☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)　許小燕

教學(xué)環(huán)節(jié)注重關(guān)聯(lián)，變式訓(xùn)練兼顧逆向——評(píng)一節(jié)“同底數(shù)冪的乘法”匯報(bào)課

☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)許小燕

最近有機(jī)會(huì)觀摩一名年輕教師執(zhí)教的“同底數(shù)冪”匯報(bào)課，限于觀摩展示活動(dòng)的“和諧”氣氛，對(duì)于該課教學(xué)中的不少環(huán)節(jié)，筆者認(rèn)為值得商榷與改進(jìn)，故觀摩之后，筆者將該課教學(xué)流程梳理出來，并提出自己的一些個(gè)性化商榷意見，提供研討.

一、“同底數(shù)冪的乘法”教學(xué)流程

1.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引入新課

活動(dòng)設(shè)計(jì)：通過演示折紙，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣，導(dǎo)入探究對(duì)象：同底數(shù)冪的乘法.

演示：將一張紙條對(duì)折，每次對(duì)折后有紙幾層？第1次對(duì)折后有紙幾層？第2次對(duì)折后有紙幾層？第3次對(duì)折后有紙幾層？第4次、第5次呢？……

預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生得出規(guī)律：第1次對(duì)折后有紙21層，第2次對(duì)折后有紙22層，第3次對(duì)折后有紙23層，第4次對(duì)折后有紙24層，第5次對(duì)折后有紙25層，……

觀察：式子21、22、23、24、25有什么共同之處？

預(yù)設(shè)：學(xué)生可能回答：它們都是2的乘方的形式，此時(shí)，教師可以進(jìn)一步推廣：它們都是同底數(shù)冪的形式.其間復(fù)習(xí)底數(shù)、指數(shù)、冪的概念，為同底數(shù)冪的乘法法則的準(zhǔn)確表述打下基礎(chǔ).

導(dǎo)入新課：如果把21、22、23、24、25等用乘號(hào)連接起來，那就是本課所要研究的主要內(nèi)容：同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算.（板書課題：同底數(shù)冪的乘法）

2.探索新知，歸納性質(zhì)

引導(dǎo)學(xué)生自主探究同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算規(guī)律.

計(jì)算觀察：

（1）25×27=_____；

（2）2m×2n=_____=2（）；

（3）a5·a7=________=a（）.

預(yù)設(shè)追問：

（1）這幾道運(yùn)算題有什么共同特點(diǎn)？

（2）請(qǐng)看一看自己的計(jì)算結(jié)果，這些結(jié)果有什么規(guī)律？

自主探究：aman=______=a（）.

預(yù)設(shè)互動(dòng)：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生探究規(guī)律，學(xué)生書面練習(xí)，自主探究、議論、交流、回答.

預(yù)設(shè)點(diǎn)評(píng)：學(xué)生通過練習(xí)，探索規(guī)律，用乘方的概念進(jìn)行推算，再?gòu)奶厥鈽?gòu)建出一般的規(guī)律，教師通過問題的提出，如把指數(shù)用字母m、n表示，而后得到aman=am+n（m，n為正整數(shù)），即同底數(shù)冪相乘，通過乘方的意義推導(dǎo)出：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.（可讓學(xué)生自行概括出冪的第一個(gè)運(yùn)算法則）

歸納概括：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

符號(hào)表示：aman=am+n（m，n為正整數(shù)）.

自主探究，拓展推廣：am·an·ap=am+n+p（m、n、p都為正整數(shù)）.

3.理解運(yùn)用，鞏固訓(xùn)練

（1）x4·x6=x24（）；（2）x·x3=x3（）；

（3）x4·x4=x8（）；（4）x2·x2=2x4（）；

（5）（-x）2·（-x）3=（-x）5（）；

（6）a2·a3-a3-a2=0（）；

（7）x3·y5=（xy）8（）；（8）x7+x7=x14（）.

設(shè)計(jì)意圖：判斷題這種小題型的訓(xùn)練，從正反兩個(gè)方面對(duì)法則的應(yīng)用加以甄別，有利于學(xué)生加深對(duì)法則的理解，為學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用法則解題奠定理論基礎(chǔ).

例2計(jì)算：

（1）x2·x5=_____；（2）a·a6=_____；（3）2×24×23=_____；（4）xm·x3m+1=_____.

預(yù)設(shè)引導(dǎo)：（1）使學(xué)生正確理解法則，運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算.

（2）a·a6中注意a是a的一次方，提醒學(xué)生不要漏掉這個(gè)指數(shù)1.

（3）計(jì)算結(jié)果可以用冪的形式表示.如103×104=107，但是如果計(jì)算較簡(jiǎn)單也可以計(jì)算出得數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：上述例題的探究，目的是使學(xué)生理解法則，運(yùn)用法則，解題時(shí)不要簡(jiǎn)化計(jì)算過程，要讓學(xué)生反復(fù)敘述法則.

跟進(jìn)練習(xí)：計(jì)算：（1）b5·b=_____；（2）10×102×103= _____；（3）y2n·y2n+1=_____；（4）-a·a6=_____；（5）（-2）3× （-2）2=_____.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在教師提供的數(shù)學(xué)材料的思維情境中思維的方向進(jìn)一步拓展，初步體驗(yàn)了同底數(shù)冪乘法法則計(jì)算的優(yōu)越性.

4.互動(dòng)游戲，激發(fā)熱情

為了進(jìn)一步深化同底數(shù)冪的乘法法則的理解和運(yùn)用，激勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情，提高學(xué)習(xí)能力，設(shè)計(jì)如下的游戲活動(dòng).

活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（1）下列哪些數(shù)或式子相乘可以用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算？

設(shè)計(jì)意圖：將可以用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算的各分成一類，老師在學(xué)生討論發(fā)言后，以媒體形式動(dòng)畫演示.

（2）學(xué)生對(duì)這些同底數(shù)冪自行組合，出一道計(jì)算題送給同桌，看他（她）能不能正確地解答出來.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過親身的體驗(yàn)，體會(huì)法則的便捷性，在活動(dòng)中感受到學(xué)習(xí)的樂趣.

聽課手記：學(xué)生熱情高漲地出了很多典型的易錯(cuò)題：23×210×（-2）5×4×（-24）；（-a）4·a3·（-a7）·a6；（-x）5·x3· （-x4），……

5.回顧反思，小結(jié)收獲

教師PPT投影如下小結(jié)問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)活動(dòng)的過程，歸納其中的解題經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想.

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了什么知識(shí)？得到了什么解題經(jīng)驗(yàn)？

（2）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你體會(huì)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

聽課手記：學(xué)生能說出本課所學(xué)的知識(shí)技能，如：學(xué)會(huì)了同底數(shù)冪的乘法，使用范圍是兩個(gè)冪的底數(shù)相同，且是相乘關(guān)系，使用方法：在乘積中，冪的底數(shù)不變，指數(shù)相加；運(yùn)用時(shí)可以拓展，例如，對(duì)含有三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)冪，仍成立；底數(shù)和指數(shù)，它既可取一個(gè)或幾個(gè)具體數(shù)，也可取單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)注意不能與整式的加減混淆等.另外，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納本課涉及的一些數(shù)學(xué)思想方法：觀察、猜想、驗(yàn)證、應(yīng)用，體會(huì)從“特殊”到“一般”再到“特殊”的思想方法.

二、評(píng)課意見與商榷改進(jìn)

從各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的有序推進(jìn)來看，上述課堂流程是完整的、有效的，教學(xué)形式是豐富多樣的，教學(xué)對(duì)話是精彩生成的，課堂氛圍是熱烈的.然而從追求更有數(shù)學(xué)味，前后關(guān)聯(lián)度更強(qiáng)的角度來看，上述教學(xué)設(shè)計(jì)還有一些值得商榷改進(jìn)的空間，分述如下：

1.開課情境與新課內(nèi)容的關(guān)聯(lián)值得商榷

開課情境中用所謂的折紙問題的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，用來演示乘方運(yùn)算的“奇異美”是有積極意義的，但是作為同底數(shù)冪的運(yùn)算法則引入，則似乎缺少關(guān)聯(lián).所以這個(gè)開課情境的選擇并不可取，開課階段可以直接安排一組“計(jì)算觀察”，通過計(jì)算之后猜想并發(fā)現(xiàn)冪的運(yùn)算規(guī)律，進(jìn)一步證明同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，把節(jié)約出來的教學(xué)時(shí)間用于同底數(shù)冪的性質(zhì)證明及后面的變式訓(xùn)練.

2.游戲活動(dòng)調(diào)節(jié)課堂氛圍但不能泛娛樂化

該課在訓(xùn)練鞏固環(huán)節(jié)安排了游戲活動(dòng)，激活了學(xué)生參與的熱情，活躍了課堂氛圍，也有效訓(xùn)練了同底數(shù)冪的運(yùn)算法則.然而學(xué)生也列舉出一些易錯(cuò)的問題，并且有學(xué)生因此而弄錯(cuò)，但在出錯(cuò)之后學(xué)生之間只是簡(jiǎn)單的糾錯(cuò)，有些學(xué)生在嬉笑彼此之后，并沒有深入追問出錯(cuò)的原因，教師也沒有利用這些現(xiàn)場(chǎng)“生成性資源”做出必要的點(diǎn)評(píng)，使得究錯(cuò)教學(xué)、化錯(cuò)教學(xué)沒有落到實(shí)處.值得指出的是，初中數(shù)學(xué)課堂不同于小學(xué)數(shù)學(xué)，適當(dāng)?shù)挠螒蚧顒?dòng)調(diào)節(jié)課堂氛圍與課堂泛娛樂化之間的界線有時(shí)比較模糊，作為一門推崇理性思維的學(xué)科，筆者以為，數(shù)學(xué)課堂上的游戲環(huán)節(jié)應(yīng)該慎用.根據(jù)數(shù)學(xué)家羅素的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)是一種冷峻美，需要的是一種“拈花微笑”的會(huì)意，不是表面上的熱鬧就能湊效的.

3.鞏固訓(xùn)練環(huán)節(jié)可以變式給出“逆向”問題

鞏固訓(xùn)練環(huán)節(jié)主要側(cè)重要同底數(shù)冪的正向運(yùn)用，沒有變式出逆向運(yùn)用的問題，對(duì)學(xué)生完善學(xué)習(xí)認(rèn)知是一種習(xí)題設(shè)計(jì)上的不足.作為數(shù)學(xué)研究的一種重要范式，就是思考原命題后要繼續(xù)思考條件與結(jié)論轉(zhuǎn)換后的逆命題，向?qū)W生滲透這種研究方法是十分必要的，以下一些“逆向”問題就可以作為這節(jié)課的變式鞏固與拓展運(yùn)用環(huán)節(jié)開展訓(xùn)練.

一組“逆向”問題：

（1）已知8×2x=32，則x=________.

（2）已知3x=6，則3x+2=________.

（3）已知am=4，an=32，則am+n=________.

（4）已知am=5，am+n=10，則an=________.

（5）已知4x=8，4y=32，求x+y的值.

（6）若2x=m，2y=n，求2x+y+2的值.

三、寫在最后

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）近期曾刊發(fā)過專家教師李庾南老師關(guān)于冪的運(yùn)算課例設(shè)計(jì)，李老師基于“單元教學(xué)”的思想，把三種冪的運(yùn)算法則在起始課時(shí)全盤托出，并進(jìn)行了證明，想來也是值得我們借鑒的.筆者以為，無論哪種設(shè)計(jì)，是否站在理解數(shù)學(xué)的高度，理解學(xué)生的角度，可否讓“數(shù)學(xué)味”濃厚一點(diǎn)，能否讓學(xué)生“想得更優(yōu)化、更深入、更合理”（鄭毓信教授語），應(yīng)該是我們努力的方向.

參考文獻(xiàn)：

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4.鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（3）.