☉江蘇如東縣茗海中學(xué)　居建斐

熟而不俗余味悠長(zhǎng)——“基于教材，高于教材”的中考探究題賞析

☉江蘇如東縣茗海中學(xué)居建斐

一年一度中考盡，閱盡題目無(wú)數(shù).就在這浩如煙海的題目中，我們不難發(fā)現(xiàn)一些熟悉的面孔，但仔細(xì)看來(lái)又與往年有所突破，較好地體現(xiàn)了“基于教材，高于教材”的命題導(dǎo)向，并且這類題目立意于能力，聚焦于核心，給人熟而不俗之感，細(xì)細(xì)斟酌一番，頗有數(shù)學(xué)真味.本文擬擷取3例與諸位共享.

例1（2016年云南省第23題）有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：

……

（1）經(jīng)過探究，我們發(fā)現(xiàn)：

【溯源】本題源于人教版八年級(jí)上冊(cè)P148的閱讀與思考——容器中的水能倒完嗎？以此問題為基點(diǎn)，巧妙地將分式的運(yùn)算與放縮不等式實(shí)施推理結(jié)合在一起，是對(duì)學(xué)生“算與思”結(jié)合的考查.

例2（2016年漳州市第25題）現(xiàn)有正方形ABCD和一個(gè)以O(shè)為直角頂點(diǎn)的三角板，移動(dòng)三角板，使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC、CD交于點(diǎn)M、N.

（1）如圖1，若點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是__________________.

（2）如圖2，若點(diǎn)O在正方形的中心（即兩對(duì)角線的交點(diǎn)），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.

（3）如圖3，若點(diǎn)O在正方形的內(nèi)部（含邊界），當(dāng)OM= ON時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)O在移動(dòng)過程中可形成什么圖形.

（4）圖4是點(diǎn)O在正方形外部的一種情況.當(dāng)OM=ON時(shí)，請(qǐng)你就“點(diǎn)O的位置在各種情況下（含外部）移動(dòng)所形成的圖形”提出一個(gè)正確的結(jié)論.（不必說理）

圖1

圖2

圖3

圖4

解答：（1）OM=ON.

（2）OM=ON仍然成立.

如圖5，過點(diǎn)O作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F.

∠OEM=∠OFN=90°.

由O是正方形ABCD的中心，得OE=OF.

由∠EOF=90°，得∠3+∠2=90°.又∠1+∠2=90°，則∠1=∠3.則△OEM≌△OFN.

則OM=ON.

圖5

圖6

（3）如圖6，∠OEM=∠OFN=90°.

由∠C=90°，得∠3+∠2=90°.又∠1+∠2=90°，則∠1=∠3.

又OM=ON，

則△OEM≌△OFN.

則OE=OF.

則點(diǎn)O在∠BCD的角平分線上.

若點(diǎn)O在∠BCD的角平分線上，類似（2）的證明可得OM=ON.

則O在正方形內(nèi)部（含邊界）移動(dòng)所形成的圖形是對(duì)角線AC.

（4）所成圖形為直線AC.

【溯源】本題源于人教版八年級(jí)下冊(cè)P63——豐富多彩的正方形，取自旋轉(zhuǎn)不變性的立意.

【賞析】這是一道典型意義上的探求變化中的不變量問題.圖形的背景為學(xué)生所熟知，不但是取自教材的問題，平時(shí)學(xué)習(xí)過程中，這個(gè)背景圖應(yīng)該也為大家熟知.本題鋪設(shè)出了從特殊到一般的認(rèn)知軌道，融正方形的性質(zhì)與三角形全等的判定與性質(zhì)于一體，通過角的平分線的性質(zhì)與判定把其不變性外顯出來(lái)，成為凸顯數(shù)學(xué)特色的好題.尤其是探究過程中的輔助線，貫通前后，成為問題解決的引擎.

例3（2016年衢州市第23題）如圖7，我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫作垂美四邊形.

圖7

圖8

圖9

（1）概念理解：如圖8，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問：四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB、CD與BC、AD之間的數(shù)量關(guān)系.

猜想結(jié)論，（要求用文字語(yǔ)言敘述）寫出證明過程（畫出圖形，寫出已知、求證）.

（3）問題解決：如圖9，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE、BG、GE，已知AC=4，AB=5，求GE的長(zhǎng).

解答：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形.

由AB=AD，得點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上.

由CB=CD，得點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上.

則直線AC是線段BD的垂直平分線.則AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形.

（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等.

如圖10，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E.求證：AD2+BC2=AB2+CD2.

圖11

證明：由AC⊥BD，得∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED= 90°.

由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2.

則AD2+BC2=AB2+CD2.

（3）如圖11，連接CG、BE.

由∠CAG=∠BAE=90°，得∠CAG+∠BAC=∠BAE+ ∠BAC，即∠GAB=∠CAE.

則∠ABG=∠AEC.又∠AEC+∠AME=90°，則∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG.