～1859）認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù).”狄利克雷的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡(jiǎn)明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無(wú)條件地接受.至此，我們已可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義.

等到康托爾（Cantor，德，1845～1918）創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫（Veblen，美，1880～1960）用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念，把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其他對(duì)象（點(diǎn)、線、面、體、向量、矩陣等）.

現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)

1914年豪斯道夫（F.hausdorff）在《集合論綱要》中用“序偶”來(lái)定義函數(shù).其優(yōu)點(diǎn)是避開了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”.庫(kù)拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶”，即序偶（a，b）為集合{{a}，}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了.1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變?cè)貀稱為因變?cè)?

函數(shù)概念的定義經(jīng)過(guò)三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的終結(jié).20世紀(jì)40年代，物理學(xué)研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac-δ函數(shù)，它只在一點(diǎn)處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來(lái)的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、測(cè)度及以上所述的Dirac-δ函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來(lái).因此，隨著以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市玉祁中學(xué)）