謝文平，徐寧波，李黎，王政

(1.廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，廣東 廣州 510080；2. 華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

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基于有限質(zhì)點(diǎn)法的輸電導(dǎo)線找形研究

謝文平1，徐寧波2，李黎2，王政2

(1.廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，廣東 廣州 510080；2. 華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

對輸電導(dǎo)線進(jìn)行動力分析前，需先確定其初始形態(tài)，為此采用有限質(zhì)點(diǎn)法進(jìn)行輸電導(dǎo)線的找形，通過自編MATLAB程序，動態(tài)模擬導(dǎo)線找形全過程，并確定導(dǎo)線最終形態(tài)。最后，分別采用有限質(zhì)點(diǎn)法、懸鏈線法和有限單元法對一些算例進(jìn)行計算并進(jìn)行對比，結(jié)果表明了有限質(zhì)點(diǎn)法的精確性和有效性，為導(dǎo)線的動力分析打下基礎(chǔ)。

導(dǎo)線找形；有限質(zhì)點(diǎn)法； 向量式結(jié)構(gòu)力學(xué)； 牛頓第二定律； 中心差分法

輸電線路擁有大容量、高效率、遠(yuǎn)距離等優(yōu)點(diǎn)，能夠優(yōu)化我國電力資源配置，對于提高我國經(jīng)濟(jì)效益和促進(jìn)開發(fā)清潔能源具有重要意義。輸電導(dǎo)線一般采用金具絕緣子串張拉或懸掛于相鄰2座輸電塔之間，有著極強(qiáng)的幾何非線性，是一種典型的柔性懸索結(jié)構(gòu)。導(dǎo)線的形態(tài)與預(yù)加張拉力有關(guān)，對導(dǎo)線進(jìn)行找形分析就是確定導(dǎo)線在自重或外荷載作用下的形態(tài)及內(nèi)力分布。一般對導(dǎo)線進(jìn)行動力學(xué)分析(微風(fēng)振動分析、次檔距振蕩分析、覆冰舞動分析等)之前都要先進(jìn)行找形分析，導(dǎo)線找形分析的精確度將會影響后續(xù)動力分析的精度，因此研究導(dǎo)線找形分析具有較強(qiáng)的現(xiàn)實意義。

目前國內(nèi)外學(xué)者常用的導(dǎo)線找形方法有懸鏈線法和有限單元法等。陳常松等[1]采用懸鏈線方程精細(xì)迭代分析法對懸索橋主纜進(jìn)行了初始位形計算；文獻(xiàn)[2-4]研究了求解懸索橋主纜找形的方法；孟遂民、張旺海、李力等[5-7]采用桿單元，考慮導(dǎo)線的幾何非線性，借助大型有限元軟件ANSYS對導(dǎo)線進(jìn)行了找形分析。

以上學(xué)者對懸鏈線法找形和有限元法找形都做了較為充分的研究，而且也可以得到較精確的結(jié)果，但仍然存在一些尚未解決的問題，懸鏈線法常常需假定重力荷載在變形前后為定值，且找形后不能在導(dǎo)線內(nèi)形成相應(yīng)的內(nèi)力分布供動力分析計算，而有限元法則要形成復(fù)雜的非線性剛度矩陣進(jìn)行迭代計算，比較繁瑣。

喻瑩等[8]采用了有限質(zhì)點(diǎn)法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非線性分析，得到了較好的結(jié)果。本文采用有限質(zhì)點(diǎn)法，將其運(yùn)用于輸電導(dǎo)線找形分析中，為說明有限質(zhì)點(diǎn)法在導(dǎo)線找形計算分析中的優(yōu)勢，文中先對懸鏈線法找形和有限單元法找形的基本原理做了簡單的陳述，再詳細(xì)介紹了有限質(zhì)點(diǎn)法計算基本原理，最后利用以上3種方法分別對一些算例進(jìn)行了找形分析，結(jié)果表明有限質(zhì)點(diǎn)法結(jié)果精確，效率較高，可以克服前2種方法中存在的不足。

1　懸鏈線法找形

輸電導(dǎo)線是常見的懸索結(jié)構(gòu)，常為鋼芯鋁絞線或鋼絞線，其力學(xué)性質(zhì)十分復(fù)雜，在自重作用下常常呈懸鏈曲線狀態(tài)，可利用這一性質(zhì)計算導(dǎo)線的初始形態(tài)。通過取導(dǎo)線微元，建立微元力的平衡方程，積分求得曲線方程，因此懸鏈線法又稱為解析法。

1.1計算假定

在輸電導(dǎo)線的找形分析過程中，采用如下假定：

a)導(dǎo)線為理想彈性材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系符合胡克定律；

b)導(dǎo)線只能承受拉力而不能受壓和抗彎；

c)忽略導(dǎo)線受力后橫截面的變化；

d)導(dǎo)線的自重恒載集度沿導(dǎo)線為常量。

基于上述假設(shè)可知，在自重作用下的導(dǎo)線線型為一懸鏈線。

1.2導(dǎo)線懸鏈線方程

導(dǎo)線處于不受力狀態(tài)時，其形狀是不能確定的，但是在一定的氣象條件下，其比載是一個定值，此時導(dǎo)線具有了相應(yīng)的張力和形態(tài)。導(dǎo)線懸掛在2個不同的懸掛點(diǎn)A、B時，在自重荷載作用下，將形成一條固定的懸鏈曲線，如圖1所示。

圖1　導(dǎo)線的懸鏈曲線

設(shè)導(dǎo)線懸掛在A、B點(diǎn)之間，以導(dǎo)線懸掛點(diǎn)B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在沿導(dǎo)線均勻比載q作用下，導(dǎo)線的變形曲線方程為

(1)

令：

(2)

(3)

式中：x為導(dǎo)線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，y為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，l為導(dǎo)線檔距，F(xiàn)h為導(dǎo)線水平張力，h為導(dǎo)線兩端的高差。

經(jīng)整理，得跨中弧垂df與Fh的計算式為

(4)

從懸鏈線法的計算原理可以看出，其計算假定導(dǎo)線自重恒載集度沿導(dǎo)線為常量，且不能反映導(dǎo)線找形后的內(nèi)力分布情況。

2　有限單元法找形

導(dǎo)線找形分析的有限單元法就是將無限自由度問題變成有限自由度問題進(jìn)行求解。通過將導(dǎo)線離散為獨(dú)立的單元，然后利用單元形函數(shù)建立單元剛度矩陣，進(jìn)而組裝結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣，并建立結(jié)構(gòu)整體節(jié)點(diǎn)位移向量與節(jié)點(diǎn)荷載向量之間的平衡方程，最后引入邊界條件，求解平衡方程式得到節(jié)點(diǎn)位移。其中，應(yīng)變向量ε與單元節(jié)點(diǎn)位移向量de之間的關(guān)系為

(5)

式中:B為單元應(yīng)變矩陣，可分解為線性部分BL與非線性部分BNL之和，即

(6)

根據(jù)式(6)，應(yīng)變增量Δε可分解為線性部分ΔεL與非線性部分ΔεNL，即

(7)

式中

(8)

根據(jù)以上，采用虛功原理來推導(dǎo)平衡方程，即可得到單元平衡的增量形式，即

(9)

式中：Ke,0為線性剛度矩陣，Ke,σ為初應(yīng)力剛度矩陣，Ke,L為大位移剛度矩陣，Δde和ΔFe分別是位移增量和單元力的增量。

采用有限單元法對導(dǎo)線進(jìn)行重力找形分析就是對導(dǎo)線進(jìn)行靜力非線性分析，由于輸電導(dǎo)線具有很強(qiáng)的幾何非線性，需要根據(jù)位移來修正非線性剛度矩陣并進(jìn)行迭代求解，計算十分麻煩，因此以上過程常常借助于有限元軟件ANSYS等來實現(xiàn)。

3　有限質(zhì)點(diǎn)法找形

有限質(zhì)點(diǎn)法是一種將向量式結(jié)構(gòu)力學(xué)和數(shù)值計算相結(jié)合的分析方法，它采用結(jié)構(gòu)的點(diǎn)值描述，用離散的質(zhì)點(diǎn)描述結(jié)構(gòu)的力學(xué)模式，質(zhì)點(diǎn)之間通過沒有質(zhì)量的單元連接。在時間域上將質(zhì)點(diǎn)受力后的運(yùn)動劃分成許多微段，通過一組時間點(diǎn)上的值描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，稱為途徑單元。質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動過程中遵循牛頓第二定律，利用單元純變形求解單元內(nèi)力。

3.1點(diǎn)值描述

結(jié)構(gòu)是由無數(shù)多個質(zhì)點(diǎn)組合而成的一個物理連續(xù)體。向量式分析對構(gòu)件和連接的描述，在概念上也是一個連續(xù)體。空間點(diǎn)上的參數(shù)因受力而變化的途徑也是一個連續(xù)的軌跡，但向量式分析引用一組不同的描述函數(shù)，稱為點(diǎn)值描述。根據(jù)問題的性質(zhì)和精準(zhǔn)度要求，在這無限多個點(diǎn)之中選擇一組有限數(shù)目的點(diǎn)，用這些點(diǎn)的位置向量來描述桿件的幾何形狀和空間位置，這組桿件點(diǎn)或空間點(diǎn)的總數(shù)和點(diǎn)的配置方法是可以任意選擇的，如圖2所示。

圖2　構(gòu)件的空間點(diǎn)值描述

質(zhì)點(diǎn)主要性質(zhì)包括坐標(biāo)、質(zhì)量、作用力、廣義約束和運(yùn)動約束[9]，用以表示結(jié)構(gòu)的空間位置、幾何形狀、質(zhì)量、受力、變形和邊界條件。將輸電導(dǎo)線離散為有限個質(zhì)點(diǎn)，每個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)兩邊導(dǎo)線質(zhì)量取平均。利用有限質(zhì)點(diǎn)法對導(dǎo)線進(jìn)行找形分析時，自重荷載直接作用在質(zhì)點(diǎn)上，并利用

(10)

所示的牛頓第二定律求解。式中：m為某質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；a為該質(zhì)點(diǎn)的加速度向量，由位移向量d的二階導(dǎo)數(shù)得出；Fext和Fint分別為該質(zhì)點(diǎn)對應(yīng)的內(nèi)力和外力向量，其中內(nèi)力可通過單元的純變形求得。

3.2途徑單元描述

結(jié)構(gòu)受到外力作用后，質(zhì)點(diǎn)的位置向量是一個時間的函數(shù)，通稱為途徑和時間軌跡。向量式分析中的軌跡是用一組時間點(diǎn)上的點(diǎn)值來描述的。假定分析的初始及終結(jié)時間分別為t0和tf，將整個時間歷程用一組時間點(diǎn)t0，t1，t2，…，ta，tb，…，tf分隔，并假設(shè)分析過程是一組相鄰的時間段，如圖3所示，ta至tb時段表示一個途徑單元。

圖3　途徑單元

假設(shè)在一個途徑單元之內(nèi)，內(nèi)力和變形滿足下列要求：

a)以初始形態(tài)作為計算位移、變形和應(yīng)力變化的基礎(chǔ)構(gòu)架；

b)構(gòu)件變形很小，轉(zhuǎn)動為中度的大轉(zhuǎn)動；

c)構(gòu)件的幾何變化對變形和內(nèi)力計算的影響可以忽略；

d)構(gòu)件性質(zhì)及結(jié)構(gòu)的組合和約束不改變。

對于極大的幾何變形和轉(zhuǎn)動，用一組持續(xù)在增加的途徑單元來處理，每個途徑單元內(nèi)都可以將結(jié)構(gòu)的變形當(dāng)做小變形和中度轉(zhuǎn)動來分析，保證材料模式和內(nèi)力計算符合材料力學(xué)的要求。

3.3單元變形描述及內(nèi)力求解

結(jié)構(gòu)的質(zhì)點(diǎn)之間通過單元連接，而單元的純變形反映質(zhì)點(diǎn)間的相互內(nèi)力關(guān)系[9-10]。常見的單元有桿單元與梁單元，其中桿單元只能產(chǎn)生軸向變形，梁單元不僅可產(chǎn)生軸向變形，還可產(chǎn)生彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形。

質(zhì)點(diǎn)發(fā)生運(yùn)動后，如果質(zhì)點(diǎn)間存在相對位置改變，則與質(zhì)點(diǎn)連接的單元產(chǎn)生變形，導(dǎo)致單元內(nèi)力發(fā)生改變。單元內(nèi)力反作用于質(zhì)點(diǎn)，又會對質(zhì)點(diǎn)的下一步運(yùn)動行為產(chǎn)生影響，因此求解單元內(nèi)力顯得尤為重要。有限質(zhì)點(diǎn)法采用單元“逆向運(yùn)動”來求得單元純變形，引入基礎(chǔ)構(gòu)架求解單元內(nèi)力[11-13]，圖4為單元的逆向運(yùn)動和平移。

圖4　單元逆向運(yùn)動和平移

單元從AB狀態(tài)(原長為lAB，方向向量為eAB)運(yùn)動到A′B′(原長為lA′B′，方向向量為eA′B′)狀態(tài)時，A和B兩端位移分別為dA和dB，扣除剛體位移，可認(rèn)為單元B端產(chǎn)生的位移rB及繞A端的轉(zhuǎn)角θ，整個過程單元長度增量為Δl。該時刻的內(nèi)力為

(11)

式中：σa為桿單元的軸向應(yīng)力，E和A分別為單元的彈性模量和截面面積。求出的單元內(nèi)力代入式(10)中，并利用顯示時間積分法求解，速度與加速度用中央差分公式表示，質(zhì)點(diǎn)位移為

(12)

式中：Δt為時間計算步長，n為計算步。

3.4導(dǎo)線找形分析

采用有限質(zhì)點(diǎn)法對導(dǎo)線進(jìn)行找形分析時，先將導(dǎo)線劃分為若干質(zhì)點(diǎn)，即對導(dǎo)線進(jìn)行點(diǎn)值描述，質(zhì)點(diǎn)間通過桿單元連接，導(dǎo)線的找形為大變形問題，通過設(shè)置途徑單元可以很清楚地查看導(dǎo)線找形時的位置變化過程。在進(jìn)行找形時需設(shè)置導(dǎo)線阻尼比ζ來產(chǎn)生一個虛擬阻尼力，使導(dǎo)線振動速度降為零以得到最終形態(tài)，否則導(dǎo)線會在重力作用下做周期性振動。具體計算流程如圖5所示。

圖5　找形流程圖

4　找形算例分析

本節(jié)分別采用上述提到的3種方法，對某一型號的導(dǎo)線進(jìn)行不同工況下進(jìn)行找形分析，并將結(jié)果進(jìn)行了對比。

4.1導(dǎo)線物理特性參數(shù)及工況

表1中列出了LGJ-500/45型號導(dǎo)線的主要物理參數(shù)。

表1導(dǎo)線特性參數(shù)

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值拉斷力/kN128.1直徑/mm30彈性模量/(N·m-2)6.5×1010截面積/mm2531.68單位長度質(zhì)量/(kg·m-1)1.688

考慮導(dǎo)線懸掛點(diǎn)兩端的高差，分析了12種不同的場景(見表2)，分別計算在導(dǎo)線的運(yùn)行張力為其拉斷力的18%(23.058kN)和22%(28.182kN)2種情況下的各場景的找形結(jié)果，一共24種工況。

表2導(dǎo)線找形分析場景

工況高差/m檔距/m工況高差/m檔距/m1030070500253008550031030091050040400100600554001156006104001210600

4.2結(jié)果分析

對24種工況分別采用懸鏈線法、有限單元法和有限質(zhì)點(diǎn)法進(jìn)行找形分析，取導(dǎo)線跨中的豎向位移為參考指標(biāo)。以上3種方法均取1m的導(dǎo)線為一個單元，有限質(zhì)點(diǎn)法取0.1ms為一個計算步長，1 000 步為一個途徑單元，計算結(jié)果見表3。

表3中，前12種工況計算結(jié)果為導(dǎo)線運(yùn)行張力等于拉斷力的18%時的計算結(jié)果，后12種工況計算結(jié)果為導(dǎo)線運(yùn)行張力等于拉斷力的22%時的計算結(jié)果。計算通過對比上述找形分析的結(jié)果，可以看出采用有限質(zhì)點(diǎn)法得到的結(jié)果與采用懸鏈線法得到的結(jié)果十分接近，比采用有限單元法得到的結(jié)果精度要高。通過對比不同工況的結(jié)果可知，當(dāng)導(dǎo)線檔距小時或?qū)Ь€高差小時，有限質(zhì)點(diǎn)法與有限元法得到的結(jié)果均與懸鏈線法接近，隨著檔距或高差的增大，得到的結(jié)果與懸鏈線法差值增大，但總體來說有限質(zhì)點(diǎn)法的精度要高于有限單元法。由于不需要形成復(fù)雜的剛度矩陣，也不需要進(jìn)行迭代求解，因此計算效率較有限單元法要高。

表3　各工況找形分析結(jié)果

下面以工況1中導(dǎo)線運(yùn)行張力為拉斷力的18%的情況為例，繪出了導(dǎo)線找形過程中不同計算時間t的形態(tài)變化，如圖6所示。

圖6　導(dǎo)線形態(tài)變化

在t=1.0s時，導(dǎo)線僅有兩邊質(zhì)點(diǎn)間存在相對位移，中間大部分質(zhì)點(diǎn)無相對位移，保持為平動；在t=3.0s時，導(dǎo)線大部分質(zhì)點(diǎn)間存在相對位移，僅中間少部分質(zhì)點(diǎn)無相對位移，且導(dǎo)線總體位移增大了；在t=5.0s時，導(dǎo)線上質(zhì)點(diǎn)間均存在相對位移，但并未達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)；導(dǎo)線上各質(zhì)點(diǎn)達(dá)到穩(wěn)定時導(dǎo)線的形態(tài)如圖6中最下方曲線所示。可見導(dǎo)線在找形之初變形較大，后面變形會趨于平緩，最終達(dá)到收斂值。

圖7和圖8分別為導(dǎo)線在找形分析過程中，跨中質(zhì)點(diǎn)的位移和速度隨時間的變化圖。由于設(shè)置了阻尼比，導(dǎo)線會在虛擬阻尼力的作用下最終達(dá)到靜止，靜止時的形態(tài)即為導(dǎo)線最終的找形形態(tài)。由圖7和圖8也可以看出導(dǎo)線找形過程中的質(zhì)點(diǎn)位移和速度的變化快慢程度。

圖7　導(dǎo)線跨中位移變化

圖8　導(dǎo)線跨中速度變化

5　結(jié)論

a)通過對比采用有限質(zhì)點(diǎn)法進(jìn)行導(dǎo)線找形計算分析的結(jié)果與采用懸鏈線法、有限單元法計算得到的結(jié)果，表明有限質(zhì)點(diǎn)法具有較高的精度。

b)相比于懸鏈線法，采用有限質(zhì)點(diǎn)法進(jìn)行導(dǎo)線找形分析除了可以得到找形后導(dǎo)線內(nèi)部的內(nèi)力分布，還可以觀察導(dǎo)線找形過程中的形態(tài)變化。

c)相比于有限單元法，采用有限質(zhì)點(diǎn)法進(jìn)行導(dǎo)線找形分析既不用形成非線性單元剛度矩陣，也不用進(jìn)行迭代求解，計算效率更高。

綜合以上研究，將有限質(zhì)點(diǎn)法應(yīng)用于導(dǎo)線找形分析中，這為輸電導(dǎo)線動力分析打下了基礎(chǔ)。

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(編輯霍鵬)

Research on Form-finding of Power Transmission Conductors Based on Finite Particle Method

XIE Wenping1, XU Ningbo2, LI Li2, WANG Zheng2

(1. Electric Power Research Institute of Guangdong Power Grid Co., Ltd., Guangzhou, Guangdong 510080, China; 2. School of Civil Engineering & Mechanics, Huazhong University of Science & Technology, Wuhan, Hubei 430074, China)

It needs to determine the initial shape of power transmission conductor before carrying on dynamic analysis, therefore, this paper uses finite particle method for form-finding of the conductor, dynamically simulates the overall process of form-finding by means of self-complied MATLAB program and determines finally form of the conductor. It respectively uses finite particle method, catenary method and finite element method to calculate and compare examples and results prove veracity and effectiveness of the finite particle method which lays foundation for dynamic analysis on the conductor.

conductor form-finding; finite particle method; vector structural mechanics; Newton’s second law; central difference method

2016-05-03

中國南方電網(wǎng)有限責(zé)任公司科研項目(GDKJ00000014)

10.3969/j.issn.1007-290X.2016.08.019

TU311.4

A

1007-290X(2016)08-0101-06

謝文平(1986)，男，江西撫州人。工程師，工學(xué)碩士，主要從事結(jié)構(gòu)抗風(fēng)方面的研究。

徐寧波(1990)，男，湖北荊州人。在讀碩士研究生，主要從事結(jié)構(gòu)減振方面的研究。

李黎(1956)，女，上海人。教授，工學(xué)學(xué)士，主要從事結(jié)構(gòu)減振方面的研究。